广东省梅州市金丰中学2022年高三数学文下学期期末试卷含解析

广东省梅州市金丰中学2022年高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.等差数列的前n项和为,且满足,则下列数中恒为常数的是（）A.

B.

C.

D.参考答案：D略2.在中，若依次成等差数列，则（

）A．依次成等差数列

B．依次成等比数列C．依次成等差数列D．依次成等比数列

参考答案：C：因为依次成等差数列，则，得，得，，所以选C.3.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（

）A.7 B.8 C.9 D.11参考答案：C【分析】模拟程序框图运行即得解.【详解】第一次运行时，；第二次运行时，；第三次运行时，；第四次运行时，；此时刚好不满足，故输出，故选：C【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．12 B．18 C．24 D．30参考答案：C【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，切去一个三棱锥所得的组合体，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，切去一个三棱锥所得的组合体，其底面面积S=×3×4=6，棱柱的高为：5，棱锥的高为3，故组合体的体积V=6×5﹣×6×3=24，故选：C5.设α，β是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列四个命题中正确的命题是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥βC．若a⊥α，a?β，则α⊥βD．若a，b在α内的射影相互垂直，则a⊥b参考答案：C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，a与b相交、平行或异面；在B中，α与β相交或平行；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，a与b相交、平行或异面．【解答】解：由α、β、γ是三个不同的平面，a、b是两条不同的直线，知：在A中，若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故A错误；在B中若a∥α，b∥β，a∥b，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若a⊥α，a?β，则根据平面与平面垂直的判定定理，可得α⊥β，故C正确；在D中，若a，b在平面α内的射影互相垂直，则a与b相交、平行或异面，故D错误．故选：C．6.在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛的学生的成绩进行整理后分为5组，绘制出如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是40，则成绩在80~100分的学生人数是（

）A．15

B．18

C．20

D．25参考答案：A7.若空间三条直线a、b、c满足，则直线

（

）

A．一定平行

B．一定相交

C．一定是异面直线

D．一定垂直参考答案：D8.已知：为单位向量，，且，则与的夹角是（

）A．

B.

C．

D.

参考答案：D略9.已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则A∩B中元素的个数为A．1 B．2 C．3

D．4

参考答案：B由题意可得：.本题选择B选项.10.双曲线的离心率为（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】将双曲线方程化成标准方程后求出可求离心率.【详解】双曲线的标准方程为：，故实半轴长为，虚半轴长为，故半焦距，故离心率为，故选：A.【点睛】本题考虑双曲线的离心率，注意先把方程化成标准方程后再求基本量，本题属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的定义域为________．参考答案：(0，1)12.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是

（结果用最简分数表示）。参考答案：三位同学从三个项目选其中两个项目有中，若有且仅有两人选择的项目完成相同，则有，所以有且仅有两人选择的项目完成相同的概率为。13.某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有

种(用数字作答)．参考答案：3014.已知正项数列的前项和为且满足．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）当，（均为正整数）时，求和的所有可能的乘积之和.参考答案：解：（Ⅰ）∵，两式相减得，由得，又∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴

6分（Ⅱ）由和的所有可能乘积（，）可构成下表设上表第一行的和为，则

于是…＋＝

12分略15.＋2与-2的等比中项是_________.参考答案：±1略16.若点在直线上，其中则的最小值为

．参考答案：

17.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线与曲线，（为参数）交于、两点，且，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线的极坐标方程是________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）

已知：函数，其中．（Ⅰ）若是的极值点，求的值；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）若在上的最大值是，求的取值范围．参考答案：（Ⅰ）解：．

