北京丰台第十中学届高三上学期期中考试数学（文）试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精北京市第十中学2017-2018第一学期高三期中考试文科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合，，在集合（）． A． B． C． D．【答案】B【解析】或,,∴,故选．2．设命题，，则为（）． A．， B．,C．， D．，【答案】B【解析】命题：，，，，故选．3．在中，角，，所对的边分别为，，，若为锐角,，．则（）． A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，，，∴，∴．故选．4．等差数列的前项和为，如果，，那么等于（)． A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，，∴,∴,，．故选．5．执行如图所示的程序框图，输出的值为(）． A． B． C． D．【答案】C【解析】，继续，，继续,，继续，，停止．输出，故选．6．设函数的定义域为，则“"是“函数为奇函数”的(）． A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】不能推出是奇函数,但若是奇函数且定义域为，则，∴“”是“”为奇函数的必要不充分条件．7．设,，若是与的等比中项，则的最小值为（）． A． B． C． D．【答案】D【解析】由题知，∴，∴．当且仅当时等号成立．故选．8．如图，在空间四边形中，两条对角线,互相垂直,且长度分别为和，平行于这两条对角线的平面与边,，，分别相交于点，,，，记四边形的面积为，设，则（）． A．函数的值域为 B．函数的最大值为C．函数在上单调递减 D．函数满足【答案】D【解析】∵平面，平面，,,且,∴,∴是矩形，又∵，，∴，,∴，∵，∴，错，错．∵，即，对．第Ⅱ卷(非选择题，共110分）二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．复数,则__________．【答案】【解析】，∴．10．已知函数的图象如图所示，则__________．【答案】，【解析】由图知，周期，解得，∴，，．11．一个四棱锥的三视图如图所示,那么这个四棱锥最长棱的棱长为__________．【答案】【解析】将该四棱锥放在正方体中,，，故该四棱锥中最长棱长为．12．若,，与的夹角为,若，则的值为__________．【答案】【解析】由题意可知，∵，∴．∴．13．在等比数列中,若，，则公比__________,当__________时，的前项积最大．【答案】，【解析】在等比数列中,，，设前项积为．,，∵此等比数列各项均为负数，当为偶数时，为正，故当取最大值时为偶数．设当时，取得最大值，，∵，∴，∴，整理后：，又∵，∴，解出，∵，∴，故取时，取得最大值．14．设函数．（）如果，那么实数__________．(）如果函数有且仅有两个零点，那么实数的取值范围是__________．【答案】（）或(）【解析】（)∵，解出或．（）由题意有个不同解，如图，图象是条以为顶点的射线组成，由图看出，当在，之间（包含不包含)符合要求．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分分）已知函数,．（Ⅰ）求的值．（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值，及相应的的值．（Ⅲ）求函数在区间的单调区间．【答案】(Ⅰ)（Ⅱ）时,时，．（Ⅲ)在上，单调增区间，单调减区间．【解析】（Ⅰ）∵∴．(Ⅱ）∵，，，当时，,此时,当时，，，此时．(Ⅲ）∵，，由正弦函数图象知，当时，即时，单调递减，当时，即时，单调递增．故单调减区间为，单调增区间为．16．(本小题满分分）在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为,且,．(Ⅰ）求与．（Ⅱ)设数列满足，求的前项和．【答案】（Ⅰ），(Ⅱ）【解析】（Ⅰ）设等差数列公差为，由题目列出各方程：即,即，得,解出,，∴，．（Ⅱ）∵．．．17．（本小题满分分）为了解某地区中学生的身体发育状况，拟采用分层抽样的方法从甲、乙、丙三所中学抽取个教学班进行调查．已知甲、乙、丙三所中学分别有，，个教学班．（Ⅰ）求从甲、乙、丙三所中学中分别抽取的教学班的个数．（Ⅱ）若从抽取的个教学班中随机抽取个进行调查结果的对比，求这个教学班中至少有一个来自甲学校的概率．【答案】（Ⅰ），，(Ⅱ)【解析】（Ⅰ)由已知可知在甲、乙、丙三所中学，共有教学楼之比为,∴甲、乙、丙三所中学教学班所占比例分别为，，．甲：个，乙：个，丙：个．∴分别抽取甲、乙、丙教学班，，个．（Ⅱ）设从甲抽取个教学班为、，从乙抽取个教学班为,从丙抽取个教学班为，，．则从个班中抽取个班的基本事件为：,,，，，，，，，，，,,,一共有个．设“从个班抽个班，至少有一个来自甲校”为事件，则事件包含的基本事件如下，，,，，，，，共个，∴，故从个班中抽个班，至少有一个来自甲校的概率为．18．(本小题满分分）在中,角,，所对的边分别为，，,且．（Ⅰ）判断的形状．（Ⅱ)若，求的最大值．【答案】（Ⅰ）为直角三角形(Ⅱ）【解析】（Ⅰ）∵，∴,，∴,∵，∴，∴．为直角三角形．（Ⅱ)∵,∵,，，,，∴．19．(本小题满分分）如图，在四棱柱中，底面,，,且，．点在棱上，平面与棱相交于点．（Ⅰ)求证：平面．（Ⅱ）求证：平面．（Ⅲ）求三棱锥的体积的取值范围．【答案】（Ⅰ)略(Ⅱ）略，见解析（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）∵在棱柱中，平面平面，又∵平面平面,平面平面，∴，∵平面,平面,∴平面．（Ⅱ）在底面中，，,，，,∴，,,∴，，∵平面，平面，∴，在四棱柱中,，∴，∵平面，平面,，∴平面．（Ⅲ）∵为定值，即为长度为．而，过点作，∴,∵长度界于与之间，即，∴,∴三棱锥体积在间．20．（本小题满分分）已知函数，．(Ⅰ)求曲线在处的切线方程．（Ⅱ）求的单调区间．（Ⅲ）设，其中,证明：函数仅有一个零点．【答案】（Ⅰ)(Ⅱ)单调增区间为单调减区间为（Ⅲ)见解析【解析】（Ⅰ）∵，，∴．,