数学建模优化模型选讲省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

数学建模培训系列讲座

最优化与离散模型

主讲:刘弦

(计算机系)第1页数学建模：最优化问题最优化问题大致分两类：一类是求函数在一定约束条件下极值;另一类是求泛函极值.这里函数我们称之为目标函数.目标函数中变量称之为决议变量.

约束条件是指问题对决议变量限制条件,即决议变量取值范围.约束条件惯用一组关于决议变量等式与不等式给出.

假如目标函数有显著表示式,普通可用微分法,变分法或动态规划等分析方法来求解(间接求优);假如目标函数表示式过于复杂甚至根本没有显著表示式,则可用数值方法或“试验最优化”方法等直接方法来求解(直接求优).求函数极值数值方法或试验化方法有时称为数学规划.数学规划除了线性规划外统称为非线性规划.求解数学规划软件:LINDO,LINGOLINDO(LinearINteractiveandDiscreteOptimizer)交互式线性和离散优化求解器LINGO(LinearINteractiveandGeneralOptimizer)交互式线性和通用优化求解器第2页模型实例:存贮模型问题配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。试安排该产品生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。要求不只是回答下列问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间关系。第一讲简单优化模型第3页问题分析与思索

天天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费5000元。日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元。

10天生产一次，每次1000件，贮存费900+800+…+100=4500元，准备费5000元，总计9500元。

20天生产一次，每次件，贮存费2900+2800+…+100=28500元，准备费5000元，总计33500元。平均天天费用950元平均天天费用1675元平均天天费用5000元周期短，产量小周期长，产量大贮存费少，准备费多准备费少，贮存费多存在最正确周期和产量，使平均费用（二者之和）最小第4页这是一个优化问题，关键在建立目标函数。显然不能用一个周期总费用作为目标函数目标函数——天天总费用平均值模型假设1.产品天天需求量为常数r；2.每次生产准备费为c1,天天每件产品贮存费为c2；3.T天生产一次（周期）,每次生产Q件，当贮存量为零时，Q件产品马上到来（生产时间不计）；建模目设r,c1,c2已知，求T,Q

使天天总费用平均值最小。4.为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。第5页模型建立0tq贮存量表示为时间函数q(t)TQrt=0生产Q件，q(0)=Q,q(t)以需求速率r递减，q(T)=0.一周期总费用天天总费用平均值（目标函数）离散问题连续化一周期贮存费为A=QT/2第6页模型求解求T使模型分析模型应用c1=5000,c2=1，r=100T=10(天),Q=1000(件),C=1000(元)回答下列问题第7页经济批量订货公式（EOQ公式）天天需求量r，每次订货费c1,天天每件贮存费c2，这就是经济学中著名用于订货、供给、存贮情形以上讨论是不允许缺货存贮模型

问：为何不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？T天订货一次(周期),每次订货Q件，当贮存量降到零时，Q件马上到货。总结则最优解为:第8页允许缺货存贮模型AB0qQrT1t当贮存量降到零时仍有需求r,出现缺货，造成损失原模型假设：贮存量降到零时Q件马上生产出来(或马上到货)现假设：允许缺货,天天每件缺货损失费c3,缺货需补足T一周期贮存费一周期缺货费周期T,t=T1贮存量降到零一周期总费用第9页天天总费用平均值（目标函数）一周期总费用求T,Q使为与不允许缺货存贮模型相比，T记作T’,Q记作Q’第10页允许缺货模型0qQ

rT1tT′注意：缺货需补足Q

~每七天期初存贮量R每七天期生产量R（或订货量）Q~不允许缺货时产量(或订货量)第11页不允许缺货模型记允许缺货模型不允许缺货第12页

下面将进入数学规划模型

第13页数学规划模型

实际问题中优化模型x~决议变量f(x)~目标函数gi(x)0~约束条件多元函数条件极值决议变量个数n和约束条件个数m较大最优解在可行域边界上取得数学规划线性规划非线性规划整数规划重点在模型建立和结果分析第二讲数学规划模型

