2022-2023学年河北省唐山市高一年级下册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年河北省唐山市高一下学期期末数学试题一、单选题1．设复数，则复平面内表示的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】求出复数在复平面内对应的点的坐标，由此可得出结论.【详解】，则复数在复平面内对应的点的坐标为，因此，复平面内表示的点位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限的判断，属于基础题.2．已知，，若，则为（

）A． B． C．0 D．2【答案】D【分析】根据平面向量平行的坐标表示可得结果.【详解】因为，，，所以，得.故选：D3．某种新型牙膏需要选用两种不同的添加剂，现有芳香度分别为1，2，3，4的四种添加剂可供选用，则选用的两种添加剂芳香度之和为5的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用列举法列出所有可能情况，再根据古典概型的概率公式即可得解.【详解】从芳香度为1，2，3，4的四种添加剂中随机抽取两种添加剂，其可能结果有，，，，，共6个，其中选用的两种添加剂芳香度之和为5的结果有，共2个，则所求概率为.故选：B.4．在正三棱柱中，，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用线线平行确定异面直线与所成角的角，再利用勾股定理求得，从而利用余弦定理即可得解.【详解】记的中点为，连接，如图，

因为为棱的中点，为的中点，所以，所以为异面直线与的所成角（或补角），因为在正三棱柱中，，所以，，，所以在中，，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：A.5．为了解某块田地小麦的株高情况，随机抽取了10株，测量数据如下（单位cm）：60，61，62，63，65，65，66，67，69，70，则第40百分位数是（

）A．62 B．63 C．64 D．65【答案】C【分析】根据求百分位数的定义求解可得结果.【详解】因为为整数，所以第40百分位数是.故选：C6．若圆锥的底面半径为，高为1，过圆锥顶点作一截面，则截面面积的最大值为（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】依题意求得圆锥的母线长，确定轴截面的顶角，从而求出截面面积的取值的最大值，由此得解.【详解】依题意，设圆锥的母线长为l，则，设圆锥的轴截面的两母线夹角为，则，因为，所以，则过该圆锥的顶点作截面，截面上的两母线夹角设为，

故截面的面积为，当且仅当时，等号成立，故截面的面积的最大值为2.故选：A.7．从5名男生和4名女生中任选3人去参加学校“献爱心，暖人心”下列各事件中，互斥不对立的是（

）A．“至少有1名女生”与“都是女生”B．“至少有1名女生”与“至少有1名男生”C．“恰有1名女生”与“恰有2名女生”D．“至少有1名女生”与“至多有1名男生”【答案】C【分析】根据互斥事件的定义判断ABD都不是互斥事件，再结合对立事件的定义判断C.【详解】“至少有1名女生”与“都是女生”，能够同时发生，如3人都是女生，所以不是互斥事件，A错；“至少有1名女生”与“至少有1名男生”能够同时发生，如1男2女，所以不是互斥事件，B错；“至少有1名女生”与“至多有1名男生”能够同时发生，如1男2女，所以不是互斥事件，D错；“恰有1名女生”与“恰有2名女生”不能同时发生，所以是互斥事件，又因为“恰有1名女生”与“恰有2名女生”之外，还可能有“没有女生”与“恰有3名女生”两种情况发生，即“恰有1名女生”与“恰有2名女生”可以同时不发生，所以不是对立事件，C正确.故选：C.8．在中，角的对边分别是，已知，.若，则的面积为（

）A． B．或 C． D．1或2【答案】B【分析】根据正弦定理角化边可得或，分两种情况解三角形可得结果.【详解】由及正弦定理得，得或，若，因为，，所以，，若，则三角形为直角三角形，，因为，，所以，，.综上所述：的面积或.故选：B二、多选题9．已知一组数据3，5，6，9，9，10的平均数为，方差为，在这组数据中加入一个数据7后得到一组新数据，其平均数为，方差为，则下列判断正确的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根据平均数和方差的计算公式求解，即可判断各选项.【详解】对于AB，，，所以，A正确，B错误；对于CD，，所以，C错误，D正确.故选：AD10．在中，下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若为钝角，则【答案】ABD【分析】对于AB，利用大角对大边与正弦定理的边角变换即可判断；对于C，举反例排除即可；对于D，利用正弦函数的单调性即可判断.【详解】对于A，由大角对大边知，若，则，所以由正弦定理得，故A正确；对于B，若，则由正弦定理得，所以由大边对大角，故B正确；对于C，取，，则，，所以不成立，故C错误；对于D，若为钝角，则，所以，因为在上单调递增，所以，故D正确.故选：ABD.11．若，是关于的方程的两个虚根，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】解方程可得，不妨令，分别计算各选项即可判断.【详解】因为，所以，根据求根公式可得，又，是关于的方程的两个虚根，不妨令.对于A，，A正确；对于B，，B错误；对于C，，C正确；对于D，，D正确.故选：ACD12．如图，在菱形中，，延长边至点，使得.动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则（

