2020-2021学年高二数学下学期期末测试卷01（北师大版2019选择性必修第二册）（全解全析）

2020-2021学年高二下学期期末测试卷01

数学.全解全析

1.B

【解析】

设等差数列｛a,,｝的公差为4,由已知条件可得出关于q、d的方程组，解出两个量的值，利用等差数列的

《+a=24+7d=0[a,=-7

求和公式可求得S7的值.因为一.，所以C，

4=4+54=3[a=2

因此，§7=74+告d=(-7)x7+2x苧=-7.

故选:B.

2.A

【解析】

根据等差数列片断和的性质得出SQS8-S4,Sl2-S8.岳6-岳2成等差数列，并将$8和，6都用$4表示，

5

可得出的值.若数列｛q｝为等差数列，则S4,Ss-S4,Sl2-Ss,S16-512也成等差数列，

316

S2S.2

因为4所以三、=可

O<>JOoO4D

以;S4为公差的等差数列,

则数列S4,S8-S4,St2-Sg,SI6-£2是以S4为首项,

35

^Ss-S4=^S4,Si2-S8=2S4,Sl6-Sl2^-S4,

5S5

所以品,=75’，所以萨8=五・

2»1614

故选：A.

3.D

【解析】

由题意，判断出数列｛为｝是公差为0的等差数列，然后分别利用等差数列的定义与等比数列的定义判断每

个选项即可.因为数列｛/｝和｛S,｝都是等差数列，4=S“-S,i，所以可判断4为定值，所以数列｛4｝是

公差为0的等差数列，即。“一。,1=0.对A,(a„+S„)-S,^+an-an^=an,所以数

2

列｛a,,+S“｝是等差数列；对B,an-Sn-an_x-Sn_｛^an-Sn-an-Sn_^an,所以数列｛4•S,J是等差数列;

22

对C,\]=笠=1,所以数列｛42｝是等比数列；对D,设/=a,则S“=〃a,S.2=/a2,则

S2222

士=瑞守='’所以数歹不是等比数歹人

故选：D

【点睛】

解答本题的关键在于判断出数列｛4｝是公差为0的等差数列，然后结合等差数列的定义，等比数列的定义

列式判断是否为等差或者等比数列.

4.A

【解析】

首先根据极值点为1，求得a=e,再结合函数的单调性，判断实根个数.由/'(x)=e*—a,得

r(l)=e-a=O

贝ija=e

/(%)=/_ex

函数〃x)在(2,+8),r(x)>0,/(x)单调递增，

/(2)=e2一〃<e,函数y=/(x)与y=a的交点个数为1个.

故选：A

5.B

【解析】

由/'(2)=0求出。的值，然后利用导数可求得函数“X)在1,3的最大值.•."(x)=21nx+QC2-3x,

2

则:(x)=—+2QX-3,

由题意可得了'(2)=4a-2=0,解得a=g,则/(x)=2姑%+；/一3%，

f'(x}=-+x-3=X'-3^2,令/'(x)=0,可得尤=1或x=2,列表如下：

XX

X[i1]1(1,2)2(2,3]

/'(X)+0—0+

“X)极大值极小值

所以，函数/(X)的极大值为/(1)=-3,极小值为/(2)=21n2—4,

又,，0=-2"2->,，(3)=21113—1，

05

•.•/(3)-/(l)=21n3--+-=21n3-2=2(ln3-l)>0,则/⑴<〃3),

Q

所以，“X)飒=〃3)=21n3-1

故选：B.

【点睛】

思路点睛：利用导数求函数y=/(x)在[4,以上的最大值和最小值的步骤如下：

(1)求函数y=f(x)在(。⑼内的极值;

(2)将函数y=/(x)的各极值与端点处的函数值/(a)、/(与比较，其中最大的一个是最大值，最小的

一个是最小值.

