专题2.4 直线的交点坐标与距离公式【八大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）

专题2.4直线的交点坐标与距离公式【八大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1求两直线的交点坐标】 1【题型2经过两直线交点的直线方程】 3【题型3由直线的交点求参数】 4【题型4三线能围成三角形的问题】 6【题型5两点间的距离公式的应用】 8【题型6点到直线的距离公式的应用】 9【题型7两条平行直线间的距离公式的应用】 11【题型8与距离有关的最值问题】 12【知识点1两条直线的交点坐标】1．两条直线的交点坐标(1)两条直线的交点坐标

一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合.(2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系设两直线,直线.方程组的解一组无数组无解直线l1和l2的公共点个数一个无数个零个直线l1和l2的位置关系相交重合平行【题型1求两直线的交点坐标】【例1】（2023·江苏·高二假期作业）直线x+2y-4=0与直线2x-y+2=0的交点坐标是（

）A．(2,0) B．(2,1)C．(0,2) D．(1,2)【解题思路】解方程组x+2y【解答过程】解方程组x+2y-即直线x+2y-4=0与直线故选：C.【变式1-1】（2023·江苏·高二假期作业）直线2x+y+8=0和直线x+y-1=0的交点坐标是（

）A．(-9，-10) B．(-9，10) C．(9，10) D．(9，-10)【解题思路】直接解方程组可得.【解答过程】解方程组2x+y+8=0，x+y-故选：B.【变式1-2】（2023秋·高二课时练习）判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标．(1)直线l1(2)直线l1【解题思路】（1）解方程组，可得交点坐标；根据方程组的解的个数判断位置关系；（2）分类讨论n，解方程组可得答案.【解答过程】（1）联立2x-3所以两直线相交，交点坐标为(-2,2).（2）当n=-1时，l1:联立x+当n=1时，l1:联立x-当n≠±1，联立nx-y所以两直线相交，交点坐标为(n综上所述：当n=-1时，两直线重合；当n=1时，两直线平行；当n≠±1【变式1-3】（2023·江苏·高二假期作业）判断下列各对直线的位置关系.若相交，求出交点坐标：（1）l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；（2）l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0.【解题思路】两个直线方程列方程组求解，方程组有解即得交点坐标，方程组无解则两直线平行（有无数解，则两直线重合）．【解答过程】（1）解方程组2x+y+3=0x-2y-1=0得x=-1y（2）解方程组x+y+2=02x+2y+3=0①×2所以直线l1与l2无公共点，即l1//l2.【题型2经过两直线交点的直线方程】【例2】（2023秋·天津西青·高二校考期末）过直线l1:x-2A．2x-y=0 B．2x+【解题思路】先求出直线l1:x【解答过程】联立方程{x-2y+4=0x+y又直线过原点所以此直线的方程为：x故选：D.【变式2-1】（2023春·广东韶关·高二校考期中）经过两条直线l1:x+yA．2x-yC．3x-2【解题思路】先求出两直线的交点坐标，再利用直线的方向向量求出斜率，利用点斜式求出直线方程.【解答过程】联立直线l1与l2，x+所以直线l1：x+y=2，l2又直线的一个方向向量v=(-3,2)，所以直线的斜率为-故该直线方程为：y-1=-故选：D.【变式2-2】（2023秋·广东广州·高一校考期中）过两直线x+y-3=0,2xA．x+3y+5=0 BC．x-3y+5=0【解题思路】先求出两直线交点，再由与直线y=1【解答过程】由x+y-3=02x-又直线y=13x的斜率为13故选：C.【变式2-3】（2023·全国·高一专题练习）已知直线l1:x-y+1=0，l2:xA．3x-4C．4x-3【解题思路】由于所求出直线与直线3x+4y-5=0【解答过程】由于所求出直线与直线3x+4y由x-y+1=0x-2=0，得x=2因为直线4x-3所以8-9+m=0，得所以所求直线方程为4x故选：D.【题型3由直线的交点求参数】【例3】（2022秋·广东广州·高二校考阶段练习）直线3x-(k+2)y+A．k≠1或k≠9 B．k≠1或k≠-9 C．k≠1或k【解题思路】根据给定条件，利用两条直线相交的充要条件，列式求解作答.【解答过程】因直线3x-(k+2)即(k+9)(k-1)≠0所以实数k的值为k≠1且k故选：D.【变式3-1】（2022秋·广东惠州·高二校考期中）已知直线mx+5y-3=0与x-3yA．24 B．20 C．18 D．10【解题思路】首先根据两条直线垂直求m，再根据两条直线过交点p,1，代入后分别求p【解答过程】因为两直线互相垂直，所以m+5×-3=0，得m=15，直线为15x+5y-3=0，代入交点p,1，得15所以m+故选：C.【变式3-2】（2023·高二课时练习）若直线kx-y=k-1与直线A．k>1 B．k<12 C．【解题思路】先根据直线相交求k的取值范围，再联立方程求出交点坐标列式求解即可.【解答过程】若直线kx-y=k-1与直线若直线kx-y=k-1与直线联立方程kx-y=k-由题意可得：kk-1综上所述：k的取值范围为0,1故选：C.【变式3-3】（2022·江苏·高二专题练习）若三条直线2x+y-4=0，x-yA．1 B．-2 C．1或-2 D．-1【解题思路】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，利用直线平行即求.【解答过程】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，∵直线x-y+1=0∴直线x-y+1=0和直线ax-y∵直线x-y+1=0的斜率为1，直线2x+y-∴a=1或a故选：C.【题型4三线能围成三角形的问题】【例4】（2023·高二课时练习）若三条直线x+y=0，x-y=0，xA．a≠±1 B．a≠1，a≠2 C．a≠-1 D．【解题思路】由题意可得，三条直线中任意两条不平行，且三条直线不共点，由此求得a的范围．【解答过程】解：∵三条直线x+y=0，x故三条直线中任意两条不平行，且三条直线不共点．而直线x+y=0和x-y因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线x+所以a≠±1故选：A．【变式4-1】（2022·高二课时练习）已知直线ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能构成三角形，则a的取值范围是（