）

A．满足的点有且只有一个B．满足的点有两个C．存在最小值D．不存在最大值【答案】BC【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，然后利用点的四种位置进行分类讨论即可.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，设菱形的边长为1，，则，所以，，由，得，所以，所以，①当点在上时，，且，所以；②当点在（不含点B）上时，则，所以，化简，所以，因为，所以，即；③当点在（不含点C）上时，，且，所以，即，所以；④当点在（不含点A、D）上时，则，所以，化简，所以，因为，所以，所以；对于A，由①知，当时，，此时点与点重合；由④可知当时，，，此时点在的中点处；其它均不可能，所以这样的点有两个，所以A错误，对于B，由②知，当时，，，此时点在的中点；由③知，当时，，，此时点在点处；其它均不可能，所以这样的点有两个，所以B正确，对于CD，由①②③④可得：当，即点为点时，取到最小值0；当，即点为点时，取到最大值3，所以C正确，D错误，故选：BC.

【点睛】关键点睛：此题考查平面向量基本定理的应用，解题的关键是建立平面直角坐标系，然后分类讨论，考查数形结合的思想，属于较难题.三、填空题13．若复数，，则.【答案】【分析】先根据复数减法法则计算，再根据复数模的计算公式，即可得出结果.【详解】∵，，∴．故答案为：．14．甲、乙两人参加驾考科目一的考试，两人考试是否通过相互独立，甲通过的概率为0.6，乙通过的概率为0.5，则至少一人通过考试的概率为.【答案】/【分析】先求两人都未通过的概率，再根据对立事件的概率和为1求解两人至少有一人通过的概率即可.【详解】因为两人考试相互独立，所以两人都未通过的概率为，故两人至少有一人通过的概率为.故答案为：15．若的面积为，角的对边分别是，且，则.【答案】【分析】利用三角形面积公式与余弦定理的边角变换，结合切化弦得到关于的方程，解之即可得解.【详解】因为，所以，因为，且，所以，则，即，所以，则，即，所以（负值舍去）.故答案为：.四、双空题16．在正六棱台中，，，，设侧棱延长线交于点，几何体的外接球半径为，正六棱台的外接球半径为，则此正六棱台的体积为，.【答案】/【分析】第一空，利用棱台的体积公式，结合正六边形的性质即可得解；第二空，先分析正六棱台的外接球的球心所在位置，再利用勾股定理列出关于的方程组，从而求得；再利用平行线分线段成比例求得，从而确定了几何体的外接球的球心所在位置，进而求得，由此得解.【详解】依题意，正六棱台中，，，则其上底面是由六个边长为的正三角形组成，则其面积为，其下底面是由六个边长为的正三角形组成，则其面积为，其高为，所以该正六棱台的体积为.设上底面中心为，下底面中心为，连接，则垂直于上下底面，如图，连接，则，由题意可得，作垂足为G，则，连接，则，故，则为钝角，又由于正六棱台外接球球心位于平面上，故设正六棱台外接球球心为O，则O在的延长线上，因为外接球半径为，故，即，解得，则，连接，如图，易得三点共线，且，所以，则，易知，所以是几何体的外接球的球心，则，所以.故答案为：；.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是发挥直观想象能力，结合图形确定了正六棱台的外接球的球心所在位置，从而利用方程组求得.五、解答题17．已知平面向量与的夹角为，且，.(1)求；(2)若与垂直，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）化为平面向量的数量积可求出结果；（2）根据可求出结果.【详解】（1）.（2）因为与垂直，所以，所以，所以，得.18．近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，常用身体质量指数BMI来衡量人体胖瘦程度.其计算公式是：，成年人的BMI数值标准是：BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BMI<24为正常；24≤BMI<28为偏胖；BMI≥28为肥胖.某公司随机抽取了100个员工的体检数据，将其BMI值分成以下五组：，，，，，得到相应的频率分布直方图.