6.D

【解析】

根据数列递推公式与数列的前”项和S“，判断数列｛4｝的单调性与临界值，对每个序号逐一判

断①1-=片—2a,+l=(a“—NO,所以数列的｝是递增数列，又%T=a"(a”T)，所以

见+「1与a.T同号，又因为q—1=一；，所以。向一1<0,即。川<1，故①错；

2%+1-l=2a：-34+1=(%-1)(2。,,一1),由①知，数列｛4｝是递增数列且恒小于1,所以

所以(4,一1)(24—1)<0即26用一4一140恒成立，故②正确；因为S“=£>“，

2n=l

5"55"5

=S”〈一〃等价于Zm,「5)<0,因为数列｛4｝是递增数列且恒小于1，所以存在Ne〃+，

6〃=]66〃=io

当〃〉N时，有因为N为固定的值，记为M<0,〃趋向于”，a〃一!■分?>(),所以

666

■1）+…+14+“一1J>-M,所以一耳（“〃一》>°，故③错误；因为

S〃=£%，十工%；，〃=£1，所以2s“一（工〃等价于£（24-12”0,因为

n=\〃=ln=\〃=1

24一4.：=一（4-1）4°恒成立，所以2（2。“一％2）4。恒成立,故④正确；

71=1

故选：D.

【点睛】

解答该题的关键在于判断数列｛4｝的单调性与临界值，根据数列的递推公式判断数列。向一。”的正负，从

而得数列的单调性，同时需要利用数列相关不等式的推断数列的临界值.

7.D

【解析】

2

①对函数求导得/（幻=，+--T>0,只能说明/（X）在（-8,1）和（l,+oo）上都是增函数，不能说明

7（X—I）

“X）在其整个定义域上为增函数；

②直接计算/（a）的值，分离常数后，在a<1的条件下与一1比较大小即可；

③可得/（x）在（-8,1）和（1，e）上都是增函数，由零点存在性定理即可判断；

④先写出y=/在（%,*）（/*1）处的切线方程/，再设直线/与y=lnx相切于A（X],lnxJ,化简整理

X4-12

0

可得*-±7=°（尤。w1）•①函数"X）的定义域为（-°°，1）U。,小），且/'（x）=e"+2>，

X。—]（x—l）

・•・/（x）在（HO,1）和（l,xo）上都是增函数，但不能说明了（x）在其整个定义域上为增函数，故①错误；

r\.-1r\

②当a<l时，有------>0,.•./（a）=e"一幺一=—1+e"-------->-1,故②正确；

CI—1CI—1Q—1

③•••/(x)在(7,1)上是增函数，且/(—2)=e-2—g=5一；<0,7(0)=2>0,在(3,1)上

有且仅有1个零点；•.・“X）在（1，钟）上是增函数，且，）=/一9<3，-32<0,/（2）=e2-3>0,

.•./（X）在（1,+⑹上有且仅有1个零点，故“X）有且仅有两个零点，故③正确;

④•••y=e'在点（x°,e而）（x0。1）处的切线方程/为y-泊=e*（x-x0），又/也是y=Inx的切线，设其

切点为A（玉,lnxj,贝以的斜率为左=.,则F=e-，，玉=「与，即A（e-\-%）,又点A在/上,

.••一尤0-6*=*卜』—/），：・八一出^OaoWl），.,・为必是/（x）零点，故④正确.

故选：D.

【点睛】

关键点睛：本题考查利用导数研究函数的切线方程、单调性和零点问题，有一定的综合性，解题的关键是

利用清楚导数的几何意义以及导数与单调性的关系.

8.D

【解析】

分析得出”0,利用导数分析函数“X）的单调性，可得知当为函数”X）的极大值点，为函数“X）的

极小值点，再由"％）=/（〃）、/（x2）=/（m）结合因式分解可得出结论.当a20时，/'（X）=3/+a＞0,

此时，函数/（x）在R上为增函数,

当巧、w时，/（石）＜/（〃），“W）＞/（〃?），不合乎题意,所以，a＜0.

由/'（》）=。可得x=±

丁目或时，/当（尤时，

当x<-r(x)<o.

所以，函数“X）的单调递增区间为单调递减区间为

对任意的司恒有/（〃?）＜"X）＜/（〃），/Wmin=/W，/（X））=/（〃），

又当再、/€(〃〃)且满足/(X)=/(〃)，/(x2)=/(m),

所以，M为函数“X）的极大值点,X2为函数/（X）的极小值点,

由/（玉）=/（〃）可得X：+叫+h-+an+h,可得（x：—/）+。（玉-«）=0,

即（王一祖年+叫+〃2+.）=o,因为％尸〃，则片+叫+〃2+a=o,

2

：玉=一小^,可得a=-3x：,所以，n+nxt-2xf=0,即（“一玉）（〃+2石）=（）,

所以，〃+2王=0,同理可得机+2々=0,

故选：D.