第14页企业生产计划§2.1奶制品生产与销售

空间层次工厂级：依据外部需求和内部设备、人力、原料等条件，以最大利润为目标制订产品生产计划；车间级：依据生产计划、工艺流程、资源约束及费用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计划。时间层次若短时间内外部需求和内部资源等不随时间改变，可制订单阶段生产计划，不然应制订多阶段生产计划。本节课题第15页例1加工奶制品生产计划问题:一奶制品加工厂用牛奶生产A1,A2两种奶制品,1桶牛奶能够在设备甲上用12小时加工成3千克A1,或者地设备乙上加工成4千克A2.依据市场需求,生产A1,A2全部能售出,且每千克A1赢利24元,每千克A2赢利16元.现在加工厂天天能得到50桶牛奶供给,天天正式工人总劳动时间为480小时,而且设备甲天天最多能加工100千克A1,设备乙加工能力没有限制.试为该厂制订一个生产计划,使天天赢利最大,并深入讨论以下3个附加问题:1)若用35元能够买到一桶牛奶,应否作这项投资?若投资,天天最多能购置多少桶牛奶?2)若能够聘用暂时工人以增加劳动时间,付给暂时工人工资最多是每小时几元?3)因为市场需求改变,每千克A1赢利增加到30元,应否改变生产计划?第16页例1加工奶制品生产计划1桶牛奶3千克A1

12小时8小时4千克A2

或赢利24元/千克赢利16元/千克50桶牛奶时间480小时至多加工100千克A1

制订生产计划，使天天赢利最大35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，天天最多买多少?可聘用暂时工人，付出工资最多是每小时几元?A1赢利增加到30元/千克，应否改变生产计划？天天：第17页1桶牛奶3千克A1

12小时8小时4千克A2

或赢利24元/千克赢利16元/千克x1桶牛奶生产A1

x2桶牛奶生产A2

赢利24×3x1

赢利16×4x2

原料供给

劳动时间

加工能力

决议变量

目标函数

天天赢利约束条件非负约束

线性规划模型(LP)时间480小时至多加工100千克A1

50桶牛奶天天第18页模型分析与假设

百分比性可加性连续性xi对目标函数“贡献”与xi取值成正比xi对约束条件“贡献”与xi取值成正比xi对目标函数“贡献”与xj取值无关xi对约束条件“贡献”与xj取值无关xi取值连续A1,A2每千克赢利是与各自产量无关常数每桶牛奶加工出A1,A2数量和时间是与各自产量无关常数A1,A2每千克赢利是与相互产量无关常数每桶牛奶加工出A1,A2数量和时间是与相互产量无关常数加工A1,A2牛奶桶数是实数线性规划模型第19页模型求解

图解法

x1x20ABCDl1l2l3l4l5约束条件目标函数

Z=0Z=2400Z=3600z=c(常数)~等值线c在B(20,30)点得到最优解目标函数和约束条件是线性函数可行域为直线段围成凸多边形目标函数等值线为直线最优解一定在凸多边形某个极点取得。第20页模型求解

软件实现

LINDO6.1max72x1+64x2st2）x1+x2<503）12x1+8x2<4804）3x1<100end

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE

1)3360.000

VARIABLEVALUEREDUCEDCOST

X120.0000000.000000

X230.0000000.000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.00000048.0000003)0.0000002.0000004)40.0000000.000000NO.ITERATIONS=2DORANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS?No20桶牛奶生产A1,30桶生产A2，利润3360元。第21页结果解释

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3360.000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX120.0000000.000000X230.0000000.000000

ROW

SLACKORSURPLUSDUALPRICES

2)0.00000048.000000

3)0.0000002.0000004)40.0000000.000000NO.ITERATIONS=2原料无剩下时间无剩下加工能力剩下40max72x1+64x2st2）x1+x2<503）12x1+8x2<4804）3x1<100end三种资源“资源”剩下为零约束为紧约束（有效约束）第22页结果解释

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3360.000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX120.0000000.000000X230.0000000.000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES

2)0.00000048.000000

3)0.0000002.000000

4)40.0000000.000000NO.ITERATIONS=2最优解下“资源”增加1单位时“效益”增量原料增加1单位,利润增加48时间增加1单位,利润增加2加工能力增加不影响利润影子价格

35元可买到1桶牛奶，要买吗？35<48,应该买！

聘用暂时工人付出工资最多每小时几元？2元！第23页RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:

OBJCOEFFICIENTRANGES

VARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASE

X172.00000024.0000008.000000X264.0000008.00000016.000000RIGHTHANDSIDERANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHSINCREASEDECREASE250.00000010.0000006.6666673480.00000053.33333280.0000004100.000000INFINITY40.000000最优解不变时目标函数系数允许改变范围DORANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS?

