2024届陕西省汉中市高三上学期第一次校际联考数学（理）试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat13页2024届陕西省汉中市高三上学期第一次校际联考数学（理）试题一、单选题1．（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用复数的商的运算化简即可.【详解】.故选：D.2．（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据诱导公式与余弦两角和公式化简求值即可.【详解】故选：A.3．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】由Venn图确定集合的表示，然后计算可得．【详解】，由题意图中阴影部分表示为，故选：B．4．《九章算术》是我国数学史上堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著．其第五卷《商功》中有如下问题：“今有圆堡，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？”这里所说的圆堡就是圆柱体，其底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少?若取3，估算该圆堡的体积为（1丈=10尺）A．1998立方尺 B．2012立方尺C．2112立方尺 D．2324立方尺【答案】A【详解】试题分析：由底面半径为，则，又，所以，所以该圆堡的体积为立方尺，故选A．【解析】1．数学文化；2．旋转体的表面积与体积．5．函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根据奇偶性，可排除BC，由，可排除D，从而可选出答案.【详解】函数的定义域为，且，故函数为上的偶函数，其图象关于轴对称，可排除BC；，因为，所以，可排除D，只有A选项符合题意.故选：A.【点睛】本题考查函数图象的识别，注意利用函数的奇偶性、特殊值，考查学生的推理能力，属于基础题.6．若直线与圆交于两点，且，则（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】根据题意可知直线过圆心，将圆心坐标代入直线方程即可.【详解】根据圆的标准公式可知圆的圆心为，直径为，因为，所以直线过圆的圆心，将圆心坐标代入直线方程，得，解得.故选：A.7．某部门调查了200名学生每周的课外活动时间（单位：h），制成了如图所示的频率分布直方图，其中课外活动时间的范围是，并分成，，，，五组．根据直方图，判断这200名学生中每周的课外活动时间不少于14h的人数是（

）A．56 B．80 C．144 D．184【答案】C【分析】根据频率分布直方图确定每周的课外活动时间不少于14h的频率，再根据频率、频数、总数的关系能求出结果．【详解】每周的课外活动时间不少于14h的频率为，故所求人数，故选：C．8．若在区间上是减函数，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由对数型复合函数的定义域和单调性，结合二次函数性质，列不等式组即可得解.【详解】设，由题意得：在上恒成立，且由复合函数单调性“同增异减”原则可知：函数在上单调递减，则有，解得：.故选：A9．2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道．已知火箭的最大速度（单位：）与燃料质量（单位：）、火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系为．若已知火箭的质量为，火箭的最大速度为，则火箭需要加注的燃料质量为（

）（参考数值：，结果精确到）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据已知条件列方程，化简求得正确答案.【详解】依题意，，令，则，所以，所以.故选：B10．设，，为不同的平面，m，n为不同的直线，则的一个充分条件是（

）A．， B．，，C．内有无数条直线与平行 D．内有不共线的三点到的距离相等【答案】B【分析】结合空间平面间的位置关系判断ACD，结合平面法向量的概念判断B．【详解】选项A，直棱柱的侧面都与底面垂直，但相邻侧面是相交的，A错；选项B，由，知直线的方向向量是平面的一个法向量，直线的方向向量是平面的一个法向量，且，即直线的方向向量平行，也即平面的法向量平行，因此这两个平面平行，B正确；选项C，当这无数条直线是平行线时，平面与可能相交，C错；选项D，不共线的三点在内，当平面过这三点确定的三角形的中位线时，三角形的三个顶点到平面的距离相等，此时平面相交，D错，故选：B．11．已知定义在R上的奇函数满足，则以下说法错误的是（