【点睛】

关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：

（1）利用已知条件分析出用、4为函数/（%）的极值点；

（2）利用等式/（%）=/（〃），/（々）=/（加）结合因式化简得出结果.

9.ABC

【解析】

由q=l,a“=2"可求出％=4判断A,由%+「4+2=2”制与％•%+]=2"相比即可判断B,由等比

n

数列通项公式即可判断C,D.因为4=1,an-an+l=2,

所以。2=2,%=2,%=4,

由《“用=2"可得%+「4+2=2"M，

所以%^=2,

a„

所以｛。2“｝，｛4“_I｝分别是以2,1为首项，公比为2的等比数列，

所以。2“=2•2"T=2"=1-2向=2"-',

所以«2„~*=2"T,a2„_,+4“=3-尸H2'用,

综上可知，ABC正确，D错误.

故选：ABC

【点睛】

关键点点睛：根据数列的递推关系，等比数列的定义，判断出数列｛4,｝，｛g,-｝是等比数列，是解题的

关键，属于中档题.

10.BD

【解析】

A选项借助导数研究函数的极值情况；BC选项，构造新函数研究函数的零点问题以及参数取值范围；D选

项根据新函数单调性比较函数值的大小，从而得到双变量的关系.A：函数/(X)的定义域为((),+e),

当xe(0,2)时，/'(x)<0,f(x)单调递减;当xe(2,+x))时，./(切>0,/(x)单调递增，

所以x=2是/(力的极小值点，故A错误；

r/\221%2—X+2

B：y=/(x)-x=—+lnx-x,y=-+——1=---------<0,

xxxx

所以函数在((),+8)上单调递减，

又/⑴-l=2+lnl-l=l>0,〃2)-2=l+ln2-2=ln2-l<0,

所以函数y=/(x)-x有且只有1个零点，故B正确;

C：右/(X)>Ax,即—FInx>fcx,则Zc<-H----,

xxx

人/2Inx…，/x-4+x-xlnx

令g(x)x=7+二■，则g(x)=-----p-----,

令/z(x)=T+x-xlnx,则//(x)=-lnx,

当xe(O,l)时，/(x)>0,〃(x)单调递增；当xe(l,48)时，〃'(x)<0,〃(x)单调递减,

所以〃(％)<〃(1)=一3<0,所以g'(x)<0,

所以g(力=蛾+也在(0,+纥)上单调递减，函数无最小值，

所以不存在正实数%,使得/(%)>丘恒成立，故C错；

D：因为/(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+o))上单调递增，

.•3=2是/(力的极小值点，

・•・对任意两个正实数X1,X2,且%>王，若/(%)=/(%)，则0<玉<2<*2.

令f=，«>1),则尤2=%，

由/(石)=/(与)，得一+lnX|=-+lnx2,...-----=lnx2-In%),

王光2X]X?

即2(々一司)=卜三,即生二皿=|nf,解得为二亚1D,灰二的二空XI.

大九2Xxi'txit\nttint

2f2—2

所以X+“2=土广.

故要证为+々>4,需证玉+工2-4>。，

中、丁2』—2,而、12t2—2—4t\nt

需证-------4>0,需证------------>0.

tintt\nt

=-^>19则"n,>0,...证2/一2—4"nf>0.

不

令"。)=2"—2—4"皿(，>1),Wz(0=4r-4Inr-4(r>l),

，〃«)=4-；=丑二9>0«>1),所以H'⑺在(1,+8)上是增函数.

因为，一>1时，H'(f)fO,则“'(f)>0,所以“(。在(1,+8)上是增函数.

因为ffl时，则H(f)>0,所以一:2-4叫>0,

rlnr

二玉+々>4,故D正确，

故选：BD.

【点睛】

思路点睛：借助导数研究函数的极值情况，构造新函数研究函数的零点问题以及参数取值范围；可以将自

变量的大小比较通过构造新函数，通过单调性转化为函数值的大小比较，从而得到自变量间的关系.

