测量平差-第三章-条件平差(第五周+第六周)课件

引言数学问题：求函数满足：的极值。引言数学问题：求函数满足：的极值。1ACBD实例：测量工作中，为了确定某点（D）的高程。hAD？如何求取D高程的最或然值？hDBhDCACBD实例：测量工作中，为了确定某点（D）的高程。hAD？2实例：h1=4.114mS1=2kmh2=1.030mS2=1kmh3=0.758mS3=4kmD实例：h1=4.114mh2=1.030m3实例：h1=4.114mS1=2kmh2=1.030mS2=1kmh3=0.758mS3=4kmD平差值=观测值+改正数实例：h1=4.114mh2=1.030m4实例：有无穷多组解最小二乘原则：VTPV=min实例：有无穷多组解最小二乘原则：VTPV=min5S1=2kmS2=1kmS3=4km实例：平差问题转化为：求函数满足：的极值S1=2kmS2=1kmS3=4km实例：平差问题转化为6第三章条件平差§3-1条件平差原理条件平差的数学模型为函数模型随机模型平差模型第三章条件平差§3-1条件平差原理条件平差的数学模型7按求函数极值的拉格朗日乘数法，引入乘系数构成函数：将Φ对V求一阶导数,并令其为零按求函数极值的拉格朗日乘数法，引入乘系数构成函数：将Φ对V求8得转置得得转置得9得转置得得转置得10条件方程法方程基础方程条件方程法方程基础方程111水准网§3-

2、条件方程的列立总体原则：条件方程的个数等于多余观测数r；优先选用形式简单、易于列立的条件方程。对水准网进行条件平差时，一般以闭合、附合水准路线的高差在理论上应满足的条件来建立相应的条件方程。例1：如图2所示高程网中，有：2个已知高程点A、B，3个未知高程点C、D、E8个高差观测值；1水准网§3-2、条件方程的列立总体原则：条件方程的个12多余观测数r=n－t=8-3=5可以列出5个条件方程式从图2中可以看出，要确定3个未点的高程值，至少需要知道其中的3个高差观测值，即必要观测个数t=3。如h1、h2、h3，或h6、h7、h8或h2、h4、h5等多种选择；（1）（2）注：在有已知水准点的水准网中，必要观测的个数就等于未知点的个数；多余观测数r=n－t=8-3=5从图2中可以看出，要确13注：在没有已知水准点的水准网中，必要观测的个数等于网中全部未知点的个数减1.在没有已知水准点的水准网呢？处理的思路是：假定某一点的高程（如A点），并当作已知点，去确定其它未知点的相对高程。假定A点，求未知点B、C、D、E，有很多种列法，但必要观测数为4；注：在没有已知水准点的水准网中，必要观测的个数等于网中全部未14测角网的基本条件方程有四种类型：图形、圆周、极条件、基线条件一、图形条件例2：图3为一测角网，其中A、B为坐标已知的三角点，C和D为待点，共观测了9个水平角，ai、bi、ci(i=1,2,3)。根据前方交会可知，必要观测t=4,多余观测数r=9-4=5;因此，可以列出5个条件方程。图32测角网图形条件，又叫三角形内角和条件，或三角形闭合差条件。在三角网中，一般对三角形的每个内角都进行了观测。根据平面几何知识，三角形的三个内角和的理论值应为180˚。

§3-

2、条件方程的列立测角网的基本条件方程有四种类型：图形、圆周、极条件、基线条15一、图形条件图3二、圆周条件对于中点多边形来说，如果仅仅满足了上述三个图形条件，还不能保证它的几何图形能够完全闭合，如图4所示，因此还要列出圆周条件。ABC图4D（2）（3）§3-

2、条件方程的列立一、图形条件图3二、圆周条件对于中点多边形来说，如果仅仅满足16为了使平差值满足相应几何图形的要求，必须使由不同路线推算得到的同一条边的长度应相等。三、极条件图3满足上述三个图形条件、一个圆周条件，还不能使图3的几何图形完全闭合，如，用正弦定理从AB－BD－DC；AB－AD－DC；两个方向推出的边长不相等，如图5所示。ABC图5DC1§3-

