2020-2021学年高二数学下学期期末测试卷01（人教A版）（理）（全解全析）

期末测试卷01

(本卷满分150分，考试时间120分钟)

测试范围：集合与命题、函数与导数、统计概率、参数方程、不等式选讲

一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是

符合题目要求的.

X

1.已知全集。=/?,集合A={x[——NO},B={x|log2(x+l)<l},那么(QA)DB=()。

x-l

A、(-1,1)

B、(0,1)

C、(0,1]

D、(-oo,l)

【答案】B

【解析】A={x|x40或x>l},Q4=(0，l]，S={X|-1<X<1},(QA)DB=(O,1),故选B。

2.命题“V〃eN+，使得〃2<x”的否定形式是()。

A、Vrte7V+,Hxe/?,使得/Zx

B,V鹿wN+，Vxe/?,使得/wx

C、立”，BxeR,

2

D^BneN+,VxeT?,使得n>x

【答案】D

【解析】命题的否定是条件不变，结论否定，同时存在量词与全称量词要互换,

，其否定是VxwR,使得“2之x”，故选D。

3.函数/。)=/一吐炉的图像大致是()。

【答案】B年J

【解析】构造函数％=/和必=x-e*,则凶=%，1',J

则x=0或画g(x)=x"和〃(x)=e*的图像，r/|>

2I2x

则x4和e”在(-3,3)上有两个解，

其中一个在(-1,0)之间，一个在(1,2)之间，故选B。

4.(4、2一')6的展开式中的常数项是()。

A、\

B、6

C、15

D、20

【答案】C

【解析】。+1=品・(4,)6工(2->为常数项则12—3r=O,r=4,，C；=15,故选C。

5.若函数/(x)=lg(依2-2x+a)的定义域为R,则实数。的取值范围为()。

A、(-1,0)

B、(0,1)

C、［0,1］

D、(l,+oo)

【答案】D

［解析］等价于g(x)=ar2一2x+a>0恒成立,

若a=0,则g(x)=-2x,不可取，

若。工0,则需a>0，A=4-4«2<0,解得a>l,

，〃的范围为(1,+8),故选D。

6.某公司为了调查产品在A、8、C三个城市的营销情况，派甲、乙、丙、丁四人去调研，每人只去一个

城市每个城市必须有人去，且甲乙不能去同一个城市，则不同的派遣方法有()。

A,6种

B、18种

C、24种

D、30种

【答案】D

【解析】4人不同组合方案有：

①若甲、乙各自单独为一组，有国=6种，

②若甲与丙、丁之一为一组，有C；A：=12种，

③若乙与丙、丁之一为一组，有=12利"

故不同的派遣方法有30种，故选D。

7.已知曲线〃幻=33+3/，则曲线/*)在点用(1,〃1))处的切线方程是()。

A、3x-y-2=0

B、3x+y-2=0

C、9x-3y-5=0

D、9x-3y+5=0

【答案】C

【解析】："x)=gx3+x.ei,二〃1)=；><13+］*/-1=3，；.知(1,$,

又f'{x}=Y+e*T+X-e'T,；./((I)=12+e'-'+1xe'-'=3,

44

故曲线/(x)在点M(《)处的切线方程为y-§=3(l),即9%-3丁一5=0,故选C。

8.已知函数/'(x)=x+sinx,且对于任意的xe［2,4］,/(-)</［---7---------］恒成立，则加的取值范

x-\(x-1)(7-x)

围为()。

A、(2,16)

B、(4,36)

C、(36,+oo)

D、(45,+oo)

【答案】D

【解析】/(x)的定义域为R,f(-x)=-f(x),・・・/(x)为奇函数，又了⑴在(0,+8)上单调递增，

/.由/(-)</［----?------］得包<-----7--------在［2,4］恒成立，

X-1*-1)2(7—x)x-1(X-1)2(7-X)

又x-l<0,7-x>0,.*.*+1)。—1)(7-/<加在［2,4］上恒成立；

设g(x)=(x+1)(工-1)(7-x)=-x3+7x2+x-7，

7<2

则g\x)=3X2+14X+1=-3(X--)2+y,

当xe［2,4］时恒g'(x)>0,・・・g(x)为递增函数，

g(x)max=g(4)=45，・,•6>45，综上加的取值范围为(45,+8),故选D。

9.若函数/(x)、g(x)满足巴?"(x>g(x)心=0(m>0),则称/(X)、g(x)为区间［-机，加］上的一组可

积零函数。给出三组函数：①/(x)=sinx、g(x)=2cosx；®f(x)=av+a~x>g(x)=ax-a~x(a>0且

+2xx>0

awl);③/(x)=/、g(x)=,'一，其中为区间［―如网上可积零函数的有().