11.BC

【解析】

由/（X）求导ra）=4%3+2or+Q,再由r（x）求导得到/"（%）=12/+2。，然后分a>0,«<-||,

27

一方,,a<0讨论分析选项ABC,选项D根据不<0<%2，%+%2>0，作差

/（xj-/（々）=（王一电）（（5+W乂%；+x；+a）+a）,取。=一卜；+若）判断。八%）=4?+2ax+a,

八x）=12f+2a,

当a>0时，r（x）>0,f（x）单增,

又广（一指）=一3。一2小份<0,尸（0）=a>0,.•./'（X）在（—指,0）内存在唯一零点，记为X。，则.f（x）在

（-<2%）上单减，在（%,+8）上单增，/（%）既是极小值又是最小值;

上单增，在上单减，/'（0）=。<0,

/'（X）在（-8,0）上有两个零点，记为玉,々，在（0,+℃）上有一个零点,

记为七，则/（X）在（-00,%）和（私马）上单减,在（玉,工2）和（£,+°0）上单增，%为小于0的极小值点,

）和/（毛）中的较小者即为f（x）的最小值;

/'（X）只在（0,+8）上存在唯一零点，记为x°,f（x）在（-8,占）上

单减，在（%,+8）上单增，/（X。）为最小值；故B、C正确，A错误;

对于D,当不<0<%2，％i+%2〉0时，/（百）_/（工2）=%：—/+4（X；-¥）+”（工1-工2），

=（%-+工2）（工；+a）+a

取a=_（x；+x；）,则有“为）一/（%2）>0,故D错误.

故选：BC

【点睛】

方法点睛：（1）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当式X）含参数时，需依据参数

取值对不等式解集的影响进行分类讨论.（2）若可导函数;（x）在指定的区间D匕单调递增（减〉求参数范围

问题，可转化为/（x）20（或/（x）vO）恒成立问题，从而构建不等式，要注意"=”是否可以取到.

12.BD

【解析】

根据取整函数的性质可得数列｛叫为递增数列，根据整数的性质可得4M=34-1,从而可求数列｛4｝的

通项，从而可判断AB的正误，利用二项式定理可判断C的正误，从而可判断D的正

5+乎

误.=5.

53

由题可得为正整数，故a=2«„+y〉氏，

2

所以数列｛%｝为递增数列,

故当2时，an>a2=2.

9

又当〃22时，（％-2『—=5-4%<0即％-2<

U21<21

5a”+«ci—

故5a“+-二n(In

-<03a-1<-----------

”2

又5。“+陋2<5…“

2

2

结合34-1、34均为正整数可得a=3an-1,其中“22,

而4=34-1,故。“+[=3。”一1,其中〃21.

故4+i=-g］，又4一(=(#0,故a“—g*O,

1

%一万111

故-----，=3,故数列Ja“一］1是以5为首项，3为公比的等比数列,

11

-X3%=_L(3"T+1),因此A错误，B正确.

2-2-

2018(K

320/13-3+13-(10-1)'+1

又喂。==-------2-----

，8*2*

3-(^910^-^10"+----^10+^10-1)+1

2

1009

3.(C^IO-C；00910m…-C需IO?)+1009x30-2

-2

「•(。/选―C：009K+•••—6*()2)+1000x30门30>4.

~2++'

9

国为3•(%9KT-。，1。@8+.一€31。2)+1000*3。为w的倍数

2

故%。2。的个位数为4,因此C错误.

设。2。20=10左+4,则02tpi=3(10%+4)—1=30左+11=30k+10+1,

故“2021的个位数为1，因此D正确.

故选：BD.

【点睛】

思路点睛：以取整函数为背景的数列的递推关系，需结合递推关系的形式和整数的性质挖掘新的隐含的递

推关系，从而把问题转化为常见的递推关系，与个位数或余数有关的问题，多从二项式定理去考虑.

13.2

【解析】

根据等比中项性质可得/的=%，代入所求，即可得答案.由等比中项性质可得

2

a5a9-2a7—a7-2%=«7(«7-2)=(),

又｛4｝为等比数列，所以％NO,所以为=2.