2、条件方程的列立为了使平差值满足相应几何图形的要求，必须使由不同路线推算得到17以D点为极，列出各图形边长比的积为1，称为极条件方程图33、极条件注：列极条件方程时，要记住这么一个规律：分子为起算边所对角度的正弦，分母为推算边所对角度的正弦！（5）（6）（4）§3-

2、条件方程的列立以D点为极，列出各图形边长比的积为1，称为极条件方程图33、18极条件方程为非线性形式，按函数模型线性化的方法，用泰勒（台劳公式展开取至一次项，可得线性形式的极条件方程。（5）（7）线性化以后的极条件方程极条件方程为非线性形式，按函数模型线性化的方法，用泰勒（台劳19测量平差--第三章--条件平差(第五周+第六周)课件20图3例2中9角度的观测数据2.3、应用示例图3例2中9角度的观测数据2.3、应用示例21图32.3、应用示例图32.3、应用示例229/18/202323（n=12t=4r=8）四、方位角条件§3-

2、条件方程的列立8/6/202323（n=12t=4r=8）四、方位角条239/18/202324五、基线条件（边长条件）§3-

2、条件方程的列立8/6/202324五、基线条件（边长条件）§3-2、条件249/18/202325六、坐标条件§3-

2、条件方程的列立8/6/202325六、坐标条件§3-2、条件方程的列立259/18/202326六、坐标条件§3-

2、条件方程的列立8/6/202326六、坐标条件§3-2、条件方程的列立269/18/202327§3-

2、条件方程的列立六、坐标条件讨论一下如何求出？8/6/202327§3-2、条件方程的列立六、坐标条件讨279/18/202328§3-2、条件方程的确定一、图形条件二、圆周条件三、极条件四、方位角条件五、基线条件（边长条件）六、坐标条件一、图形条件二、极条件8/6/202328§3-2、条件方程的确定一、图形条件二289/18/202329

必要起算数据：1、两个三角点的4个坐标值；

2、一个三角点的2个坐标值、一条边的长度和一个方位角。讨论：三角网中多余观测数的确定8/6/202329必要起算数据：2、299/18/202330讨论三角网中多余观测数的确定1、网中有2个或2个以上已知点的情况8/6/202330讨论三角网中多余观测数的确定1、网中有2301、网中有2个或2个以上已知点的情况讨论三角网中多余观测数的确定1、网中有2个或2个以上已知点的情况讨论三角网中多余观测数的312、网中已知点少于2个的情况讨论三角网中多余观测数的确定2、网中已知点少于2个的情况讨论三角网中多余观测数的确定322、网中已知点少于2个的情况（1）测角网讨论三角网中多余观测数的确定2、网中已知点少于2个的情况（1）测角网讨论三角网中多余观测332、网中已知点少于2个的情况（1）测角网讨论三角网中多余观测数的确定2、网中已知点少于2个的情况（1）测角网讨论三角网中多余观测342、网中已知点少于2个的情况（2）测边网或者边角网讨论三角网中多余观测数的确定2、网中已知点少于2个的情况（2）测边网或者边角网讨论三角网352、网中已知点少于2个的情况（2）测边网或者边角网讨论：三角网中多余观测数的确定2、网中已知点少于2个的情况（2）测边网或者边角网讨论：三角36讨论：复杂条件的列立及线性化讨论：复杂条件的列立及线性化37讨论：复杂条件的列立及线性化讨论：复杂条件的列立及线性化38讨论：复杂条件的列立及线性化讨论：复杂条件的列立及线性化39例子：有独立测边网（如图3.8），边长观测值列于下表。试按条件平差法求出改正数以及边长平差值。（已知）。表3.8编号观测值（m）S13110.398S22004.401S33921.397S43608.712S51712.624S63813.557S72526.140S83588.582S92540.378例子：有独立测边网（如图3.8），边长观测值列于下表。试按40图3例2中9角度的观测数据讨论：平差值的函数中误差图3例2中9角度的观测数据讨论：平差值的函数中误差41图3例2中9角度的观测数据讨论：平差值的函数中误差说明平差后，需要计算其他量时，都是使用平差值；也就是说其他量都是平差值的函数。如果能求出平差值的协方差阵（或协因数阵），则平差值的函数的协方差阵（或协因数阵）就可求。图3例2中9角度的观测数据讨论：平差值的函数中误差说明平差42讨论一下如何来的？讨论一下如何来的？431.计算单位权方差和中误差的估值根据第二章中对中误差的定义，单位权中误差的计算公式为在一般情况下，观测值的真误差△是不知道的，也就不可能利用上式计算单位权中误差。但在条件平差中，可以通过观测值的改正数V来计算单位权方差和中误差：二、精度评定1.计算单位权方差和中误差的估值在一般情况下442、协因数阵条件平差的基本向量L、W、K、V、都可以表达成随机向量L的函数2、协因数阵条件平差的基本向量L、W、K、V、都可45式中等号右端第二项是与观测值无关的常数项阵，按协因数传播律，得Z的协因数阵为式中等号右端第二项是与观测值无关的常数项阵，按协因数传播律，463．平差值函数的协因数在条件平差中，平差计算后，首先得到的是各个观测量的平差值。例如，水准网中的高差观测值的平差值，测角网中的观测角度的平差值，导线网中的角度观测值和各导线边长观测值的平差值等。而我们进行测量的目的，往往是要得到待定水准点的高程值、未知点的坐标值、三角网的边长值及方位角值等，并且评定其精度。这些值都是关于观测值平差值的函数。设有平差值函数3．平差值函数的协因数47对上式全微分得取全微分式的系数阵为由协因数传播律得对上式全微分得取全微分式的系数阵为由协因数传播律得48根据，知代入式得将代入，可求得该平差值函数的方差即此式即为平差值函数式的协因数表达式。根据，知代入式得将代入，可求得该平差值函数的方差即此式49图3例2中9角度的观测数据讨论：平差值的函数中误差图3例2中9角度的观测数据讨论：平差值的函数中误差50基础方程协因数转播定律基础方程协因数转播定律51基础方程BAC基础方程BAC52引言：为什么要选取位置参数？引言：为什么要选取位置参数？53设条件平差中有观测值n个，必要观测值t个，多余观测数r个，取u个非观测量作为参数（设为），则要列出的条件方程数为c=r+u