）A．a≠-2 B．a≠C．a≠-2且a≠±1 D．a≠-2且【解题思路】由三条直线两两不平行，且不交于同一点可得．【解答过程】已知三条直线能构成三角形，首先不平行，若a=0若a≠0，则a1≠1aa≠±1时，由ax+y+1=0x+y+a=0，得x综上：a≠±1且a故选：C．【变式4-2】（2022秋·新疆喀什·高二校考阶段练习）已知直线l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能围成三角形，则实数a的取值不可能为（

）A．1 B．13 C．﹣2 D．﹣【解题思路】分析可得直线l1,l2一定相交，联立两方程，求得交点坐标为(1,2)，当a=0时，直线l3为x=3，分析可得不满足题意，当a≠0时，当直线l3分别与直线l1、【解答过程】因为直线l1的斜率为3，直线l2的斜率为-12，所以直线l1,l当a=0时，直线l3与x轴垂直，方程为：x=3当a≠0时，直线l3的斜率为：当直线l1与直线l3的斜率相等时，即1a当直线l2与直线l3的斜率相等时，即1a当直线l3过直线l1,l2交点(1,2)时，三条直线不能构成三角形，即有1-2故选：A.【变式4-3】（2022秋·浙江金华·高二期中）已知三条直线ax+2y+8=0、4x+3y=10A．-1 B．0 C．1 D．【解题思路】由三条直线过同一点，求得a，并判断不重合即得．【解答过程】由已知得三条直线必过同一个点，则联立4x+3y代入ax+2y+8=0故选：A.【知识点2距离公式】1．两点间的距离公式平面内两点间的距离公式为.

特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=.2．点到直线的距离公式(1)定义：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离.

(2)公式：

已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=.3．两条平行直线间的距离公式(1)定义

两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.

