数学建模-生物种群模型省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

生物种群模型第1页2023/9/16介绍种群(Population)：是指在特定时间里占据一定空间同一物种有机体集合。种群生态学：主要研究种群时间动态及调整机理。种群分为单种群和各种群。生物种群模型西北大学数学系第2页2023/9/162)罗杰斯特(Logistic)模型

表示该种群最大容纳量。1单种群数学模型：1)马尔萨斯(Malthus)模型

表示时刻种群数量，称为内禀增加率。第3页2023/9/164)开发了单种群模型含有常数收获率含有时变收获率3）普通种群模型第4页2023/9/16

2两种群普通模型

两种群生活在同一自然环境下，存在下面三种情形，相互竞争、相互依存、弱肉强食。设甲、乙两种群在时刻数量为，则线性化，得西北大学数学系第5页2023/9/16

表示甲（乙）种群自然生长率；表示甲（乙）种群为非密度制约，表示甲（乙）种群为密度制约；表示甲、乙种群相互竞争；4)表示甲、乙种群相互依存；5)表示甲、乙种群为弱肉强食（捕食与被捕食）。第6页2023/9/163三种群普通模型三种群相互之间作用要比两种群更复杂，但建立模型思想和方法是相同。在三种群中每两个种群之间关系仍可归结为：相互竞争、相互依存、弱肉强食。三种群两两关系不一样组合就得到种类繁多数学模型。这些模型用方程组表示，或用图形表示。西北大学数学系第7页2023/9/16记三个种群分别为123并约定1）种群供食于种群表示为12122）种群为密度制约可表示为113）种群不主要靠吃本系统（1，2，3个种群组成系统）为生，114）种群与种群相互竞争：12125）种群与种群互惠共存：1212）第8页2023/9/16如，设A，B，C三种群为捕食与被捕食关系，则三者关系有三种：两个食饵种群，一个捕食者种群。一个食饵种群，两个捕食者种群。捕食链。CBACBACBA西北大学数学系第9页2023/9/16下面对于食饵种群增加是线性密度制约，两种群间影响都是线性，建立其相互作用数学模型（Volterra模型）（1）两个食饵种群A，B，一个捕食者种群C。设A，B，Ct时刻密度分别为假设：C种群主要以A，B种群为食饵，A，B不存在时，C要逐步绝灭，C不是密度制约；A，B种群不靠本系统为生，它们为密度制约且相互竞争。图示以下：第10页2023/9/16CBA（）西北大学数学系第11页2023/9/16（2）一个食饵种群A，两个捕食者种群B，C。ACB（）第12页2023/9/16ACB）西北大学数学系第13页2023/9/16ACB）））（3）捕食链：A是B食饵，B是C食饵。第14页2023/9/16ACB）））西北大学数学系说明以下微分方程组生态意义第15页2023/9/16ACB）））第16页2023/9/16ACB）））西北大学数学系第17页2023/9/16种群模型求解方法：微分方程定性与稳定性理论数值方法第18页2023/9/16平面自治系统西北大学数学系微分方程定性与稳定性理论第19页2023/9/16

假定方程组(1)右端函数，在平面区域满足解存在唯一条件，则过相平面中任一点有唯一轨线。相平面：所在平面。轨线：第20页2023/9/16平衡点（Equilibrium）：使得点为组(1)平衡点，不然称为常点。即平衡点满足记为西北大学数学系第21页2023/9/16称平衡点是稳定（stable）；不然是不稳定（unstable）。稳定与不稳定：假如存在某个邻域，使系统（1）解从这个邻域内某一初值出发，满足第22页2023/9/16其中是常数。平面线性微分方程组平衡点分类系统（2）有唯一平衡点（0，0）。记系数矩阵西北大学数学系第23页2023/9/16记组(2)系数矩阵组成特征方程为：其中唯一平衡点（0，0）稳定性由特征根确定。方程组（2）解普通形式为第24页2023/9/16方程组（2）解普通形式为西北大学数学系第25页2023/9/16平衡点类型稳定性稳定结点(node)stable不稳定结点unstable鞍点(saddle)unstable稳定退化结点stable不稳定退化结点unstable稳定焦点(focus)stable不稳定焦点unstable中心(center)unstable第26页2023/9/16pq鞍点区稳定结点区不稳定结点区稳定焦点区不稳定焦点区奇点性态与关系第27页2023/9/16简单非线性微分方程奇点西北大学数学系第28页2023/9/16称以下方程组为组(1)一次（线性）近似方程组：第29页2023/9/16结论1