故答案为：2

14.(一%,0)

【解析】

求得/'(x)=a+sinx—xcosx,利用导数分析函数g(x)=/'(尤)在(0,24)上的单调性，根据已知条件可

得出关于实数a的不等式组，由此可解得实数。的取值范围.•."(x)=ac—xsinx-2cosx,

/.f(x)=a+sinx—xcosx,

令g(x)=a+sinx—xcosx,贝ijg'(x)=xsinx.

当0<x<兀时，g'(x)>0,此时函数g(x)单调递增，

当"<x<2»时，g'(x)<0,此时函数g(x)单调递减.

因为函数/(》)=“一笛山》一285%在((),2乃)上有两个极值点，

g(0)=a<0

则<g(万)=a+万>0，解得一)<a<0.

g(2万)=a-27<0

因此，实数。的取值范围是(一4,()).

故答案为：(—乃,0).

【点睛】

关键点点睛：本题考查利用函数在区间上的极值点个数求参数，解题的关键在于将问题转化为导函数的零

点个数，并利用导数分析导函数的单调性，通过列不等式组来求解.

【解析】

根据S,,a“之间关系可得数列｛4｝为等差数列并得到%，然后得到么，根据裂项相消可得数列｛2｝前〃项

和，最后进行判断即可屈S,,+S,”=a；①，则Sn+i+S.=②

②-①化简可得：+凡)=0，又4>0，所以见+I_%=1(〃22)

当〃=2时，S2+S[=Q；=>%+%+q=a2?n氏=2

所以g-q=1符号用-4=1，故数列｛4｝是首项为1，公差为1的等差数列

所以见=〃，则s“二」+D"

2

所以“个廿=2（力,。9）

令设数列｛2｝前”项和1

11

所以1=2-]-彳+彳+不一彳-------1-…+

22334〃+1

-1—-1,〃为偶数

所以Z,=｛"+1，

-1-----,"为奇数

〃+1

112

当〃为偶数时，Tn=-----1,则（工一一1二一一且（＞一1

川十133

113

当〃为奇数时，T=-------1,则（2——1=一一且（＜一1

n〃+122

综上所述：TnG--^-,-1-

故答案为：-1'一：

【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键有两点，第一求得。“=〃，第二求得么=2（-1）"

\nH4-1J

16.①②

【解析】

根据函数的图象可刻画出导函数的图象，再根据导函数和原函数的图象特征逐个判断后可得正确的选项.根

据函数的图象可得导函数的图象（如图所示），

24,096144

设导数«）在/=t0取最大值，结合/«）的图象可知24<f0<96,

且当re（O/o）时，/'（。为增函数，在&,+8）上/'（。为减函数，

对于①，任意:e（0,24）We（96,144）,^t2=t0,则有/'（公>,故①成立.

对于②，设&4，/&））,3«2，/&）），由/«）图象的性质可平移直线48至C处,

此时平移后的直线与/”）图象相切，且为e（24,96）,取，2=%，

故（伉）=幺卢坐，故②正确.

对于③，取如图所示的与，设Q（%，./1（%）），S4，*」），过s作横轴的平行线,

交〃。的图象于T,由函数的图象特征可得七6（24,96）,

取右=x-r，则2/（/,）=f（t3）</6）+/日）,故③不成立.

对于④，取NGO/GO))«为①中/⑴最大值点)，

则过N的切线“穿过"曲线＞=/(力,曲线上不存在与该切线平行的割线，

否则与导数存在唯一的最大值点矛盾，故④错误.

故答案为：①②.

【点睛】

思路点睛：在导数问题中，如果知道原函数的图象，则可以根据切线的变化刻画出导数的图象，从而可研

究与导数或原函数性质有关的命题判断.

2

17.(1)an=2"-'；(2)T=n.

【解析】

(1)利用等比数列的求和公式进行基本量运算，可得数列｛4｝的通项公式；

(2)利用等差数列的求和公式可得数列｛a｝的前〃项和7“.(1)由题意可知

-9

\-q----------\-q

所以数列｛4｝的通项公式为。“=2M-'.

(2)2=咋2&"2n-l

数列也｝的前〃项和7；==〃2.