—x+2,x,x<0

A、0组

B、1组

C、2组

D、3组

【答案】D

【解析】/(x)-g(x)为奇函数时为可积零函数，则①②③均为奇函数，故选D。

10.直线x=t(f>0)与函数/(*)=彳2+1、g(x)=lnx的图像分别交于A、3两点，当|A8|最小时，f为

()。

A.1

2

B

3

C6

2

D、I

【答案】C

【解析】令/i(x)=/(x)-g(x)=x2-inx+l,(x>0),

则〃(x)=2x—工=主二L令〃'(x)=0,解得了=卫，

xx2

当0<x<等时，h'(x)<0,.."(x)在(O,*)上单调单减，

当时，"(x)>0,；"(x)在(立,+oo)上单调单增，

22

.•"(X)在尤=42处取得极小值也是最小值，，版x)W/?(，2)=，-111受+1=3+111夜>0,

22222

则宜线x=，与函数/(x)、g(x)的交点间距离|A8|=/z(x)之打(手)，

当且仅当x=4Z时，A3最小，故选C。

2

11.已知InX]—玉—y+2=0,x2+2y2—4—2In2=0,记M=(再—々了+(M—%)**,则M的最小值为()°

5

【答案】B

【解析】设A(x，必)、B®,当)，点A在函数y=lnx—x+2上，点5在直线x+2y—4—21n2=0上,

M的最小值为函数y=lnx-x+2上的点到

直线x+2y—4—21n2=0的距离的最小值的平方，

函数y=lnx-x+2的导数为y'=工一1,

x

与直线x+2y—4—21n2=0平行的直线的斜率为-g,

令y=_L—l=-_L,解得x=2,切点的坐标为(2,In2),

x2

切点到立线x+2)—4—21n2=0的距离d=12+21n2-4-21n21=2,

Vl2+22V5

,4

:.M=d°=—,故选B。

5

12.对于函数/(x)=耳，下列说法错误的是()。

A、/(幻在x=人处取得极大值

2e

B、/(x)有两个不同的零点

C、/(72)</(V^)</(V3)

IZ?

D、若J(x)<k—在(0,+co)上恒成立，则k>—

x2

【答案】B

【解析】A选项，/(x)=警，定义域为(0,+8)，r(x)J2；nx,令八x)=0,解得x=五，

XX

当0vx<五时，/(工)>0,，函数/(x)在(0,正)匕单调递增，

当x>总时，/'(x)v0,.•・函数/(%)在(石+⑹上单调递减，

...函数在％=及时取得极大值也是最大值/(五)=」-,对，

2e

B选项，0+时/(X)<0,/(l)=0,f(X)max=/(")=《>0，Xf+8时/(X)>0,

函数/(X)有且只有唯一一个零点，错，

C选项，、•当元〉正时/(x)为单调递减函数，，/(五)</(6)，

•.•〃伪=酎1=蚂，/(五)=过=皿，

24兀2兀

”而①扬=等-等=*产

；n2>2\:./(V2)</(«)，即/(V2)</而</(V3)，对,

D选项，；故k>/(x)+二7="匕L由于函数在(0,+8)上恒成立，

X"X"X

”>(手/，设g(M审’定义域为。+如则g'⑶=乌尸’

解得，

令g'(x)=0,x=N0<x<-j=函数单调递增,函数单调递减,

X吐

二g-)max=g(9)=e_"|="|'故%W，对，

故选B。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知函数"r)=-x2+4x+a(xe[0,l]),若/(x)有最小值一2,则f(x)的最大值为。

【答案】1

【解析】：=+4x+a=-(x-2)2+。+4开口向下，对称轴x=2,

.../(X)在[0,1]上单调递增，最小值为/(0)=a=—2,最大值为/⑴=一1+4+。=1。

14.为响应国家脱贫攻坚的号召，某县抽调甲、乙、丙等六名大学生村官到A、3、C三个村子进行扶贫,

每个村子去两人，且甲不去A村，乙和丙不能去同一个村，则不同的安排种数为。

【答案】48

【解析】有三种情况，当甲、乙、丙3人在不同村，且甲不在A村时，有C；-A〉A；=24种安排方法,

当甲和乙在同村且不在A村时，有C；•C；♦C；=12种安排方法，

当甲和丙在同村且不在A村时，有C；•C；•C；=12种安排方法，

故总共有24+12+12=48种安排方式。

15.若函数f(x)=2/+。-2a>|x-a|在区间(-3,1)上不是单调函数，则实数a的取值范围是。

【答案】(一6,2)