依题意，令，解得．

经检验，时，符合题意．

……4分

（Ⅱ）解：①当时，．

故的单调增区间是；单调减区间是．

…5分②当时，令，得，或．当时，与的情况如下：↘↗↘所以，的单调增区间是；单调减区间是和．

当时，的单调减区间是．

当时，，与的情况如下：↘↗↘所以，的单调增区间是；单调减区间是和．③当时，的单调增区间是；单调减区间是．

综上，当时，的增区间是，减区间是；当时，的增区间是，减区间是和；当时，的减区间是；当时，的增区间是；减区间是和．

……11分（Ⅲ）由（Ⅱ）知时，在上单调递增，由，知不合题意．

当时，在的最大值是，由，知不合题意．

当时，在单调递减，可得在上的最大值是，符合题意．

所以，在上的最大值是时，的取值范围是．…………14分

略19.（本小题满分12分）已知椭圆，离心率为，两焦点分别为、，过的直线交椭圆于两点，且△的周长为.（1）求椭圆的方程；（2）过点作圆的切线交椭圆于两点,求弦长的最大值.参考答案：（1）由题得：，，所以，。

…………3分又，所以即椭圆的方程为.

……………4分（2）由题意知，.当时，切线l的方程，点A、B的坐标分别为此时;当m=－1时，同理可得

……………5分当时，设切线的方程为由设A、B两点的坐标分别为，则

又由l与圆得所以

…9分因为

所以且当时，|AB|=2，由于当时，所以|AB|的最大值为2.

…12分20.（本小题满分13分）汽车租赁公司为了调查A,B两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表:A型车出租天数1234567车辆数51030351532B型车出租天数1234567车辆数1420201615105

（I）从出租天数为3天的汽车（仅限A,B两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.参考答案：解：（I）这辆汽车是A型车的概率约为

这辆汽车是A型车的概率为0.6

………………3分（II）设“事件表示一辆Ａ型车在一周内出租天数恰好为天”，

“事件表示一辆Ｂ型车在一周内出租天数恰好为天”，其中则该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为

………………5分

………………7分该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为

………………9分（Ⅲ）设为A型车出租的天数，则的分布列为12345670.050.100.300.350.150.030.02

设为B型车出租的天数，则的分布列为

14567[Y.COM/]000.05

………………12分一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，B类车型一个星期出租天数的平均值为3.48天.从出租天数的数据来看，A型车出租天数的方差小于B型车出租天数的方差,综合分析，选择A类型的出租车更加合理.

………………13分21.已知函数f（x）=lnx，g（x）=+bx（a≠0）（Ⅰ）若a=﹣2时，函数h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设φ（x）=e2x+bex，x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；（Ⅲ）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；两条直线平行的判定．【专题】计算题；证明题；压轴题．【分析】（I）根据a=﹣2时，函数h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内是增函数，知道h′（x）在其定义域内大于等于零，得到一个关于b的不等式，解此不等式即得b的取值范围；（II）先设t=ex，将原函数化为关于t的二次函数，最后将原函数φ（x）的最小值问题转化成二次函数在某区间上的最值问题即可；（III）先假设存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行，利用导数的几何意义求出切线的斜率进而得出切线的方程，后利用斜率相等求出R的横坐标，如出现矛盾，则不存在；若不出现矛盾，则存在．【解答】解：（I）依题意：h（x）=lnx+x2﹣bx．∵h（x）在（0，+∞）上是增函数，∴对x∈（0，+∞）恒成立，∴，∵x＞0，则．∴b的取值范围是．（II）设t=ex，则函数化为y=t2+bt，t∈[1，2]．∵．∴当，即时，函数y在[1，2]上为增函数，当t=1时，ymin=b+1；当1＜﹣＜2，即﹣4＜b＜﹣2时，当t=﹣时，；，即b≤﹣4时，函数y在[1，2]上是减函数，当t=2时，ymin=4+2b．综上所述：（III）设点P、Q的坐标是（x1，y1），（x2，y2），且0＜x1＜x2．则点M、N的横坐标为．C1在点M处的切线斜率为．C2在点N处的切线斜率为．假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2．即．则=，∴设，则，（1）令，则，∵u＞1，∴r′（u）＞0，所以r（u）在[1，+∞）上单调递增，故r（u）＞r（1）=0，则，与（1）矛盾！【点评】本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性、两条直线平行的判定等基础知识，属于中档题．22.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为（2，0），且过点（2，0）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆C交于不同两点A、B，且|AB|=3．若点P（x0，2）满足|