Yesx1系数范围(64,96)

x2系数范围(48,72)A1赢利增加到30元/千克，应否改变生产计划x1系数由243=72增加为303=90，在允许范围内不变！(约束条件不变)第24页结果解释

RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:OBJCOEFFICIENTRANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASEX172.00000024.0000008.000000X264.0000008.00000016.000000

RIGHTHANDSIDERANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHSINCREASEDECREASE250.00000010.0000006.6666673480.00000053.33333280.0000004100.000000INFINITY40.000000影子价格有意义时约束右端允许改变范围原料最多增加10时间最多增加53

35元可买到1桶牛奶，天天最多买多少？最多买10桶!(目标函数不变)第25页问题:例1给出生产条件,利润,资源均不变.为增加赢利,对A1和A2进行深加工.用2小时和3元加工费可将A1加工成0.8千克B1,也可将1千克A2加工成0.75千克B2.每千克B1赢利44元,每千克B2赢利32元.试为该厂制订一个生产计划,使天天赢利最大,并讨论以下问题:1)若用30元能够买到一桶牛奶,投资3元可增加1小时劳动时间,应否作这项投资?若天天投资150元,可赚回多少?2)每千克B1,B2赢利经常有10%波动,对制订计划有没有影响?若每千克B1赢利下降10%,计划应改变吗?例2奶制品生产销售计划

在例1基础上深加工1桶牛奶3千克A1

12小时8小时4千克A2

或赢利24元/千克赢利16元/千克0.8千克B12小时,3元1千克赢利44元/千克0.75千克B22小时,3元1千克赢利32元/千克第26页1桶牛奶3千克A1

12小时8小时4千克A2

或赢利24元/千克赢利16元/千克0.8千克B12小时,3元1千克赢利44元/千克0.75千克B22小时,3元1千克赢利32元/千克制订生产计划，使天天净利润最大30元可增加1桶牛奶，3元可增加1小时时间，应否投资？现投资150元，可赚回多少？50桶牛奶,480小时至多100千克A1

B1，B2赢利经常有10%波动，对计划有没有影响？第27页1桶牛奶

3千克A1

12小时8小时4千克A2

或赢利24元/千克赢利16元/kg

0.8千克

B12小时,3元1千克赢利44元/千克0.75千克B22小时,3元1千克赢利32元/千克出售x1千克A1,

x2千克A2，

X3千克B1,x4千克B2原料供给

劳动时间

加工能力

决议变量

目标函数

利润约束条件非负约束

x5千克A1加工B1，x6千克A2加工B2附加约束

第28页模型求解

软件实现

LINDO6.1MAX24x1+16x2+44x3+32x4-3x5-3x6st2)4x1+3x2+4x5+3x6<6003)4x1+2x2+6x5+4x6<4804)x1+x5<1005)x3-0.8x5=06)x4-0.75x6=0end第29页OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3460.800VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX10.0000001.680000X2168.0000000.000000X319.010.000000X40.0000000.000000X524.0000000.000000X60.0000001.50ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.0000003.1600003)0.0000003.2600004)76.0000000.0000005)0.00000044.0000006)0.00000032.000000NO.ITERATIONS=2DORANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS?NoMAX24x1+16x2+44x3+32x4-3x5-3x6st2)4x1+3x2+4x5+3x6<6003)4x1+2x2+6x5+4x6<4804)x1+x5<1005)x3-0.8x5=06)x4-0.75x6=0end第30页

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3460.800

VARIABLEVALUEREDUCEDCOST

X10.0000001.680000

X2168.0000000.000000

X319.010.000000

X40.0000000.000000

X524.0000000.000000

X60.0000001.50ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.0000003.1600003)0.0000003.2600004)76.0000000.0000005)0.00000044.0000006)0.00000032.000000NO.ITERATIONS=2结果解释天天销售168千克A2和19.2千克B1，利润3460.8（元）8桶牛奶加工成A1，42桶牛奶加工成A2，将得到24千克A1全部加工成B1