(3-5-1)附有参数的条件平差的函数模型为 (3-5-2)用Δ和的估值v和代替，则附有参数的条件平差法的平差值条件方程及改正数条件方程分别为§3-5附有参数的条件平差一、平差原理设条件平差中有观测值n个，必要观测值t个，多余观测数r个，取54 (3-5-3) (3-5-4)其中(3-5-6)条件平差的随机模型为(3-5-7)

55为求Φ的极小值，将Φ分别对V和求一阶导数，并令其为零还应按照函数极值的拉格朗日乘数法，先组建函数(3-5-8)为求Φ的极小值，将Φ分别对V和求一阶导数，并令其为零56以上两式转置, (3-5-9) (3-5-10)由（3-5-9）式得改正数方程 (3-5-11)以上两式转置,57从而可得附有参数的条件平差的基础方程为(3-5-12)将改正数方程代入条件方程后，得取，不难知道，Naa为对称可逆方阵，上式写为(3-5-13)从而可得附有参数的条件平差的基础方程为(3-5-12)将改正58 (3-5-14)则 (3-5-15)上式代入（3-5-10），得得(3-5-16)

59取，易知R(Nbb)=u，Nbb为对称可逆方阵。（3-5-16）式写为 (3-5-17)解上式，得 (3-5-18)则上式代入（3-5-15）式，可计算出K，或者，将（3-5-15）式代入（3-5-11），得 (3-5-19)取60即可直接计算出观测值的改正数V。再由，分别计算出观测值平差值和非观测量的最或是值。二、精度评定1.单位权中误差计算附有参数的条件平差的单位权方差和中误差的计算，仍使用下述公式计算 (3-1-17)即可直接计算出观测值的改正数V。二、精度评定1.单位权中误61 (3-1-17)2.协因数阵首先写出各基本向量的表达式：L=L (3-1-17)2.协因数阵L=L62写出有关协因数阵： （3-5-19）写出有关协因数阵： （3-5-19）63（3-5-20）（3-5-21）

