专题3.6 抛物线的标准方程和性质【八大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（原卷版）

专题3.6抛物线的标准方程和性质【八大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1动点的轨迹问题】 2【题型2利用抛物线的定义解题】 2【题型3抛物线的焦点坐标及准线方程】 3【题型4求抛物线的标准方程】 3【题型5根据抛物线的方程求参数】 4【题型6抛物线的对称性的应用】 5【题型7与抛物线有关的最值问题】 6【题型8与抛物线有关的实际应用问题】 6【知识点1抛物线的标准方程】1．抛物线的定义(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.(2)集合语言表示设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.2．抛物线的标准方程抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：图形标准方程焦点坐标准线方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)【题型1动点的轨迹问题】【例1】（2023春·陕西安康·高二校联考期末）动点Px,y到点F3,0的距离比它到直线x+2=0的距离大1，则动点P的轨迹是（

）.A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线【变式1-1】（2023春·广东韶关·高二校考阶段练习）动点Mx,y满足方程5x-A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【变式1-2】（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy中，动点Px,y到直线x=1的距离比它到定点-2,0的距离小1A．y2=2xC．y2=-4x【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)A．x2=-12y B．x2=12y C【题型2利用抛物线的定义解题】【例2】（2023春·四川资阳·高二统考期末）抛物线C：y=ax2过点1,2，则A．18 B．14 C．12【变式2-1】（2023春·江苏盐城·高二统考期末）若抛物线y2=4x上的一点M到坐标原点O的距离为5，则点MA．23 B．1 C．2 D．【变式2-2】（2023春·陕西榆林·高二统考期末）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，点M在抛物线C上，若M到直线x=-3的距离为A．4 B．5 C．6 D．7【变式2-3】（2023春·河南信阳·高二统考期末）已知抛物线C:x2=8y的焦点为F，C的准线与对称轴交于D，过D的直线l与C交于A，B两点，且AB=2BD，若FBA．83 B．8 C．10 D．【题型3抛物线的焦点坐标及准线方程】【例3】（2023春·陕西西安·高一校考期末）已知P-1,2为抛物线C:y2A．-14,0 B．-12,0【变式3-1】（2023春·江西南昌·高二校联考阶段练习）抛物线y2=14A．12 B．14 C．18【变式3-2】（2023·北京西城·统考二模）已知抛物线C与抛物线 y2=4x关于y轴对称，则A．x=- 2C．x=- 1【变式3-3】（2023·甘肃兰州·统考模拟预测）已知点P在圆C:x2-4x+y2A．y=36 B．x=312【题型4求抛物线的标准方程】【例4】（2023·全国·高二专题练习）以x轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是（

）A．y2=8x B．y2=-8x C．y2【变式4-1】（2023春·四川眉山·高二校考开学考试）已知抛物线y2=2px上的点M(2,yA．y2=2xC．y2=-2x【变式4-2】（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，AD⊥lA．y2=8xC．y2=2x【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，FA为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABDA．y2=2xC．y2=8x【题型5根据抛物线的方程求参数】【例5】（2023秋·高二单元测试）抛物线y=ax2的准线方程是y=2A．18 B．-18 C．8【变式5-1】（2023·陕西渭南·统考二模）将抛物线y2=mx绕其顶点顺时针旋转90∘之后，正好与抛物线y=2A．-12 B．12 C．-2【变式5-2】（2023春·北京·高三校考阶段练习）P为抛物线y2=2px(p>0)上一点，点P到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和A．2 B．4 C．4或9 D．2或18【变式5-3】（2022·江西·校联考二模）已知抛物线C：y2=2pxp>0的焦点为F，点M在C上，O为坐标原点，若OM=5A．2 B．4C．2或32 D．2或【知识点2抛物线的简单几何性质】1．抛物线的几何性质抛物线的简单几何性质：标准

方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图形顶点(0,0)(0,0)轴对称轴y=0对称轴x=0焦点准线离心率e=1e=1开口开口向右开口向左开口向上开口向下焦半径范围x≥0x≤0y≥0y≤02．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：

①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；

②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；

③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；

④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1,双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是e=1；

⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；

⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线.3．与抛物线有关的最值问题求解此类问题一般有以下两种思路：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.(2)代数法：由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解.【题型6抛物线的对称性的应用】【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知O为坐标原点，垂直抛物线C:y2=2pxp>0的轴的直线与抛物线C交于AA．4 B．3 C．2 D．1【变式6-1】（2022·全国·高一专题练习）以x轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程是（

）A．y2=8xC．y2=8x或y2=-8【变式6-2】（2023·全国·高三对口高考）已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两个点，O为坐标原点，若A．x=p B．x=3p C．【变式6-3】（2020·全国·模拟预测）已知抛物线C:y2=6x的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，且点A到准线l的距离为6，AF的垂直平分线与准线l交于点N，点OA．932 B．934 C．【题型7与抛物线有关的最值问题】【例7】（2023春·河南开封·高三统考期末）已知抛物线E:x2=4y，圆C:x2+y-32A．5 B．22-1 C．22【变式7-1】（2023春·四川泸州·高二统考期末）已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，点P在C上，若点QA．13 B．12 C．10 D．8【变式7-2】（2023春·云南曲靖·高二统考期末）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到其准线的距离为4,MA．8 B．6 C．5 D．4【变式7-3】（2023·河北沧州·统考三模）设P为抛物线C：y2=4x上的动点，A2,4关于P的对称点为B，记P到直线x=-1,x=-3的距离分别dA．217+2 BC．17+2 D．【题型8与抛物线有关的实际应用问题】【例8】（2023春·上海静安·高二校考期中）如图1，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分（如图2），盛水或食物的容器放在抛物线的焦点处，该容器由6根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑（图中F点为放置容器处，其余6个焊点在镜口圆上）．已知镜口圆的直径为12dm，镜深2dm．(1)建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程及焦点的坐标；(2)若把盛水或食物的容器近似地看作点，试求支撑容器的架子所用铁筋的总长度（单位dm）．【变式8-1】（2023春·广西南宁·高二统考开学考试）北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，全国人民都为我国的科技水平感到自豪.某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为x2100+y225=1，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴，0,365为顶点的抛物线的一部分（从点C到点B）.已知观测点(1)求航天器变轨时点C的坐标；(2)求航天器降落点B与观测点A之间的距离.【变式8-2】（2023秋·河南周口·高二统考期末）河道上有一抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面8m，拱圈内水面宽24m，一条船在水面以上部分高6.5m，船顶部宽6m．（1）试建立适当的直角坐标系，求拱桥所在的抛物线的标准方程；（2）近日水位暴涨了1.54m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞，试问：船身至少应该降低多少?（精确到0.1m）【变式8-3】（2023春·上海浦东新·高二校考期中）如图，