人教B版数学课件3-1-1第2课时函数的表示方法及用信息技术作函数图像

第2课时函数的表示方法及用信息技术

作函数图像第三章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.会选择恰当的方法表示函数,并注意体会三种表示方法的区别与联系.(数学抽象)2.掌握求函数解析式的一般方法.(数学运算)3.了解简单的分段函数,并能简单应用.(逻辑推理)课前篇自主预习【激趣诱思】(1)已建成的京沪高速铁路总长约1318km,设计速度目标值为380km/h.若京沪高速铁路时速按300km/h计算,火车行驶xh后,路程为ykm,则y是x的函数,可以用y=300x来表示,其中y=300x叫做该函数的解析式.(2)如图是我国人口出生率变化曲线.(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表

污染源距离50100200300500氰化物浓度0.6780.3980.1210.050.01【知识点拨】

知识点一、函数的表示方法

名师点析

函数的三种表示方法的优缺点

表示方法优

点缺

点列表法不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值只能表示自变量可以一一列出的函数关系图像法能形象直观地表示出函数的变化情况只能近似地求出自变量的值所对应的函数值,而且有时误差较大解析法一是简明、全面地概括了变量间的关系,从“数”的方面揭示了函数关系;二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值不够形象、直观、具体,而且并不是所有的函数都能用解析法表示出来微练习购买某种饮料x听,所需钱数是y元.若每听2元,试分别用解析法、列表法、图像法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数,并指出函数的值域.解

(解析法)y=2x,x∈{1,2,3,4}.(列表法)x1234y2468(图像法)该函数的值域为y∈{2,4,6,8}.知识点二、用集合语言对函数的图像进行描述一般地,将函数y=f(x),x∈A中的自变量x和对应的函数值y,分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标,则满足条件的点(x,y)组成的集合F称为函数的图像,即F={(x,y)|y=f(x),x∈A}.这就是说,如果F是函数y=f(x)的图像,则图像上的任意一点的坐标(x,y)都满足函数关系y=f(x);反之,满足函数关系y=f(x)的点(x,y)都在图像F上.微思考

如何判断一个图形是否为一个函数的图像?提示

判断一个图形是否为函数图像,关键是判断定义域内的任意一个自变量是否有唯一的一个函数值与之对应.即要检验一个图形是否是一个函数的图像,可以作x轴的垂线,在定义域范围内,平移垂线,若垂线与图形有一个交点,则该图形就表示函数的图像,否则,该图形不是函数的图像.知识点三、分段函数如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的对应方式,则称其为分段函数.名师点析

学习分段函数应注意(1)分段函数是一个函数,而不是几个函数.(2)处理分段函数问题时,要首先确定自变量的取值属于哪一个范围,然后选取相应的对应关系.要注意写解析式时各区间端点的开闭,做到不重复、不遗漏.(3)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是分别求出各段上的值域后取并集.微练习(1)求f(f(-2))的值;(2)若f(a)=4,求实数a的值.解

(1)∵f(-2)=-(-2)=2,∴f(f(-2))=f(2)=4.(2)①当a>0时,f(a)=a2=4,∴a=2.②当a≤0时,f(a)=-a=4,∴a=-4.综上可知,a=-4或a=2.课堂篇探究学习探究一画函数图像例1作出下列函数的图像:(1)y=-x+1,x∈Z;(2)y=2x2-4x-3(0≤x<3);(3)y=|1-x|;分析作函数图像,首先明确函数的定义域,其次明确函数图像的形状,体会定义域对图像的控制作用,处理好端点.如第(4)小题x=0时的情况.作图时,如第(2)小题,先不受定义域限制作出完整的抛物线,然后再根据定义域截取.函数图像的形状可以是一条或几条无限长的平滑曲线,也可以是一些点、一些线段、一段曲线等.解

(1)定义域为Z,所以图像为离散的点.图像如图1所示.(2)y=2x2-4x-3=2(x-1)2-5(0≤x<3),定义域不是R,因此图像不是完整的抛物线,而是抛物线的一部分.图像如图2所示.(3)先根据绝对值的定义去掉绝对值号,再写成分段函数