（3-5-20）（3-5-21）64（3-5-22）3.平差值函数中误差计算同条件平差一样，在附有参数的条件平差中，要评定一个量的精度，首先要将该量表达成关于观测量平差值和参数平差值的函数形式，再依据协因数传播律，计算该量的协因数，最后计算出其方差或中误差。（3-5-22）3.平差值函数中误差计算65设:平差后一个量关于观测值与参数平差值的函数为(3-5-23)对其全微分，得权函数式(3-5-24)其中设:平差后一个量关于观测值与参数平差值的函数为(3-5-2366根据协因数传播律，得函数的协因数为(3-5-25)根据协因数传播律，得函数的协因数为(3-5-25)67式中、、、等，均可参照(3-5-19)、(3-5-20)、(3-5-21)、(3-5-22)等式计算。函数的中误差为即(3-5-26)式中、、、等，均可参照(3-5-19)、(3-5-20)、(68三、例题例[3-2]如图3-15所示三角网，A，B为已知点，其坐标为A(1000.00,0.00)，B(1000.00,1732.00)(单位：m)，BD边的边长为S

BD=1000.0m。各角值均为等精度观测（取Q

LL

=E），观测值分别为：L1

=60°00′03″L2

=60°00′02″L3

=60°00′04″L4

=59°59′57″L5

=59°59′56″L6

=59°59′59″三、例题例[3-2]如图3-15所示三角网，A，B为已69取∠BAD的最或是值为未知数。试用附有参数的条件平差法对该网进行平差，并求∠CAB平差后最或是值的中误差。取∠BAD的最或是值为未知数。70解：本题中，总观测数n=6，必要观测数t=4，多余已知值p=1，附加一个未知参数u=1，则r=n+p–t=3，c=n+u–r=4可以写出图形条件2个、极条件1个、固定边条件1个，分列出最或是值条件方程如下：解：本题中，总观测数n=6，必要观测数t=4，多余已知值p=71取，由固定边条件可计算其近似值=30°00′00″将最或是值条件方程中的非线性式线性化，并计算出改正数条件方程：取，由固定边条件可计算72测量平差--第三章--条件平差(第五周+第六周)课件73=27.5743=2.8193=[-2.5662 2.7286–0.96610.6440]=[-4.23–3.12-1.631.643.662.73]=

[59°59′58.8″59°59′58.9″60°00′02.4″59°59′58.6″59°59′59.7″60°60′01.7″]=

30°00′02.8″TTT=27.5743TTT74平差值函数式Fl=[100000]

，Fx=[-1]=[0.0363]TT=[-0.06560.0935-0.0279-0.0391-0.08090.1199]=[-0.06560.0935-0.0279-0.0391-0.08090.1144]TT平差值函数式Fl=[10000075则=±2.7″则=±2.7″76§3-6条件平差估值的统计性质一、观测量平差值具有无偏性在条件平差中，根据最小二乘原理，求出了平差值（观测量的最或然值）和单位权中误差。本节我们用数理统计理论来讨论这些平差结果的统计性质根据数理统计理论，要证明的无偏性，就是证明的数学期望等于相应的真值，即：(3-6-1)§3-6条件平差估值的统计性质一、观测量平差值77根据（3-1-6）、（3-1-14）和（3-1-19）式，得两边取期望得：由于，且，得根据（3-1-6）、（3-1-14）和（3-1-19）式，得78二、观测值平差值的方差最小（有效性）根据矩阵的迹的定义，要证明具有最小方差，需要证明平差值方差的迹tr()为最小即可。而根据方差的定义，也可以证明平差值协因数阵的迹tr()为最小，即tr()=min或tr()=min (3-6-2)可以用反推法求的具有最小方差的无偏估计量是。二、观测值平差值的方差最小（有效性）根据矩阵的迹的定79为此，仿照平差值表达式另设函数：(3-6-3)式中G为待求系数.先证明是的无偏估计：对（3-6-3）式两端取数学期望，得为此，仿照平差值表达式另设函数：(3-6-3)式中G为待求80由于，而W=-（AL+A0）,则上式写为即，无论系数G为什么值，都是的无偏估计，的无偏估计不唯一。按协方差传播规律，得估计量的方差阵为将（3-6-3）式写为(3-6-4)(3-6-5)由于，而W=-（AL+A0）,则上式81为求使tr()=min的G的值，可对（3-6-5）式两端求迹后，再对G求偏导，得(3-6-6)(3-6-7)为求使tr()=min的G的值，可对（3-682其中代入（3-6-7）式，并使其为零，得而DLL=，代入上式，整理得GAQA-QA=0 (3-6-8)T