4〃、2,5/

3(x----)4------,xNa

3x2-2ax+2a2,x>a24

【解析】f(x)=<

x2+3ax-2a2,x<a/3a、2I7”

(x+—)---------,XCl

24

一3a2

当420时，一3<——<1=>一一<6/<2=>0<t7<2,

23

当a<0时,—3<一<1—-6<Q<2—i>—6<a<0,

2

综上一6<。<2。

16.若关于x的不等式Inx-ax>0有且仅有一个整数解，则实数。的取值范围是。

【答案】0〈”火

2

【解析】设f(x)=Inx-or，定义域为(0,+8),则fr(x)=--a=-——，

xx

当々=0时，不等式为lnx>0,则x>l,不符合只有一个整数解，

当〃<0时，不等式为((外>0,则函数/(x)在(0,+8)上单调递增，

/(1)=0-<2>0,x>l时，/(%)>0,不符合只有一个整数解，

当。>0时，f(x)在(()」)上单调递增，在(L+8)上单调递减，/(x)mix=/(l)=-lna-l>(),

aaa

则e>Q>0,/(l)=0-a<0,/(2)=ln2—2Q>0,解得0<々<等，

11。>e时，f(一)二—In。一l<0,无解，

a

综上所述，0<。<曲2。

2

三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本题满分12分)已知函数〃x)=log；x-31og2X+c(c是常数)。

(1)若当xw［2,8］时，恒有/(x)<0成立，求实数c的取值范围；

(2)若存在瓦€［2,8］时，使得/(无)<0成立，求实数c的取值范围；

(3)若方程/(x)=c-log2X在［2,8］上有唯一实数解，求实数c的取值范围。

39

【解析】(1)令唾2%=1,则g(f)="—3f+c=(-5)2—w+c，当xw[2,8]时,2分

3

gQ)的对称轴为x=］,fw［1,3］时的最大值为g(3)=c<0.

则实数c的取值范围是(-oo,0)；4分

(2)若存在封€［2,8］时,恒有/(与)<0成立，

则存在%e［1,3］时,使得g(幻<0成立,6分

丁是只需rG［1,3］时H勺最小值为g(―)=——+c<0.c<—>

Q

则实数C的取值范围是(-00,力；8分

(3)若方程/(x)=c-log2x在［2,8］上有唯一实数解，

则产-(3+c)r+c=()在［1,3］上有唯一实数解,

故「一（3+ck+c=0在［1,3］上不可能有两个相等的实数解,10分

令〃⑺=»-（3+c）f+c,•.•/?⑴=一2<0,故只需〃（3）=-2-0,解得c40,

二实数c的取值范围是（-oo,0］。12分

18.（本题满分12分）自从开始实施生活垃圾分类，这一举措对改善环境污染起到了积极的作用，但其是

一个需要长期落实的过程，只有坚持落实，才能持续减少对环境的污染。为了解垃圾分类的落实情况，现

某市从人口数量在两万人左右的320个社区中随机抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量（单位:

吨）进行了调查，得到如下频数分布表，并将产生的垃圾量在28吨/天及以上的社区确定为“超标”社区：

垃圾量X[16,18)[18,20)[20,22)[22,24)[24,26)[26,28)[28,30)[30,32)

频数467911643

（以区间中点值作为该组产生的垃圾量）

（1）通过频数分布表估算出这50个社区这一天产生的垃圾量的平均值；

（2）市政府决定从样本中的“超标”社区中选取4个检验分类成果，经统计，垃圾量不超过30吨/天时可回收

率为28%,垃圾量在30吨/天及以上时可回收率为25%。记丫为选取社区回收资源量（单位：吨），求丫的

分布列和数学期望（结果精确到0.01）。

17x4+19x6+21x7+23x9+25x11+27x6+29x4+31x3=23,64,

【解析】（1）根据频数分布表得:

5

...这50个社区这•天产生的垃圾量的平均值为23.64吨；3分

（2）由频数分布表可知，有7个“超标”社区，

其中4个社区一天产生的垃圾量为29吨，回收资源量为29x28%=8.12吨,

3个社区一天产生的垃圾量为31吨，回收资源量为31x25%=7.75吨，5分

y可取32.48、32.11、31.74、31.37,

112

二尸(丫=32.48)=-..,p(y=32.ii)=Qf.