图像如图3所示.(4)这个函数的图像由两部分组成.当0≤x≤1时,为抛物线y=x2的一段;当-1≤x<0时,为直线y=x+1的一段.图像如图4所示.反思感悟

常见的函数图像的画法1.描点法.描点法的一般步骤是:列表、描点、连线;列表——先找出一些(有代表性的)自变量x,并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x),用表格的形式表示出来;描点——从表中得到一系列的点(x,f(x)),在坐标平面上描出这些点;连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来.2.变换作图法.变换作图法常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等.探究二求函数解析式(2)已知函数f(x)是一次函数,若f(f(x))=4x+8,则f(x)=

;

(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)-2f(-x)=1+2x,则f(x)=

.

分析(1)用换元法或配凑法求解;(2)用待定系数法求解;(3)用方程组法求解.(2)设f(x)=ax+b(a≠0),则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b.又f(f(x))=4x+8,所以a2x+ab+b=4x+8,反思感悟

求函数解析式的四种常用方法1.待定系数法:若已知f(x)的解析式的类型,设出它的一般形式,根据特殊值确定相关的系数即可.2.换元法:设t=g(x),解出x,代入f(g(x)),求f(t)的解析式即可.3.配凑法:对f(g(x))的解析式进行配凑变形,使它能用g(x)表示出来,再用x代替两边所有的“g(x)”即可.4.方程组法:当同一个对应关系中的两个变量之间有互为相反数或互为倒数关系时,可构造方程组求解.探究三分段函数及其应用分析在x≥-2时,由x+2>2,解得x>0后,需与x≥-2求交集,得x>0;当x<-2时,由

-x-2>2,得x<-4,与x<-2求交集,得x<-4.然后求x>0与x<-4的并集得最后结果.解

当x≥-2时,f(x)=x+2,由f(x)>2,得x+2>2,解得x>0,故x>0;当x<-2时,f(x)=-x-2,由f(x)>2,得-x-2>2,解得x<-4,故x<-4.综上可得,x的取值范围为(-∞,-4)∪(0,+∞).反思感悟

解决分段函数问题的关注点1.已知函数值,求自变量的值时,切记要进行检验.解题时一定要注意自变量的范围,只有在自变量确定的范围内才可以进行运算.2.已知f(x),解关于f(x)的不等式时,要先在每一段内求交集,最后求并集.延伸探究作出下列函数的图像,并写出函数的值域.(1)y=|x+2|+|x-3|;(2)y=|x+1|-|x-2|.

素养形成数形结合思想在分段函数中的应用典例

已知

则满足不等式f(1-x)>f(x)的x的取值范围是

.

解析

方法一(代数法)根据题意求x的取值范围,需分四种情况讨论,具体如下:当1-x≥0,且x≥0,即0≤x≤1时,由f(1-x)>f(x),得(1-x)2>x2,解得x<,所以0≤x<;当1-x≥0,且x<0,即x<0时,由f(1-x)>f(x),得(1-x)2+1>1,解得x≠1,又x<0,所以x<0;当1-x<0,且x<0,此时x不存在,不满足要求;当1-x<0,且x≥0,即x>1时,由f(1-x)>f(x),得1>x2+1,此时不成立.综上可知,所求x的取值范围是方法二(数列结合法)方法点睛

函数的图像与函数值间具有密切的关系,在函数图像上方的函数值大于下方所有函数图像对应的函数值,故可以根据函数图像的上、下位置关系,把不等式的解的问题转化为数量关系求解,如本例中借助分段函数的图像可以直接把求解的问题转化为1-x与x的关系求解.

当堂检测1.已知函数f(x),g(x)分别由下表给出:x123f(x)211x123g(x)321则f(g(1))=(

)A.2 B.1 C.3 D.不确定答案

B答案

B3.(多选题)(2020广东佛山高一检测)下列四个图形中可能是函数y=f(x)图像的是(

)答案

AD解析

在A,D中,对于定义域内每一个x都有唯一的y与之相对应,满足函数关系,在B,C中,存在一个x有两个y与x对应,不满足函数对应的唯一性,故选AD.5.某客运公司确定客票价格的方法是:如果行