T

其中代入（3-6-7）式，并使其为零，得而DLL=83即GN–QA=0(3-6-9)则(3-6-10)T将上式代入(3-6-3)式，得(3-6-11)可见是的方差最小的无偏估计，即是的最优无偏估计。即GN–QA=084三、单位权方差的无偏性 (3-6-12)估值的计算式对于改正数向量V，其数学期望为E(V)，方差阵为DVV

，相应的权阵为P（P为对称可逆阵），根据数理统计理论，V向量的任一二次型的数学期望可表达成下式：单位权方差的无偏性是指单位权方差的估值是其无偏估计量，即要证明：三、单位权方差的无偏性 (3-6-12)估值的计算式对于改85 (3-6-13)式中，E(V)=0，DVV=QVV，则（3-6-13）式可写为由（3-1-29）知QVV=，代入上式，得 (3-6-14) (3-6-15) (3-6-13)式中，E(V)=0，DVV=86由于(

)和(AQ)都是方阵，根据矩阵的迹的性质，有：tr(

)=tr(

)=tr(

)=r 上式代入（3-6-15）式后，根据单位权中误差的计算公式，得(3-6-16)从而可得，单位权方差的估值是其无偏估计量。对于附有参数的条件平差结果的统计性质，证明方法要略微复杂些，这里不再详细介绍。由于()和(AQ)都是方阵，根据矩阵的迹87§3-7习题3.1如图3.1所示水准网，A、B两点为高程已知，各观测高差及路线长度如表3.1所列。用条件平差法计算求知点的高程平差值及p2和p3之间平差后高差值的中误差。§3-7习题3.1如图3.1所示水准网，A、B两点88高差观测值(m)对应线路长度(km)已知点高程（m）h1=1.359h2=2.009h3=0.363h4=-0.640h5=0.657h6=1.000h7=1.6501122112H1=35.000H2=36.000表3.1高差观测值(m)对应线路长度(km)已知点高程（m）h1=891.解n=7,t=3,r=n-t=4.平差值条件方程和改正数条件方程为为：令C=1，观测值的权倒数为：a=[1122112];Q=diag(a),%生成对角矩阵Q得：下面求平差后的中误差：中误差为1.解n=7,t=3,r=n-t=4.平差值条件方程和改正90测量平差--第三章--条件平差(第五周+第六周)课件91利用Matlab编写上题的代码为：（%后的内容为注释部分）clear%清除内存中的变量A=[-1100-100;000011-1;001-10-10;10-10000],a=[1122112];Q=diag(a),%生成对角矩阵QP=inv(Q),%inv()为矩阵求逆运算W=[7;-7;-3;4];N=A*Q*A',%A’表示A的转置K=inv(N)*W,V=Q*A'*K,f=[0;0;0;0;1;1;0];sigma=sqrt(V'*P*V),%sqrt()为开根号运算Qff=f'*Q*f-f'*Q*A'*inv(N)*A*Q*f,利用Matlab编写上题的代码为：（%后的内容为注释部分）923.2图3.2中所示的中点三边形，其内角观测值为等精度独立观测值（如表3.2所示），计算各观测角值的平差值及CD边长平差后的相对中误差3.2图3.2中所示的中点三边形，其内角观测值为等精度独立93观测值观测值观测值L1=30˚52′39.2″L2=42˚16′41.2″L7=106˚50′42.7″L3=33˚40′54.8″L4=20˚58′26.4″L8=125˚20′37.6″L5=23˚45′12.5″L6=28˚26′07.9″L9=127˚48′41.5″表3.2观测值观测值观测值L1=30˚52′39.2″L3=942.解n=9,t=4.r=n-t=5.即5个条件方程，选取网中3个图形条件，一个圆周条件，一个极条件。个图形条件方程为：一个圆周条件方程为：一个极条件方程为：2.解n=9,t=4.r=n-t=5.即5个条件方程，一个圆95其改正数形式为：将以上改正数条件方程写成矩阵形式为：AV-W=0其改正数形式为：将以上改正数条件方程写成矩阵形式为：AV-W96P为单位阵。N=AQAT,K=N-1W,两边取全微分得：P为单位阵。N=AQAT,K=N-1W,两边取全微分得：97可求得该平差值函数的方差CD边相对中误差为可求得该平差值函数的方差CD边相对中误差为983.3如图3.3所示单一附合导线，起算数据和观测值如表3.3所示，测角中误差为±3″，测边标称精度为±(5+5*10-6D)mm，按条件平差法计算各导线点的坐标平差值，并评定3点平差后的点位精度。已知坐标(m)已知方位角A(6556.947,4101.735)B(8748.155,6667.647)TAC=49˚30′13.4″TBD=229˚30′13.4″导线边长观测值(m)转折角度观测值S1=1628.524S2=1293.480S3=1229.421S4=1511.185β1=291˚45′27.8″β2=275˚16′43.8″β3=128˚49′32.3″β4=274˚57′18.2″β5=289˚10′52.9″表3.33.3如图3.3所示单一附合导线，起算数据和观测值如表3.99测量平差--第三章--条件平差(第五周+第六周)课件1003.3.解观测值个数n=9，必要观测数t=2*3=6,多余观测数r=n-t=3.可以列出一个方位角附合条件和两个坐标附合条件。解题过程如下。(1)近似计算各个导线边的方位角和导线点的坐标列于下表。近似坐标(m)近似方位角2