(2)公式

设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=.4．中点坐标公式公式：

设平面上两点，线段的中点为，则.【题型5两点间的距离公式的应用】【例5】（2023秋·广西防城港·高二统考期末）已知点A0,3,B3,-1，则A．5 B．26 C．32 D【解题思路】由距离公式求解.【解答过程】AB=故选：A.【变式5-1】（2023秋·高二课时练习）已知点A-2,-1，Ba,3，且A．1 B．-5 C．1或-5 D．-【解题思路】利用两点间距离公式构造方程求得结果.【解答过程】由题意知：AB=a+22故选：C.【变式5-2】（2023秋·高二课时练习）已知A(-1,2),B(0,4)，点C在x轴上，且AC=BCA．-112,0 B．0,-112 C【解题思路】设Ca,0，因为AC【解答过程】因为点C在x轴上，设点Ca,0，则所以a+1化简可得：a=112故选：D.【变式5-3】（2022·高二课时练习）以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是（

）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是【解题思路】计算出AB,BC【解答过程】AB=BC=AC=AC2所以三角形ABC是直角三角形.故选：C.【题型6点到直线的距离公式的应用】【例6】（2023·重庆·高二统考学业考试）点(1,1)到直线3x+4yA．1 B．2 C．5【解题思路】直接利用点到直线的距离公式得到答案.【解答过程】d=故选：A.【变式6-1】（2023秋·高二课时练习）已知A(4,0)到直线4x-3y+aA．-1 B．-13或-19 C．-1或【解题思路】由距离公式，解方程得出a的值.【解答过程】由距离公式可得，4×4-3×0+a42+32=3故选：C.【变式6-2】（2023·全国·高三专题练习）已知实数a>0,b<0，则3A．[-2,-1) B．(-2,-1)C．(-2.-1] D．[-2,-1]【解题思路】根据题意设直线l：ax+by=0，点A1,-3，利用点到直线的距离公式得点A到直线l的距离为d=a-3b【解答过程】根据题意，设直线l：ax+by=0那么点A1,-3到直线l的距离为：因为a>0,b<0，所以d=a当直线l的斜率不存在时，d=a-当OA⊥l时，所以1<d≤2，即因为3b-a故选：A.【变式6-3】（2023秋·广东河源·高二校考期末）过点P-1,1引直线，使A2,3，BA．2x+yC．2x+y+1=0或4x【解题思路】考虑直线斜率不存在和直线斜率存在，由点到直线距离公式列出方程，求出直线斜率，得到直线方程.【解答过程】若直线斜率不存在，即x=-1，此时A2,3，B4,-5两点到直线的距离分别为3若直线斜率存在时，设直线方程为y-由3k-21+k故直线方程为y-1=-4x整理得4x+y故选：D.【题型7两条平行直线间的距离公式的应用】【例7】（2023秋·高二课时练习）两条平行直线2x-7y+8=0A．5314 B．2 C．14 D．【解题思路】由距离公式求解即可.【解答过程】由距离公式可知，所求距离为d=故选：D.【变式7-1】（2023春·河南驻马店·高二校考期中）已知a<0，若直线l1：ax+2y+1=0与直线lA．724 B．522 C．5 D【解题思路】根据题意结合两直线平行求得a=-2，再代入两平行线间距离公式运算求解【解答过程】若直线l1：ax+2y+1=0与直线l2：x+a当a=1时，直线l1：x+2y+1=0当a=-2时，直线l1：2x-2综上所述：若直线l1与直线l2平行，则a=1∵a<0，则a=-2，此时直线l1：2x-故直线l1、l2之间的距离故选：A.【变式7-2】（2023·全国·高三专题练习）与直线2x+yA．2x+yC．2x+y=0或2x【解题思路】本题考查平行直线间的距离公式．【解答过程】设直线方程为2x+y+c=0，两平行直线间的距离为直线的方程为2x+故选C．【变式7-3】（2023秋·重庆渝北·高二校考期末）已知直线l1:2x+y+n=0，l2A．-3或3 B．-2或4 C．-1或5 D．【解题思路】先根据两直线平行由系数的关系求出参数m，然后由平行线间的距离公式求出参数n，最后由m+n【解答过程】由l1//l2可得则直线l2的方程为2由n+25=355，即故m+n=2+1=3或m故选：A.【题型8与距离有关的最值问题】【例8】（2023春·上海宝山·高二校考开学考试）点M2,1到直线l:2A．355 B．5 C．3 D【解题思路】由题意，求得直线所过定点，由两点之间距离公式，可得答案.【解答过程】由直线l:2λ令2x-y点M2,1到直线l距离的最大值为点M2,1到定点-1,-2