除加工能力外均为紧约束第31页结果解释OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3460.800VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX10.0000001.680000X2168.0000000.000000X319.010.000000X40.0000000.000000X524.0000000.000000X60.0000001.50ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.0000003.1600003)0.0000003.2600004)76.0000000.0000005)0.00000044.0000006)0.00000032.000000增加1桶牛奶使利润增加3.16×12=37.92增加1小时时间使利润增加3.2630元可增加1桶牛奶，3元可增加1小时时间，应否投资？现投资150元，可赚回多少？投资150元增加5桶牛奶，可赚回189.6元。（大于增加时间利润增加）第32页结果解释B1,B2赢利有10%波动，对计划有没有影响RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:OBJCOEFFICIENTRANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASEX124.0000001.680000INFINITYX216.0000008.1500002.100000

X344.00000019.7500023.166667X432.0000002.026667INFINITYX5-3.00000015.8000002.533334X6-3.0000001.50INFINITY

…………DORANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS?YesB1赢利下降10%，超出X3系数允许范围B2赢利上升10%，超出X4系数允许范围波动对计划有影响生产计划应重新制订：如将x3系数改为39.6计算，会发觉结果有很大改变。第33页2.1饮料厂生产与检修问题:某饮料厂确定了未来四面对该饮料需求量,以及未来四面本厂生产能力和生产成本(以下表所表示).每七天满足需求后周次需求(千箱)生产能力(千箱)成本(千元/千箱)115305.0225405.1335455.4425205.5累计100135有剩下时,要支出存贮费,为每七天每千箱0.2千元.问应怎样安排生产,在满足市场需求条件下,使四面总费用最小?单阶段生产计划多阶段生产计划企业生产计划外部需求和内部资源随时间改变第34页问题分析除第4周外每七天生产能力超出每七天需求；生产成本逐周上升；前几周应多生产一些。周次需求能力11530225403354542520累计100135成本5.05.15.45.5

饮料厂在第1周开始时没有库存；从费用最小考虑,第4周末不能有库存；周末有库存时需支出一周存贮费；每七天末库存量等于下周初库存量。模型假设

第35页目标函数约束条件产量、库存与需求平衡决议变量

能力限制非负限制模型建立x1~x4：第1~4周生产量y1~y3：第1~3周末库存量周次需求能力11530225403354542520成本5.05.15.45.5存贮费:0.2(千元/周•千箱)第36页模型求解

4周生产计划总费用为528(千元)最优解：x1~x4：15，40，25，20；

y1~y3：

0，15，5.周次需求能力11530225403354542520成本5.05.15.45.5产量15402520库存01550LINDO求解第37页检修计划0-1变量wt：wt=1~检修安排在第t周(t=1,2,3,4）

在4周内安排一次设备检修，占用当周15千箱生产能力，能使检修后每七天增产5千箱，检修应排在哪一周?

检修安排在任一周均可:周次需求能力11530225403354542520成本5.05.15.45.5能力限制产量、库存与需求平衡约束条件不变增加检修约束条件：目标函数不变第38页LINDO求解总费用由528千元降为527千元检修所造成生产能力提升作用,需要更长时间才能得到充分表达。

最优解：w1=1,w2,w3,

w4=0;x1~x4：15,45,15,25；

y1~y3：0,20,0.min5.0x1+5.1x2+5.4x3+5.5x4+0.2y1+0.2y2+0.2y3st2)x1-y1=153)x2+y1-y2=254)x3+y2-y3=355)x4+y3=256)x1+15w1<30x2+15w2-5w1<40x3+15w3-5w1-5w2<45x4+15w4-5w1-5w2-5w3<20w1+w2+w3+w4=1endintw1intw2intw3intw4第39页例2饮料生产批量问题安排生产计划,满足每七天需求,使4周总费用最小。存贮费:每七天每千箱饮料0.2千元。

饮料厂使用同一条生产线轮番生产各种饮料。若某周开工生产某种饮料,需支出生产准备费8千元。

某种饮料4周需求量、生产能力和成本周次需求量(千箱)生产能力(千箱)成本(千元/千箱)115305.0225405.1335455.4425205.5累计100135

