北师大版八年级数学上册 （三角形内角和定理）平行线的证明新课件(第1课时)

第七章

平行线的证明三角形内角和定理第1课时

1课堂讲解三角形内角和性质和应用直角三角形两锐角的关系2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升我们知道，三角形内角和等于180°.你还记得这个结论的探索过程吗？（1）如图，如果我们只把∠A移到∠1的位置，你能说明这个结论吗？如果不移动∠A，那么你还有什么方法可以达到同样的效果？（2）根据前面给出的基本事实和定理，你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗？你能用比较简洁的语言写出这一证明过程吗？与同伴进行交流.1知识点三角形内角和性质知1－导已知：如图，△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°.图1分析：延长BC到D，过点C作射线CE//BA(图2)，这样就相当于把∠A移到了∠1的位置，把∠B移到了∠2的位置.图2这里的CD，CE称为辅助线，辅助线通常画成虚线.知1－导知1－导证明：延长BC到D，过点C作射线CE//BA，则

∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），

∠2=∠B（两直线平行，同位角相等）.∵∠l+∠2+∠ACB=180°（平角的定义），∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）.1.三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.2.定理证明的思路：因为180°的角有：(1)平角；(2)邻补角的和；(3)平行线间一对同旁内角的和，因此证三角形的内

角和为180°就是要把三角形的三个内角转化为上述的三种角，

而创造平行线是转化的桥梁．知1－讲（来自《点拨》）例1（山东滨州）在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，试判断△ABC的形状，并说明理由．导引：引用辅助量x°，用x°表示出△ABC的三个内角

的度数，然后在△ABC中，运用三角形内角和定

理构造方程，解方程后，求出△ABC中各内角的

度数，再看是否有一个角是直角或有两个角互余，

从而判断△ABC的形状．

知1－讲（来自《点拨》）解：△ABC是直角三角形．

理由：∵∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，∴可设∠A，∠B，∠C的度数分别为x°，2x°，3x°.在△ABC中，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形三个内

角的和等于180°)，

∴x＋2x＋3x＝180，解得x＝30.∴∠A＋∠B＝x°＋2x°＝3x°＝90°.∴∠C＝180°－90°＝90°.∴△ABC是直角三角形．知1－讲（来自《点拨》）总

结知2－讲（来自《点拨》）

判断一个三角形的形状的方法：(1)可以看三角形中最大的角的大小：最大角是锐角，三角形就是锐角三角形；最大角是直角，三角形就是直角三角形；最大角是钝角，三角形就是钝角三角形．(2)也可以通过角的比例关系判断：两较小角的比例和小于最大角的比例，则此三角形为钝角三角形；两较小角的比例和等于最大角的比例(两锐角互余)，则此三角形为直角三角形；两较小角的比例和大于最大角的比例，则此三角形为锐角三角形．1(中考·滨州)在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则∠C等于(

)A．45°B．60°C．75°D．90°2(中考·枣庄)如图，AB∥CD，AE交CD于点C，∠A＝34°，∠DEC＝90°，则∠D的度数为(

)A．17°B．34°C．56°D．124°知1－练（来自《典中点》）CC一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，

若∠3＝50°，则∠1＋∠2＝(

)A．90°B．100°C．130°D．180°知1－练（来自《典中点》）B2知识点直角三角形两锐角的关系知2－导已知：直角三角形ABC中，∠A＝90°求证：∠A与∠C互余.证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°（三角形内角和

定理）

∠A＝90°（已知）∴∠B＋∠C＝90°.(等量减等量差相等)∴∠B与∠C＝互余.（两角互为余角的定义）

知1－讲归

纳（来自《教材》）

定理：直角三角形的两锐角互余.知2－讲例2如图，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平

分线，∠B＝20°，∠C＝60°.求∠DAE的度数．导引：∠DAE在△AED中，而∠DAE＝∠BAD－∠BAE，

要求∠DAE的度数，需先求出∠BAD和∠BAE的

度数．（来自《点拨》）知2－讲解：在△ABC中，∠B＝20°，∠C＝60°，所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝100°.又因为AE是∠BAC的平分线，所以∠BAE＝在△ABD中，∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°.又因为AD是高，