(8099.150,3578.571)3

(8400.223,4836.524)4

(9511.116,5363.205)5

(8748.204,6667.676)T1=341˚15′41.2″T2=76˚32′25.0″T3=25˚21′57.3″T4=120˚19′15.5″T5=229˚30′08.2″3.3.解观测值个数n=9，必要观测数t=2*3=6,近似101改正数条件方程(2)组成改正数条件方程及第3点平差后坐标函数式改正数条件方程闭合差项：改正数条件方程(2)组成改正数条件方程及第3点平差后102W=[5.4-4.9-2.9]T即vβ1+vβ2+vβ3+vβ4+vβ5–5.4=00.9470vS1+

0.2328vS2-+0.9036vS3

–0.5053vS4–1.2440vβ1–1.4976vβ2-0.8878vβ3-0.5012vβ4

+4.9=0-0.3212vS1+0.9725vS

2+

0.4284vS3+0.8632vS4+1.0624vβ1+0.3147vβ2+0.1687vβ3–0.3699vβ4+2.9=0W=[5.4-4.9-2.9]T即vβ1+103fx3=[0.94700.232800-0.3562-0.6099000]Tfy3=[-0.32120.9725000.89360.1460000]T全微分得第3点平差后坐标函数式fx3=[0.94700.232800104=5mm+5ppm•Dkm计算测边中误差根据(3-3-26)式，测角观测值的权为Pβ=1；(2)确定边角观测值的权设单位权中误差根据提供的标称精度公式则可得观测值的权阵为为不使测边观测值的权与测角观测值的权相差过大，在计算测边观测值权时，取测边中误差和边长改正值的单位均为厘米（cm）。=5mm+5ppm•Dkm计算测边中误差(105(3)组成法方程，计算联系数、改正数及观测值平差值，得(3)组成法方程，计算联系数、改正数及观测值平差值，得106进一步计算各导线点的坐标平差值，得1

(8099.155,3578.576)；2

(8400.211,4836.511)；3(9511.085,5363.203)进一步计算各导线点的坐标平差值，得107，点位中误差：2）点位中误差权倒数：(4)精度评定1）单位权中误差，点位中误差：2）点位中误差权倒数：(4)精度评定1083.4设某平差问题是按条件平差法进行的，其法方程式为：+=试求：（1）单位权中误差；（2）若已知某一平差函数式，并计算得=44，=16，=4，试求该平差值函数的权倒数及其中误差。3.4设某平差问题是按条件平差法进行的，其法方程式为：+=1093.4.解由条件平差的法方程可知要求单位权中误差W的维数即为r,所以r=2.K为可求量。3.4.解要求单位权中误差W的维数即为r,所以r=2.K为可110（2）由于则（2）由于则1113.5有三角网（如