第九章 三重积分及应用

第九章重积分

知识总结二重积分的计算三重积分的计算重积分的运用二.三重积分的计算1、投影法(“先单后重”“先一后二”)2、截面法(“先重后单”“先二后一”)3、柱坐标代换4、球坐标代换5、利用三重积分的对称性关键：正确的判断上、下曲面;找对投影区域.1、投影法

(“先单后重”“先一后二”)方法一:根据图形:方法二:根据方程:②投影区域可由含z的某曲面与其它曲面交线的投影曲线所围。即：可选定一个含z的方程然后再和其它所有方程（包含柱面方程和另一个含z的方程）相交。①利用平行于z轴的直线穿曲面，穿出和穿入点就对应上、下曲面，注：中间所夹立体的边界应为柱面。②投影点的全体即为投影区域。①已给边界曲面方程中含z的若只有两个，则其必分别为上、下曲面,其它不含z的方程必对应柱面。例.计算积分其中

由曲面法一:

积分域为原式及平面所围.例.计算积分其中

由曲面法二:原式及平面所围.找上下半曲面：找投影区域：适用范围：积分区域介于两个平行于坐标面的平面之间;在平行于坐标面的截面上二重积分易算典型题目：被积函数只为某一变量的函数;且截面面积易求2、截面法(“先重后单”“先二后一”)例(截面法):计算积分其中是两个球(R>0)的公共部分.提示:

被积函数缺x,y原式=①柱面坐标本质：投影法中的二重积分利用了极坐标计算3、柱坐标代换②柱面坐标适用范围：例.

计算三重积分解:

在柱面坐标系下所围成.与平面其中

由抛物面原式=就称为点M

的球坐标.4、球坐标代换确定r,

,

的变化范围的方法:例.例.所围立体.与球面例.由球面x2+y2+z22Rz=0和圆锥面cot2

(x2+y2)=z2围成的立体。0yzx

x2+y2+z22Rz=0:

r=2Rcos

cot2

(x2+y2)=z2:

=.0r2Rcos

0

2

，0

例.解:两球面方程分别为:r=b和r=a,(a<b).0ar=azyxbr=b例(球坐标法):计算积分其中是两个球(R>0)的公共部分.提示:原式=或=例(球坐标法)的公共部分.解:对称性或=例(球坐标法):计算积分例.解:

在球坐标系下利用洛必达法则与导数定义,得其中5、

利用三重积分的对称性当区域关于yoz轴对称,函数关于x有奇偶性时,当区域关于xoz轴对称,函数关于y有奇偶性时,仍有类似结果.例.计算其中解:利用对称性重积分计算的基本方法1.选择合适的坐标系使积分域多为坐标面(线)围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2.选择易计算的积分序积分域分块要少,累次积分易算为妙.根据图形根据方程3.掌握确定积分限的方法——

累次积分法小结：三、重积分的应用1.几何方面面积(平面域或曲面域),体积,形心质量,转动惯量,质心,引力证明某些结论等2.物理方面3.其它方面注：一定要用对称性结论一、几何方面

曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为

占有空间有界域

的立体的体积为例.

求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:

设由对称性可知的面积公式：曲面的面积公式：曲面的面积公式：曲面曲面的面积注：如果图不好画则可根据方程：1．先利用对称性：所有方程中若某个变量都是平方形式，则图形一定关于相应坐标面对称，利用对称性后只需考虑正半部分2．求投影区域应利用所求曲面和其它相交含于球面例.

求圆柱面部分的面积.分析：找投影区域：例.计算双曲抛物面被柱面所截解:

曲面在

xoy

面上投影为则出的面积A.二、物体的质心设空间有n个质点,其质量分别由力学知,该质点系的质心坐标分别位于为为若物体为占有xoy面上区域D的平面薄片,(S为D

的面积)得D

的形心坐标:可导出则它的质心坐标为:其面密度采用“分割,