等差数列二北师大版市名师优质课比赛一等奖市公开课获奖课件

掌握“判断数列是否为等差数列”惯用方法．掌握等差数列通项公式、性质及其应用．2.1等差数列(二)【课标要求】【关键扫描】等差数列中两项关系及多项之间关系．(重点、易错点)灵活利用等差数列定义及性质解题．(难点)1．2．1．2．第1页等差数列项与序号关系自学导引两项关系多项关系通项公式推广：an＝am＋________(m，n∈N＋)项运算性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则_______＝ap＋aq(n－m)dam＋an1．第2页等差数列性质(1)若{an}是公差为d等差数列，则以下数列：①{c＋an}(c为任一常数)是公差为__等差数列；②{c·an}(c为任一常数)是公差为___等差数列；③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N＋)是公差为___等差数列．(2)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为_________等差数列．(3)等差数列项对称性在有穷等差数列中，与首末两项“_______”两项之和等于首项与末项和．想一想：能否利用等差中项说明一个数列是等差数列？提醒

能够.2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)⇔{an}是等差数列．2.dcd2dpd1＋qd2等距离第3页等差数列公差与一次函数斜率关系名师点睛1．第4页等差数列“子数列”性质若数列{an}是公差为d等差数列，则(1){an}去掉前几项后余下项仍组成公差为d等差数列；(2)奇数项数列{a2n－1}是公差为2d等差数列；偶数项数列{a2n}是公差为2d等差数列；(3)若{kn}成等差数列，则{akn}也是等差数列．(4)从等差数列{an}中，等距离抽取一项，所得数列仍为等差数列，当然公差也随之发生改变．(5)形如a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9，…抽取，实际上是3a2,3a5,3a8…当然成等差数列．对于2项、4项、5项……道理是相同．(6)a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝……

2．第5页题型一等差数列性质应用在等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，则a5＋a8＝________.[思绪探索]由题目可获取以下主要信息：①数列{an}为等差数列；②a2＋a3＋a10＋a11＝36；③求a5＋a8.解答本题可利用性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq，也可引入公差d和首项a1对已知和所求进行化简求解．解法一依据等差数列性质可得：a5＋a8＝a3＋a10＝a2＋a11＝36÷2＝18.【例1】第6页法二依据题意，有(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋9d)＋(a1＋10d)＝36，∴4a1＋22d＝36，则2a1＋11d＝18.而a5＋a8＝(a1＋4d)＋(a1＋7d)＝2a1＋11d，所以，a5＋a8＝18.答案

18规律方法法一利用了等差数列性质，若p＋q＝m＋n(p、q、m、n∈N＋)，则ap＋aq＝am＋an；法二设出了a1，d但并没有求出a1，d.实际上也求不出来，这种“设而不求”方法在数学中是一个惯用方法，它表达了整体求解思想．第7页

在等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12值是 (

)．A．15 B．30 C．31 D．64解析

法一设等差数列首项为a1，公差为d，则由a7＋a9＝16得2a1＋14d＝16，由a4＝1，得a1＋3d＝1.∴两式相减得a1＋11d＝15，即a12＝15.法二∵7＋9＝4＋12，∴a7＋a9＝a4＋a12，∴a12＝a7＋a9－a4＝15.答案

A【训练1】第8页已知数列{an}，an＝2n－1，bn＝a2n－1.(1)求{bn}通项公式；(2)数列{bn}是否为等差数列？说明理由．[思绪探索]解答本题应充分利用“下标”对应关系．解

(1)∵an＝2n－1，bn＝a2n－1，∴bn＝a2n－1＝2(2n－1)－1＝4n－3.(2)由bn＝4n－3知n≥2时，bn－1＝4(n－1)－3＝4n－7.∵bn－bn－1＝(4n－3)－(4n－7)＝4，∴{bn}是首项b1＝1，公差为4等差数列．规律方法对于等差数列“子数列”问题，关键是形成函数思想，利用整体代换方法解题．本题函数代换关系即an＝f(n)＝2n－1，bn＝a2n－1＝f(2n－1)＝4n－3.【例2】题型二

等差数列判定证实第9页

已知等差数列{an}通项公式an＝3n－1，若设bn＝an＋an＋1.(1)求{bn}通项公式；(2)判断{bn}是否为等差数列？说明理由．解

(1)∵an＝3n－1，bn＝an＋an＋1.bn＝an＋an＋1＝(3n－1)＋[3(n＋1)－1]＝6n＋1.(2)∵bn＋1－bn＝6(n＋1)＋1－(6n＋1)＝6，∴{bn}是首项为7，公差为6等差数列．【训练2】第10页审题指导处理与等差数列相关递推数列问题，需先观察、分析递推数列结构特征，经过递推公式变形，结构恰当辅助数列使问题转化为等差数列问题，转化过程中要有整体意识．【例3】题型三

综合利用题第11页【解题流程】第12页【题后反思】(1)判断一个数列是等差数列基本方法是紧紧围绕定义：an＋1－an＝d(d为常数)，也能够用an＋1－an＝an－an－1(n≥2)进行判断．本题属于“生成数列问题”，关键是利用整体代换思想方法．(2)若要判断一个数列不是等差数列，只需举出一个反例即可．第13页【训练3】第14页

梯子最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间还有10级，各级宽度成等差数列，计算中间各级宽度．[错解]用{an}表示梯子自上而下各级宽度所成等差数列，误区警示

弄错数列项数或序号而错【示例】

本题相当于已知等差数列首项、末项及项数，求等差数列各项．我们能够利用等差数列通项公式列方程，求出公差d，然后再利用通项公式来求其各项．上述错解主要原因是将梯子级数弄错了，要注意梯子共有12级，33cm是第1级宽度，110cm是第12级宽度．第15页[正解]用{an}表示梯子自上而下各级宽度所成等差数列，由已知：得a1＝33，a12＝110，n＝12.由通项公式，得a12＝a1＋(12－1)d，即110＝33＋11d.解得d＝7.所以，a2＝33＋7＝40，a3＝40＋7＝47，a4＝54，a5＝61，a6＝68，a7＝75，a8＝82，a9＝89，a