问题:生产批量问题考虑与产量无关固定费用给优化模型求解带来新困难第40页Min8w1+8w2+8w3+8w4+5x1+5.1x2+5.4x3+5.5x4+0.2y1+0.2y2+0.2y3st2)x1-y1=153)y1+x2-y2=254)y2+x3-y3=355)y3+x4=256)x1-30w1<07)x2-40w2<08)x3-45w3<09)x4-20w4<0endintw1intw2intw3intw4最优解：x1~x4：15，40，45，0；总费用：554.0(千元)用LINDO求解决议变量

x1~x4：第1~4周生产量y1~y3：第1~3周末库存量0-1变量wt：wt=1~第t周开工生产(t=1,2,3,4）第41页生产批量问题普通提法ct~时段t生产费用(元/件)；ht~时段t(末)库存费(元/件)；st~时段t生产准备费(元)；dt~时段t市场需求(件)；Mt~时段t生产能力(件)。假设初始库存为0制订生产计划,满足需求,并使T个时段总费用最小。决议变量

xt~时段t生产量；yt~时段t(末)库存量；wt=1~时段t开工生产(wt=0~不开工)。目标约束第42页混合0-1规划模型

生产批量问题普通提法第43页

下面将进入离散模型第44页离散模型：差分方程、整数规划、图论、对策论、网络流、……分析社会经济系统有力工具只用到代数、集合及图论（少许）知识第三讲离散模型第45页3.1层次分析模型背景日常工作、生活中决议问题包括经济、社会等方面原因作比较判断时人主观选择起相当大作用，各原因主要性难以量化Saaty于1970年代提出层次分析法AHP(AnalyticHierarchyProcess)AHP——一个定性与定量相结合、系统化、层次化分析方法第46页目标层O(选择旅游地)P2黄山P1桂林P3北戴河准则层方案层C3居住C1景色C2费用C4饮食C5旅途一.层次分析法基本步骤例.选择旅游地怎样在3个目标地中按照景色、费用、居住条件等原因选择.第47页“选择旅游地”思维过程归纳将决议问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间关系用相连直线表示。经过相互比较确定各准则对目标权重，及各方案对每一准则权重。将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标权重。层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决议问题定量结果。第48页层次分析法基本步骤成对比较阵和权向量元素之间两两对比，对比采取相对尺度设要比较各准则C1,C2,…,Cn对目标O主要性A~成对比较阵A是正互反阵要由A确定C1,…,Cn对O权向量选择旅游地第49页成对比较不一致情况一致比较不一致允许不一致，但要确定不一致允许范围考查完全一致情况成对比较阵和权向量第50页成对比较完全一致情况满足正互反阵A称一致阵，如

A秩为1，A唯一非零特征根为n

A任一列向量是对应于n特征向量

A归一化特征向量可作为权向量对于不一致(但在允许范围内)成对比较阵A，提议用对应于最大特征根

特征向量作为权向量w，即一致阵性质成对比较阵和权向量第51页2468比较尺度aij

Saaty等人提出1~9尺度——aij

取值1,2,…,9及其互反数1,1/2,…,1/9尺度13579相同稍强强显著强绝对强aij=1,1/2,,…1/9主要性与上面相反心理学家认为成对比较原因不宜超出9个用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p

(p=2,3,4,5),d+0.1~d+0.9(d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例结构成对比较阵，算出权向量，与实际对比发觉，1~9尺度较优。便于定性到定量转化：成对比较阵和权向量第52页一致性检验对A确定不一致允许范围已知：n阶一致阵唯一非零特征根为n可证：n阶正互反阵最大特征根

n,且

=n时为一致阵定义一致性指标:CI越大，不一致越严重RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n1234567891110为衡量CI大小，引入随机一致性指标RI——随机模拟得到aij,形成A，计算CI即得RI。定义一致性比率CR=CI/RI当CR<0.1时，经过一致性检验Saaty结果以下第53页“选择旅游地”中准则层对目标权向量及一致性检验准则层对目标成对比较阵最大特征根