假如则(4)一次近似方程组奇点在五种普通情形与组（4）奇点性态相同。第30页2023/9/16结论2

设系统O(0,0)为其对应线性系统中心点，若在O邻域内存在此系统一个连续首次积分，则O必为中心。在O(0,0)点邻域内解析。第31页2023/9/16

捕食与被捕食模型问题提出20世纪20年代，意大利生物学家U.D’Ancona在研究鱼类改变规律时，无意中发觉了第一次世界大战期间，意大利Finme港收购站软骨掠肉鱼（鲨鱼等以其它鱼为食鱼）在鱼类收购量中所占百分比资料：191419151916191719181919192019211922192311.99%21.4%22.1%21.2%36.4%27.3%16.0%15.0%14.8%10.7%1914,7----1918,11第32页2023/9/16战争期间鲨鱼百分比显著增加！

显然，捕捉各种鱼百分比基本上代表了地中海渔场中各种鱼百分比。战争中捕捉量大幅下降，应该使渔场中食用鱼和以此为生鲨鱼数量同时增加。然而，捕捉量下降为何会使鲨鱼百分比增加？发觉D’Ancona迷惑：第33页2023/9/16请教著名意大利数学家Volterra。

将鱼分为两类，一类为捕食(predator)种群，另一类为被捕食(prey)种群。设

t

时刻两种群数量（或密度）为y(t)，x(t)。在无捕捞和忽略了密度制约情形下，有：第34页2023/9/16平衡点为一次近似系统第35页2023/9/16一次近似系统系统鞍点。一次近似系统系统？。鞍点。中心。第36页2023/9/16定理：设系统O(0,0)为其对应线性系统中心点，若在O邻域内存在此系统一个连续首次积分，则O必为中心。在O(0,0)点邻域内解析。第37页2023/9/16为了研究平衡点M，作平移变换首次积分第38页2023/9/16由定理，得平衡点M外围邻近被一闭轨线族所围绕。说明：在M附近，食饵种群与捕食种群个体总量呈周期性改变。OxyM尽管沿不一样闭轨线周期可能不一样，但两种群个体数量在一个周期内平均值却分别保持为常数。第39页2023/9/16两种群个体数量在一个周期内平均值却分别保持为常数：两种群个体数量在一个周期内平均值恰好是平衡点坐标。实际上，而第40页2023/9/16同理，可证西北大学数学系第41页2023/9/16现考虑捕捞影响平衡点坐标为解释：捕捞能力降低，食饵种群数量降低，而捕食种群数量增加。第42页2023/9/16应用农药使用策略。害虫—食饵，害虫天敌—捕食者。所以，应该适量地使用农药，更应发展以虫治虫策略。平衡点坐标为依据Volterra

原理：杀虫能力过量，害虫种群数量增加，而天敌种群数量降低，对天敌更为不利。第43页2023/9/16

天然草原生息繁衍，已形成本身特有生物链，且对人类生存起着主要作用。长久以来，人为破坏（如过分放牧、猎杀动物及采挖草药等）使草原生态每况愈下，日渐衰竭。据年8月6日《北京晚报》载：“……受利益驱使，有些人不顾国家法律和当地政府禁令，在呼伦贝尔草原大肆采挖中草药，致使草原严重受损。据此，相关教授推断，10年之内，该草原将变成荒漠。”草原命运思索第44页2023/9/16为了天然草原生息繁衍和可连续发展，完成以下工作：（1）建立草原自然生长规律模型，描述人为破坏对草原生长影响过程;（2）论证或驳斥报载消息中教授推断，假如马上停止对草原一切破坏，10年后情形怎样？（3）寻找造成草原消失临界条件，给出草原生长挽救方案，并对挽救效果进行预测。第45页2023/9/16年6月湖南洞庭湖鼠患20亿田鼠洞庭“跑马圈地”第46页2023/9/16政府收购鼠尾巴勉励捕鼠；成千上万田鼠陷落捕鼠沟。新华社图人鼠大战可能还将继续。新华社图年07月11日08时13分广州日报

第47页2023/9/16洞庭湖区用毒药灭鼠可能酿成新生态灾难捕食链破坏老鼠天敌蛇、猫头鹰大量降低老鼠泛滥庄稼、环境受到威胁人类盘中餐丰盛有余威胁人类生存从人类本身做起保护环境！第48页2023/9/16关于撰写建模论文摘要问题重述模型假设（符号说明）问题分析模型建立及求解结果分析与检验模型优缺点评价问题深入思索（模型推广）参考文件第49页2023/9/16竞赛过程中注意的问题时间安排合理分工团结奋战，相互勉励第50页2023/9/16时间安排早晨下午晚上定题准备，思绪作题（第一问）建模作题（第一问）求解作题（