湖南省娄底市云溪中学高三数学文测试题含解析

湖南省娄底市云溪中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1，BC=，若球O的体积为，则这个直三棱柱的体积等于（）A． B． C．2 D．参考答案：B【考点】球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据直三棱柱的性质和球的对称性，得球心O是△ABC和△A1B1C1的外心连线段的中点，连接OA、OB、OC、O1A、O1B、O1C．在△ABC中利用正、余弦定理算出O1A=1，由球O的体积算出OA=，然后在Rt△O1OA中，用勾股定理算出O1O=2，得三棱柱的高O1O2=4，最后算出底面积S△ABC=，可得此直三棱柱的体积．【解答】解：设△ABC和△A1B1C1的外心分别为O1、O2，连接O1O2，可得外接球的球心O为O1O2的中点，连接OA、OB、OC、O1A、O1B、O1C△ABC中，cosA==﹣∵A∈（0，π），∴A=根据正弦定理，得△ABC外接圆半径O1A==1∵球O的体积为V==，∴OA=R=Rt△O1OA中，O1O==2，可得O1O2=2O1O=4∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面积S△ABC=AB?ACsin=∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为S△ABC×O1O2=故选：B【点评】本题给出直三棱柱的底面三角形的形状和外接球的体积，求此三棱柱的体积，着重考查了球的体积公式式、直三棱柱的性质和球的对称性等知识，属于中档题．2.定义在上的函数，且在上恒成立，则关于的方程的根的个数叙述正确的是(

).A．有两个

B．有一个

C．没有

D．上述情况都有可能参考答案：A略3.《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布．A． B． C． D．参考答案：D【考点】等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的前n项和公式求解．【解答】解：设从第2天起每天比前一天多织d尺布m则由题意知，解得d=．故选：D．【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的求解．4.设，，，则A． B． C． D．参考答案：B5.为虚数单位，复平面内表示复数的点在 （

）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：C略6.设函数是定义在上的奇函数，且当时，单调递减，若数列是等差数列，且，则的值（

）A．恒为负数

B．恒为正数

C．恒为0

D．可正可负参考答案：B略7.已知矩形ABCD中，，BC=1，则=(

)A．1 B．﹣1 C． D．参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】法一、以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，得到点的坐标，进一步求得向量的坐标得答案；法二、以为基底，把用基底表示，则可求．【解答】解：法一、如图，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），，，D（0，1），∴，，则．故选：A．法二、记，，则，，，∴=．故选：A．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，解答此类问题常用两种方法，即建系法或利用平面向量基本定理解决，建系法有时能使复杂的问题简单化，是中档题．8.设函数，则=（

）A.13

B.19 C.37

D.49参考答案：D9.设是虚数单位，则“x=－3”是“复数z=（x2+2x－3）+（x－1）i为纯虚数”的（

） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C略10.若如图所示的程序框图输出的是126，则条件①可为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B【方法点睛】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．考点：程序框图二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.记，当时，观察下列等式可以推测A-B=_______________参考答案：略12.在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，则当取最大值时，

；参考答案：在中由余弦定理可得，所以，其中，，当取得最大值时，，∴．13.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为．参考答案：【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC，其中底面是边长为2的等边三角形△ABC，侧面PAC⊥底面ABC，高为2．【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC，其中底面是边长为2的等边三角形△ABC，侧面PAC⊥底面ABC，高为2．∴这个几何体的体积V==．故答案为：．【点评】本题考查了三棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.随机地在棱长为1的正方体内部取一个点P，满足的概率是

参考答案：略15.南北朝时，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究做出了一定的贡献．例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则某一等人比其下一等人多得________斤金．（不作近似计算）参考答案：【分析】根据题意将毎等人所得的黄金斤数构造等差数列，设公差为d，根据题意和等差数列的前n项和公式列出方程组，求出公差d即可得到答案．【详解】设第十等人得金斤，第九等人得金斤，以此类推，第一等人得金斤，则数列构成等差数列，设公差为，则每一等人比下一等人多得斤金，由题意得，即，解得，所以每一等人比下一等人多得斤金．【点睛】本题主要考查了等差数列的定义、前n项和公式在实际问题中的应用，以及方程思想，属于中档题．16.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．

参考答案：考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，计算出底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案．解答：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，棱锥的底面面积S=2×2=4，棱锥的高h==2，故棱锥的体积V==，故答案为：点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．17.函数y＝log3(x2－2x)的单调减区间是________．参考答案：(－∞，0)三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.为了解甲、乙两校高三年级学生某次期末联考地理成绩情况，从这两学校中分别随机抽取30名高三年级的地理成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图所示：（1）若乙校高三年级每位学生被抽取的概率为0.15，求乙校高三年级学生总人数；（2）根据茎叶图，分析甲、乙两校高三年级学生在这次联考中哪个学校地理成绩较好？（不要求计算，要求写出理由）；（3）从样本中甲、乙两校高三年级学生地理成绩不及格（低于60分为不及格）的学生中随机抽取2人，求至少抽到一名乙校学生的概率．参考答案：（1）因为每位同学被抽取的概率均为0.15，则高三年级学生总数

………2分（2）由茎叶图可知甲校有22位同学分布在60至8中/华-资*源%库0之间，乙校也有22位同学分布在70至80之间，乙校的总体成绩分布下沉且较集中即成绩的平均数较大，方差较小．所以，乙校学生的成绩较好．

……………….……6分（3）由茎叶图可知，甲校有4位同学成绩不及格，分别记为：1、2、3、4；乙校有2位同学成绩不及格，分别记为：5、6．则从两校不及格的同学中随机抽取两人有如下可能：（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（3，4）（3，5）、（3，6）、（4，5）、（4，6）、（5，6），总共有15个基本事件．记“乙校包含至少有一名学生成绩不及格”的事件为A，则A包含9个基本事件，如下：（1，5）、（1，6）、（2，5）、（2，6）、（3，5）、（3，6）、（4，5）、（4，6）、（5，6）．所以，

………12分19.（本小题满分13分）已知数列{}、{}满足：．（1）设，求证：数列是等差数列，并求的通项公式；（2）求．参考答案：

20.（本小题满分13分）现有六名篮球运动员进行传球训练，由甲开始传球（第一次传球是由甲传向其他五名运动员中的一位），若第次传球后，球传回到甲的不同传球方式的种数记为.(1)求出、的值，并写出与≥的关系式；(2)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；(3)当≥时，证明：.参考答案：【知识点】数列与不等式的综合．D5E9(1),，;(2)(3)见解析.解析：（1）,，

第次传球后，不同传球方式种数为，不在甲手中的种数为，∴当≥时，

……5分（2）由=－＋得，，又，则数列是以为首项，为公比的等比数列.从而，故.

…………9分（3）.当≥为奇数时,则为偶数＜

当≥为偶数时,则为奇数,从而

综上，当≥时,.

…………分【思路点拨】（1）第次传球后，不同传球方式种数为，不在甲手中的种数为，由此能求出,，即可写出与≥的关系式．（2）由=－＋得，，由此能证明数列是以为首项，为公比的等比数列.，从而能求出．（3）当≥为奇数时,则为偶数，；当≥为偶数时,则为奇数,从而，由此能证明当≥时,.21.已知四边形是菱形，其对角线，直线都与平面垂直，.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求四棱锥与四棱锥公共部分的体积．参考答案：

略22.已知函数为实数，.

(1)当函数的图像过点（-1，0）,且方程有且只有一个根.求的表达式;

(2)若当且函数为偶函数时，试判断