）A． B．的一个周期为2C． D．【答案】C【分析】由奇函数性质得，然后由周期性的定义判断其它选项．【详解】是R上的奇函数，因此，A正确；，所以2是它的一个周期，B正确；，但的值不确定，C错；，，因此，D正确．故选：C．12．已知函数，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由定义知为奇函数，应用导数研究单调性，将问题转化为上求的取值范围.【详解】由题设，，即在R上为奇函数；在上，故在上递增，易知：在R上递增，又，则，即上；令，则，故上，递增；上，递减，而，，此时；综上，的最小值为.故选：A二、填空题13．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为．【答案】【分析】根据双曲线的一条渐近线方程为，得到求解.【详解】解：因为双曲线的一条渐近线方程为，所以知，则，故答案为：14．学校要从8名候选人中选4名同学组成学生会.已知恰有3名候选人来自甲班，假设每名候选人都有相同的机会被选中，则甲班恰有2名同学被选中的概率为.【答案】【分析】利用古典概型的概率公式，结合组合的知识即可得解.【详解】从8名候选人中选4名同学组成学生会，有种选法；8名候选人中有3名候选人来自甲班，从中选出2名甲班同学有种选法；所以甲班恰有2名同学被选到的概率为.故答案为：.15．已知等差数列的公差为2，前n项和为，若，，成等比数列，则.【答案】【分析】根据等比中项的性质，结合等差数列通项公式求基本量，再利用等差数列前n项和公式求，从而得解.【详解】因为等差数列的公差为2，，，成等比数列，所以，则，解得，所以，故，所以.故答案为：.16．已知P是所在平面内一点，，，，则的最大值是.【答案】【分析】利用平面向量数量积的运算法则将转化为，从而得解.【详解】因为，，，所以，，当且仅当时，等号成立，所以的最大值是.故答案为：.三、解答题17．如图，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，点D在边BC上，且.

(1)求；(2)求线段AD的长.【答案】(1)(2)4【分析】（1）利用余弦定理与三角函数的平方关系即可得解；（2）利用正弦定理即可得解.【详解】（1）根据题意得：，又，所以.（2）因为，所以，在中，由正弦定理可得，.18．仓廪实，天下安．习近平总书记强调：“解决好十几亿人口的吃饭问题，始终是我们党治国理政的头等大事”“中国人的饭碗任何时候要牢牢端在自己手上”．粮食安全是国家安全的重要基础．从某实验农场种植的甲、乙两种玉米苗中各随机抽取5株，分别测量它们的株高如下（单位：）：甲：29，31，30，32，28；乙：27，44，40，31，43．请根据平均数和方差的相关知识，解答下列问题：(1)哪种玉米苗长得高？(2)哪种玉米苗长得齐？【答案】(1)乙种玉米苗长得高(2)甲种玉米苗长得齐【分析】（1）根据已知数据分别求甲乙的平均值，比较大小即得结论；（2）根据已知数据分别求甲乙的方差，比较大小即得结论.【详解】（1）甲的平均值，乙的平均值，，故乙种玉米苗长得高．（2）甲的方差，乙的方差，，故甲种玉米苗长得齐.19．如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，平面PAB，点O为PB的中点.，.

(1)求证：直线平面ABCD；(2)求直线PB与平面OAC夹角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由勾股定理逆定理得，由线面垂直的性质定理得，从而由线面垂直的判定定理得证题设线面垂直；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求线面角．【详解】（1）∵，，∴在中，，∴，又平面PAB，平面PAB，∴，又，AB、平面ABCD，∴直线平面ABCD.（2）由（1）得，，，建立以A为原点的空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，，∴，，，设平面OAC的法向量为，则，即，令，则，，∴，∴，故直线PB与平面OAC夹角的正弦值为.

20．已知椭圆经过点.(1)求椭圆的方程及其离心率；(2)若为椭圆上第一象限的点，直线交轴于点，直线交轴于点，且有，求点的坐标.【答案】(1)，离心率为；(2)【分析】（1）由题意可得，继而求出，即可得方程和离心率；（2）设，则，又由可得，继而得到，联立即可解得，的值.【详解】（1）依题知：，所以.所以椭圆方程为，离心率.（2）如图：设，第一象限有，①；由得：，又，，因此②，联立①②解得，故.21．设函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的单调区间：(3)若函数在区间内单调递增，求k的取值范围．【答案】(1)(2)答案见解析(3)【分析】（1）求出导函数，求得得切线斜率，再求出函数值后可得切线方程；（2）分类讨论确定和的解得单调区间；（3）由（2）中单调增区间得关于的不等式，从而求得其范围．【详解】（1），，又，所以所求切线方程为；（2）时，时，，是增函数，时，，是减函数，时，时，，是减函数，时，，是增函数，所以当时，增区间是，减区间是；当时，减区间是，增区间是；（3）由（2）知：当时，，即；当时，，即；所以的范围是．22．已知曲线的极坐标方程为是曲线上不同的两点，且，其中为极点．(1)求曲线的直角坐标方程；(2)设点的极坐标为，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据极坐标和直角坐标的转化公式求得正确答案.（2）先得到点的极坐标，将的极坐标代入曲线的极坐标方程，解方程求得.【详解】（1）曲线的极坐标方程为