中短期与长期预测模型比较研究

中短期与长期预测模型比较研究

中国是一个人口众多的国家。人口问题一直是制约中国发展的重要因素之一。根据已有数据,运用数学建模的方法,对中国人口做出分析和预测是一个重要的问题。本文根据文献资料结合中国的实际情况和人口增长特点建立中国人口增长的数学模型,并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测。1模型的构建和求解1.1短期人口预测模型对于中短期的人口预测,根据多元线性回归原理并运用MATLAB软件,实现二次多项式(曲面)拟合,并对模型的有效性进行检验。1.1.1多元线性回归模型1.1.1.的线性无偏最小方差估计{yi=β0+β1xi1+⋯+βmxim+εiεi~Ν(0,σ2),i=1,2,⋯,n(1)依据最小二乘准则Q(β)=n∑i=1ε2i=(Y-Xβ)Τ(Y-Xβ)估计模型中的参数β,得到β的线性无偏最小方差估计ˆβ,其中ˆβ=(XΤX)-1XΤY。(1)对误差方差σ2进行无偏估计得到:s2=ˆσ2=Qn-m-1且Q的自由度为n-(m+1)。(2)根据概率统计中的区间估计得到回归系数β0的置信区间:[ˆβ0-t(n-2),1-α/2s√ˉxΤ(˜XΤ˜X)-1ˉx+1n,ˆβ0+t(n-2),1-α/2s√ˉxΤ(˜XΤ˜X)-1ˉx+1n其中ˉxΤ=(ˉx1,⋯,ˉxm)。(3)对模型进行有效性检验——决定系数和F统计量。1.1.1.y+1x1++1x1+1x12的+2-方差值ls当模型(1)通过有效性检验后,可由自变量的任一给定值x=(x1,…xm)预测因变量的理论值y,记作ˆy。显然ˆy=ˆβ0+ˆβ1x1+⋯+ˆβmxm(2)与一元线形回归一样,ˆy是无偏的,并且均方误差E(y^-y)2最小。在给定显著性水平α下y的预测区间为[y^-δ(x),y^+δ(x)]δ(x)=t(n-2),1-α/2s(x-x¯)Τ(X˜ΤX˜)-1(x-x¯)+1n+1当n很大且x接近x¯时,上述预测区间简化为[y^-u1-α/2s,y^+u1-α/2s]1.1.2模型预测结果我们通过对线性人口预测模型、包含线性项和交互项的人口预测模型以及包含线性项和纯二次项人口预测模型的研究,在包含线性项和纯二次项人口预测模型的基础上加入了交互项,建立模型该模型充分考虑了完全二次项(x12、x22、x1x2)对模型的影响,利用MATLAB编程,计算其结果见表1。通过分析和比较,可知模型(3)中R2=0.9389是几个模型中最大的,且S2=0.0938是最小的,其模型的精度是最高的,采取该模型对人口总数量(1997-2005)进性预测结果如表2。通过表1的数据可以知道其模型的预测值与实际的数据的拟合程度较高,对模型(3)的残差分析图(见图1)可以发现其中的数据基本上趋于正常,可见该模型的精度较高。最终综合比较分析得到精度较高的回归方程为:对中短期(2007-2021)的人口进行预测,计算结果见表3。1.2死亡率模型的模拟由于人口性别比在长期内不是稳定的,且人口性别比会影响人口总数,为了使模型精度更高,结果更准确。充分考虑人口性别比对模型的影响,建立如下模型:此处的x3记为人口性别比,在建立长期人口预测模型中,关键是预测出人口性别比、出生率和死亡率,该模型采用多次曲线的插值拟合的方法预测,采用MATLAB编程求其预测结果见表4、5。对长期人口预测模型(4)(5)(6)(7)的求解原理和思想都符合线性最小二乘原理,用MATLAB编程求解长期linear模型的计算结果、长期interaction模型的计算结果、长期fullquadratic模型的计算结果和长期purequadratic模型的计算结果,结果表明长期purequadratic模型中R2=0.9989接近1是模型中的最大的,s2=0.00404496是四个模型中最小的(见表6),可见该模型的精度最高,最后可以得出最优预测的模型为由于出生率、死亡率、人口性别比均已预测出,可通过该模型预测出长期(2007-2036)的人口总数,预测结果为见表7。1.3费氏模型参数估计费氏模型是在马尔萨斯模型基础上的修正,增加了一个二次项,生长和发展受制于环境约束:dΡ(t)dt=aΡ(t)-b[Ρ(t)]2式中P(t)为年的预测的人口数;a、b分别为一次、二次的常系数;M为区域人口上限,M=a/b当P(t0)=p0时的费氏模型的解析解为:Ρ(t)=Μ1+(Μp0-1)e-λΜ(t-t0)(9)参数a和b的确定。要应用费氏模型进行人口预测,首先必须确定常系数,确定费氏模型的参数的方法,在这里我们用微分方程求解法。微分方程求解就是利用至少3个的历史数据通过微分的方法计算式(9)左端的导数,并将两组导数和人口数代入式(9),从而得到二元一次方程组,最终获得参数a、b,如果3个人口数据分别为P0、P1和P2,对应的时间分别为T0、T1和T2,则和的导数为Ρ1′=Ρ1-Ρ0Τ1-Τ0Ρ2′=Ρ2-Ρ1Τ2-Τ1将P1和P1′以及P2和P2′分别代入式30,得到二元一次方程组,解该方程组即可获得参数a和b的计算结果为:a=Ρ1′Ρ22-Ρ2′Ρ12Ρ1Ρ2(Ρ2-Ρ1)b=Ρ1′Ρ2-Ρ2′Ρ1Ρ1Ρ2(Ρ2-Ρ1)我们不妨取2003、2004、2005年的数据作为计算数据,运用上述公式在Matlab中编写函数求得参数a、b和M那么在此数据基础上的费氏模型函数为:Ρ(t)=-4.2371-1.3279e-0.0014(t-2003)我们可以运用此函数对2007-2036这30年的总人口数进行预测,结果见表8。2预测和预测模型2.1由中短期的人口预测模型的结果可以看出,模型预测2021年时总人口数为14.9300亿已经很接近《国家人口发展战略研究报告》中提到的2020年的战略目标14.5亿。由于模型不仅可以预测人口总数,还可以预测当年的出生率,所以政府部门和计生部门可以通过控制出生率将总人口控制在目标附近。2.2对于长期的人口预测模型,在中短期的模型基础上加入男女性别比这一重要的因素再次运用Matlab统计工具箱二元二项式回归,通过对比后选择包含线性项和纯二次项的回归模型。利用该模型对2007-2036三十年内的人口总数,出生率,死亡率和性别比例进行了预测。三十年后也就是2036年的人口总数为14.8976亿,且回归曲线走势已趋于平缓,所以到本世纪中叶我国人口基本可以稳定在15亿左右