所以∠BAD＝180°－20°－90°＝70°.所以∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝70°－50°＝20°.（来自《点拨》）总

结知2－讲（来自《点拨》）灵活运用三角形内角和定理，结合三角形的高及角平分线的定义是求有关角的度数的常用方法．

知2－练（来自《典中点》）如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点

放在长方形直尺的一组对边上．如果∠2＝60°，

那么∠1的度数为(

)A．60°B．50°C．40°D．30°D知2－练（来自《典中点》）2(中考·菏泽)将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD

＝20°，则∠BOC的大小为(

)A．140°B．160°C．170°D．150°B利用三角形内角和定理求角的度数时，常结合三角形的角平分线，三角形的高，补角、余角、对顶角等角的关系，以及角的和、差关系进行计算．还可以利用题目中的等量关系列方程求解．

第七章

平行线的证明三角形内角和定理第2课时

1课堂讲解三角形外角的定义三角形外角的关系三角形的外角和2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升三角形的内角和定理是什么？复习回顾1知识点三角形外角的定义知1－导三角形外角的定义：如图，∠ACD是由△ABC的一条边BC的延长线和另一条相邻的边CA组成的角，这样的角叫做该三角形的外角．知1－讲在△ABC中，∠A等于和它相邻的外角的四分之一，这个外角等于∠B的两倍，那么∠A＝______，∠B＝_________，∠C＝_________.例1导引：∠A和与它相邻的外角互为邻补角，∠A又等于和它相邻的外角的四分之一，所以∠A＝36°，∠A的外角为144°，所以∠B＝72°，根据三角形内角和为180°，可以求得∠C＝72°.

36°72°72°总

结知1－讲三角形的外角与他相邻的内角互补.1知1－练下边的角是△ABC的外角的是()∠ACEB.∠ACF

C.∠BCDD.∠ACBB2知识点三角形外角的关系知2－导议一议在图中，∠1与其他角有什么关系？能证明你的结论吗?知2－讲1.三角形内角和定理的推论(三角形外角定理)：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．2.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的

内角：作用：用来证明角的不等关系．（来自《点拨》）知2－讲例2已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平

分外角∠EAC.求证：AD//BC.分析：要证明AD//BC，只需证明“同位角相等”或

“内错角相等”或“同旁内角互补”.（来自教材）知2－讲证明：∵∠EAC=∠B+∠C

（三角形的一个外角等于和它

不相邻的两个内角的和），∠B=∠C（已知），∴∠C=∵AD平分∠EAC（已知），∴∠DAC=∴∠DAC=∠C

（等量代换）.∴AD//BC

（内错角相等，两直线平行）.（来自教材）知2－练（来自《典中点》）1(中考·甘孜州)如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，延长BA至点D，则∠CAD的大小为(

)A．110°B．80°C．70°D．60°2(中考·来宾)如图，△ABC中，∠A＝40°，点D为AB延长线上一点，且∠CBD＝120°，则∠C等于(

)A．40°B．60°C．80°D．100°CC知2－练（来自《典中点》）如图，P为△ABC内任一点，延长CP交AB于D，则下列结论错误的是(

)A．∠1>∠3B．∠1>∠AC．∠2>∠AD．∠3>∠AC3知识点三角形的外角和△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角.如图，∠1是△ABC的∠ABC的外角.你能在图中画出△ABC的其他外角吗？知3－导

1.三角形外角的定义：

三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线

组成的角．如图中的∠ACD的一条边是△ABC的边AC，另一条边是△ABC的边BC的延长线．知3－讲（来自《点拨》）2.三角形的外角和等于360°.已知：∠1、∠2、∠3为△ABC的三个外角，如图．求证：∠1+∠2+∠3=360°．证明：∵∠1+∠BAC=180°，∠2+∠BCA=180°，∠3+∠ABC=180°，∴∠1+∠2+∠3+（∠BAC+∠BCA+∠ABC）=540°（等式性质）.∵∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°（三角形内角和定理），∴∠1+∠2+∠3=360°.知3－讲例3如图，△CEF的外角为________________．导引：图中△CEF的三边的延长线只有EF的延长线FA，CE

的延长线EB，延长线FA与边CF构成的角为∠AFC；延长线EB与边EF构成的角为∠BEF.由三角形外角的