=5.073权向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指标随机一致性指标RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1经过一致性检验第54页组合权向量记第2层（准则）对第1层（目标）权向量为一样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)权向量方案层对C1(景色)成对比较阵方案层对C2(费用)成对比较阵…Cn…Bn最大特征根

1

2

…

n

权向量w1(3)w2(3)…

wn(3)第55页第3层对第2层计算结果k10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665组合权向量RI=0.58(n=3),

CIk

均可经过一致性检验w(2)

0.2630.4750.0550.0900.110方案P1对目标组合权重为0.5950.263+…=0.300方案层对目标组合权向量为(0.300,0.246,0.456)T第56页组合权向量第1层O第2层C1,…Cn第3层P1,…Pm第2层对第1层权向量第3层对第2层各元素权向量结构矩阵则第3层对第1层组合权向量第s层对第1层组合权向量其中W(p)是由第p层对第p-1层权向量组成矩阵第57页层次分析法基本步骤1）建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将相关原因自上而下分层（目标—准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内各原因基本上相对独立。2）结构成对比较阵用成对比较法和1~9尺度，结构各层对上一层每一原因成对比较阵。3）计算权向量并作一致性检验对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若经过，则特征向量为权向量。4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）组合权向量可作为决议定量依据。第58页二.层次分析法广泛应用应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决议，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。处理问题类型：决议、评价、分析、预测等。建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决议层参加。结构成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强教授给出。第59页国家综合实力国民收入军事力量科技水平社会稳定对外贸易美、俄、中、日、德等大国工作选择贡献收入发展声誉关系位置供选择岗位例1国家实力分析例2工作选择第60页过河效益A经济效益B1社会效益B2环境效益B3节约时间C1收入C2岸间商业C3当地商业C4建筑就业C5安全可靠C6交往沟通C7自豪感C8舒适C9进出方便C10美化C11桥梁D1隧道D2渡船D3（1）过河效益层次结构例3

横渡江河、海峡方案抉择第61页过河代价A经济代价

B1环境代价B3社会代价B2投入资金C1操作维护C2冲击渡船业C3冲击生活方式C4交通拥挤C5居民搬迁C6汽车排放物C7对水污染C8对生态破坏C9桥梁D1隧道D2渡船D2（2）过河代价层次结构例3

横渡江河、海峡方案抉择第62页待评价科技结果直接经济效益C11间接经济效益C12社会效益C13学识水平C21学术创新C22技术水平C23技术创新C24效益C1水平C2规模C3科技结果评价例4科技结果综合评价第63页三.层次分析法若干问题正互反阵最大特征根是否为正数？特征向量是否为正向量？一致性指标能否反应正互反阵靠近一致阵程度？怎样简化计算正互反阵最大特征根和特征向量？为何用特征向量作为权向量？当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用层次分析法？第64页1.正互反阵最大特征根和特征向量性质定理1正矩阵A最大特征根

是正单根，对应正特征向量w，且定理2n阶正互反阵A最大特征根

n,

=n是A为一致阵充要条件。正互反阵最大特征根是正数，特征向量是正向量。一致性指标定义合理第65页2.正互反阵最大特征根和特征向量简化计算准确计算复杂和无须要简化计算思绪——一致阵任一列向量都是特征向量，一致性尚好正互反阵列向量都应近似特征向量，可取其某种意义下平均。和法——取列向量算术平均列向量归一化算术平均准确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T,=3.010第66页根法——取列向量几何平均幂法——迭代算法1）任取初始向量w(0),k:=0，设置精度

2)计算3）归一化5)计算简化计算4）若，停顿；不然，k:=k+1,转2第67页3.特征向量作为权向量——成对比较多步累积效应问题一致阵A,权向量w=(w1,…wn)T,aij=wi/wjA不一致,应选权向量w使wi/wj与

aij相差尽可能小（对全部i,j)。用拟合方法确定w非线性最小二乘线性化——对数最小二乘结果与根法相同第68页按不一样准则确定权向量不一样，特征向量有什么优点。成对比较Ci:Cj(直接比较）aij~1步强度aisasj~Ci经过Cs与Cj比较aij(2)

~2步强度更能反应Ci对Cj强度多步累积效应表达多步累积效应定理1特征向量表达多步累积效应当