(1)求的值，并估计该公司员工BMI的样本数据的众数与中位数（精确到0.1）；(2)该公司共有1200名员工，用频率估计概率，估计该公司员工BMI数值正常的人数.【答案】(1)a=0.08，众数为；中位数为(2)【分析】（1）根据频率之和为1可求得，从而可求得该公司员工的样本数据的众数为22；设设该公司员工的样本数据的中位数为，则，求解即可；（2）根据题意可求得该公司员工数值正常的概率为，进而可求解.【详解】（1）根据频率分布直方图可知组距为4，所以，解得.该公司员工的样本数据的众数为22.设该公司员工的样本数据的中位数为，则，解得.故该公司员工的样本数据的中位数约为.（2）因为成年人的数值为正常，所以该公司员工数值正常的概率为，所以该公司员工数值正常的人数为.19．在中，内角，，的对边分别是，，，已知.(1)求角的大小；(2)若，边上的中线，求的周长.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理边化角，再结合和角正弦公式、诱导公式，可得，从而可求解；（2）根据余弦定理可得，再根据中线向量公式可得，从而求得，进而求得周长.【详解】（1）由正弦定理得：，即，即.因为，所以.因为,所以.（2）已知，在中，由余弦定理得：①，由为的中线，得，两边平方得②，联立①②得，所以的周长为.20．如图，在四棱锥中，，平面，，，是边长为2的等边三角形，为棱的中点.

(1)证明：平面；(2)求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取中点，连接，证明，利用线面平行的判定定理即可证明；（2）取中点，连接，可得即为与平面所成的角，求解即可.【详解】（1）取中点，连接，为棱的中点，，又，且，四边形是平行四边形，，又平面平面，平面；（2）取中点，连接，是边长为2的等边三角形，，且，平面，平面，又平面，又，且平面，即为与平面所成的角，在中，，在中，则，所以与平面所成角的正弦值为.

21．某工厂为加强安全管理，进行安全生产知识竞赛，规则如下：在初赛中有两轮答题：第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得20分，否则得0分；第二轮从B类的4个问题中任选两题依次作答，每答对一题得20分，答错得0分.若两轮总得分不低于40分，则晋级复赛.甲和乙同时参赛，已知甲每个问题答对的概率都为0.6，在A类的5个问题中，乙只能答对4个问题，在B类的4个问题中，乙答对的概率都为0.4，甲、乙回答任一问题正确与否互不影响.(1)求乙在第一轮比赛中得20分的概率；(2)以晋级复赛的概率大小为依据，甲和乙谁更容易晋级复赛?【答案】(1)(2)甲更容易晋级复赛【分析】（1）对类的5个问题进行编号：，设乙能答对的4个问题的编号为.利用列举法，根据古典概型概率公式即可求解；（2）按第一轮得20分且第二轮至少得20分和第一轮得0分且第二轮得40分，结合独立乘法公式和对立事件概率公式，分别计算甲、乙晋级复赛的概率，从而可判断.【详解】（1）对类的5个问题进行编号：，设乙能答对的4个问题的编号为.第一轮从类的5个问题中任选两题作答，可用表示选题结果，其中，为所选题目的编号，样本空间为,共10个样本点.设“乙在第一轮得20分”事件为，则共6个样本点.则乙在第一轮得20分的概率为.（2）甲晋级复赛分两种情况:①甲第一轮得20分且第二轮至少得20分的概率为：，②甲第一轮得0分且第二轮得40分的概率为：所以甲晋级的概率.乙晋级复赛分两种情况:①乙第一轮得20分且第二轮至少得20分的概率为：，②乙第一轮得0分且第二轮得40分的概率为：所以乙晋级复赛的概率为.因为，所以甲更容易晋级复赛.22．如图1，在直角梯形中，，，，是的中点，与交于点，将沿向上折起，得到图2的四棱锥.

(1)证明：平面；(2)若，求二面角的正切值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用平面几何的知识证得，从而利用线面垂直的判定定理即可得解；（2）在图2中证得平面，从而证得平面，进而得到为二面角的平面角，由此求得所需线段的