18.⑴x+_y=O；(2)/(X)的极大值为1—,，极小值为-(In2)2.

e

【解析】

(1)对/(X)求导得了(X),求出尸(0),由直线点斜式方程写出切线方程即得；

⑵求出方程/'(x)=0的根，并讨论/'(无)大于或小于0的x取值区间，由此判断极值情况，再求解而得.(1)

由/(x)=xex-x2-2x得f'(x)=(x+l)ex-2x-2=(x+l)(ev-2),f'(0)=-l,

过点(0,0),斜率为-1的直线为y=-x,

所以函数f(x)在(0,0)处的切线方程为x+y=0；

⑵由⑴知/'(x)=(x+l)(e'-2),/(x)=0时，x,=-l,x2=ln2,

x<-l或x>ln2时/'(x)>0,-l<x<ln2时，f\x)<0,

所以x=-l时，/(x)取得极大值/(T)=l—Lx=ln2时，/(x)取得极小值/(In2)=-(In2六

e

故/(X)的极大值为1一！，极小值为-(In2)2.

e

【点睛】

可导函数y次x)在点xo处取得极值的充要条件是，(xo)=O,且在xo左侧与右侧/(x)的符号不同.

19.(1)5；(2)50.

【解析】

(1)利用基本量代换，求出d=2q,直接求出公比；

(2)裂项相消法求出Sn,解不等式即可.(1)设等差数列｛q｝的公差为d,由4,4，《3是等比数列｛2｝的

连续三项，得即(4+22)2=4-(4+12〃)，化简得4/=84".

clw0,cl—2q.

,、a,a.+2da,+「

设数列也｝的公比的公比为4,则q=」=-——=-——L=5.

a\a\a\

I」ccI11\(11、

(2)若4=],则d=2,a=2n-l,-----=--------------=---------------,

n44+i(2及-1)(2〃+1)21212z?+lJ

111、

S.

(2H-1)X(2/?+1)>

11

----1----+…-一-

335572〃-12n+l)2(2/1+1)2〃+l

99n9999

由s”>—>得>-----------故〃的最小值为50.

"2002n+\2002

【点睛】

(1)等差(比)数列问题解决的基本方法：基本量代换；

(2)数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法.

20.(1)答案见解析；(2)证明见解析.

【解析】

(1)对a进行分类讨论，利用函数的单调性求极值;

(2)先判断/(不。—2)是/(X)的一个极值点时，/=ln(—a),把〃毛)整理出关于a的函数，利用导

数判断单调性，证明.⑴解：/(幻的定义域为R,7'(幻=(%+2乂炉+4,

若a.O,则e*+a>0，所以当xe(-oo,-2)时，f'(x)<0；当xe(—2,+8)时，f\x)>0,

所以/(x)在(-8,-2)上递减，在(-2,+0))上递增，

所以x=—2为/(幻唯一的极小值点，无极大值点，故此忖/(x)有1个极值点.

若a<0,令/'(x)=(x+2)(e*+a)=0,贝ji玉=-2,々=ln(-a),

当a<—e-2时，X,<x,,则当％€(-00,M)时，f'(x)>0；当无€(%,々)时，/'(幻<°；

当xe(均+co)时，f\x)>0.

所以对工2分别为/(%)的极大值点和极小值点，故此时/(x)有2个极值点.

当。=—e-2时，»=々，/'。)=(%+2乂靖+。)..0且不恒为0,此时/(x)在R上单调递增，无极值点.

当—e-2<a<0时，王>/，

则当xe(-8,9)时，f'(x)>0；当xe(x2，xj时，/(%)<0；当XG(X|,"o)时，f'(x)>0.

同理，％,X?分别为/*)的极小值点和极大值点，故此时f(x)有2个极值点.

综上，当“=—时，无极值点；当a..O时，/(x)有1个极值点；当a<—e-2或—婷2<“<0时，/(x)

有2个极值点.

(2)证明：若再(%W-2)是f(x)的一个极值点，由(1)可知ae(—8,—"2)u(—"2,0),

又/(一2)=-"2-2。>6一2,所以ae(，》,—e-2),且小力一2,

则/=ln(-a),所以/(/)=/(ln(-a))=1«[ln2(-«)+21n(-«)-2],

令/=ln(-a)w(-2,+8),则a=—S，所以g(f)=/(ln(—a))=—；e'+2f-2),

故g'Q)=-；，0+4)e',

又因为fe(-2,+8),所以f+4>0,令g'“)=0,得r=0.

当le(-2,0)时，g'Q)>O,g。)单调递增；当fw(0,+8)时，g'⑺<O,g(f)单调递减.

所以f=0是g。)唯一的极大值点也是最大值点，即g。),,g(0)=1,

故/(ln(-a)),,1,BP/(x0)„1.

【点睛】

(1)求极值需研究函数的单调性；

(2)利用导数证明不等式的本质是利用导数判断单调性，利用单调性比较大小.

21.(1)q=2；(2)证明见解析；(3)证明见解析.

【解析】

2

(1)当〃=1时，％=——7,即可求得q=2；

q—1

21111a2,

(2)因为%=-----------------7,化简得到一=-------廿，得到二------7=1一」号,进而得到

a

«i+«2„a“+i2a-+i4

—高=(1一A)+(1-^")+L+(1-^^-)=〃一;(<+i-。：)>即可求解;

(3)由(2)得到S“+|=-^-+1,由(2)得至ij二一<2册，再由<«2=1,得到,3〃+1K二-K2册,

a“+i

即可作出证明.(1)由题意，正项数列｛a,,｝满足：4=-----------------(neN*

"i+%+.....+4?—]

2

当〃=1时，q=，结合4>0得q=2.

21a1+为+・,,+凡-1

⑵因为……+­，所以工二IQ-

11""+1—rm]_]幻"+1

所以---丁-----，可得一一--------

%42a„an+l2

所以—;—1>所以一；----？=]——>

04%a,1q4

所以

11,11、，11、।/11、

-....r=（r--7）+（---r）+L+（------

%a\a2a\a3a24+1an

(1百+。-轴+(1一争=〃4(心

4

即（川=4〃+5—一—

J

11

（3）由（2）知------------

aean2

。，qan\/I1、/11、/11、

所以<+T+…+号+=（------）+（-------）+—+（--------）

222%4%。2。〃+14?

11C2,

5（S"+1-4）--------，即S“+]=----+1

4+i4%+]

4??2I-

一方面，由（2）知9+1=4〃+5---->a；+a；=5,所以---<2A/〃.

%4漳

11

另一方面，由。“+|>0,所以一<---,于是a.+i<a.

anan+\

%4出=1，

所以（+i=«!12*4+a；+…+a,344+〃，

42__________2

所以4+1=4〃+5<n+4=>--->y]3n+1,所以+1K----<2\/n.

"〃+i"〃+ia〃+i

所以技工1+1<3什1<2〃+1，

所以当〃之2时，73n-2+1<5n<+1.

【点睛】

数列与函数、不等式综合问题的求解策略：

1、已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一把要利用数列的通项公式，前"项和公式，求和方法

等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题

时要注意这一特殊性；

2、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、

分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.

22.(1)/(x)=x+l；(2)极大值为g(O)=l,无极小值；⑶(—8,3—2e)U(3—ge,+8)

【解析】

(1)先根据题意得p(l—m,0),进而得切线斜率&=1,故/(x)=x—l+7〃，再根据"1)=2求得〃？，

进而得解析式；

X+1-Y

(2)由(1)g(x)=h，求导得g，(x)=",进而根据导数与极值的关系即可得答案；

](1>

(3)将不等式整理变形得：存在实数X，—e[Le]使2M%)<〃—成立，进而转化为

</z(x)皿，再研究函数〃(x)的单调性得尤e(0,e")时，函数/z(x)为减函数，

xe(e",+oo)时，函数力(x)为增函数，再分0<«<1,三种情况讨论求解即可得答案.解：(1)

令y=ln(x+加)=0解得x=l—m，故点尸(1一机,0),

对函数y=ln(x+/n)求导得y'=―!一,

x+m

所以曲线y=In(x+在点尸处的切线斜率为k=-1一=1,

所以曲线y=ln(x+???)在点尸处的切线方程为：y=x-l+m,即：y=f^x)=x-\+m,

又因为/(1)=2,故加=2,

所以y=/(x)的解析式/(x)=x+L