G35C；~35

产(Y=31.74)=Jf_18_4_

——>P(Y=32.37)=0；¥8分

c；3535

y的分布列为:10分

Y32.4832.1131.7431.37

112184

P

35353535

1in124

,£(r)=32.48x—+32.11X—+31.74x—+31.37X—»31.85.12分

35353535

19.（本题满分12分）某社区计划开展一项“猜灯谜，获积分，换礼品”的活动，该活动的规则是①每人至多

参加三次；②参与者前两次每猜对一次，则获得100积分，猜错没有积分；③如果前两次没有都猜对，则参

与者不能参加第三次，如果前两次都猜对，则参与者可以自愿选择是否猜第三个灯谜，第三个灯谜猜对获

得200积分，猜错扣100积分。（每人每次猜一个灯谜）

（1）为了了解喜欢猜灯谜活动是否与性别有关，社区工作人员从该社区的居民中随机抽取50人，得到的数

据如下表。请完善表格，并判断是否有95%的把握认为喜欢猜灯谜活动与性别有关。

喜欢猜灯谜不喜欢猜灯谜合计

男9

女30

合计35

（2）小明准备参加猜灯谜活动，若小明猜对前两个灯谜的概率均为p,猜对第三个灯谜的概率为q,小明

41

在前两次猜灯谜中共获得100积分的概率为1,其中p吗,1）,q

①求p的值;

②小明准备从以下两种方案中选择一种，其中方案一是无论前两次猜灯谜结果如何，均不参与猜第三个灯

谜；方案二是前两次若没有全部猜对，则不参与猬第三个灯谜，前两次若全部猜对，则选择猜第三个灯谜。

若选择方案二所获得的积分的期望值大于选择方案一所获得的积分的期望值的-倍，则q应该满足什么条

q

件？

n{ad-bey,,

参考公式:K2--------------------------------,n=a+b+c-\-a,

(a+b)(a+c)(c+d)(b+d)

临界值表:

Pg>k0)0.1000.0500.0250.0100.0050.001

2.7063.8415.0246.6357.87910.828

【解析】⑴木、全的2x2列联表如下:

喜欢猜灯谜不喜欢猜灯谜合计

男11920

女24630

合计351550

片250x(11X6-24X9)225,

K=-------------------------=—a3.3/1,3分

35x15x30x207

,/3.571<3.841•.没有95%的把握认为喜欢猜灯谜活动与性别有关:4分

(2)①根据题意得—=又pe4,l),p=g

6分

②记选择方案一所获得的积分为x,选择方案二所获得的积分为y,

8分

则丫可取o、loo、400,y的分布列为:

Y0100400

444

P_+_(j)-q

9999

£(y)=0x-+100x[-+-(l-^)J+200x-^^^i^^,10分

99999

>日百z匕一3,800+1200g1400

由题意可知---------->-x——,

9q3

解得q<T；师(不合题意,舍去)或“>二^叵，

故q应该满足的条件是一।市<夕<1。12分

20.(本题满分12分)设函数/(x)=ov/nx,其中aeR,曲线y=/(x)在点(1,/⑴)处的切线经过点(3,2)。

(1)求函数/(x)=ar・ln犬的极值；

(2)证明：/(%)>---»

e'e

【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+8),f'(x)=a-]nx+a,1分

则/⑴=0,(⑴=。，故y=/(x)在(1,/⑴)处的切线方程y=a(x—l),2分

♦.•该切线经过点(3,2),代入得2=。(3-1),解得a=l,3分

/(x)=x-lnx,/'(x)=lnx+l.

当O<X<L时，/(幻<0,函数单调递减，当x>!时，/,(x)>0,函数单调递增，5分

ee

故当X=J时，函数取得极小值/(1)=•!•,无极大值；6分

eee

(2)f(x)>±-2等价于：xlnx---+—>0,

exeexe

由(1)可得/(%)=%♦InxN-，(当且仅当x时等号成立)①，

ee

Ax-lnx-—+,故只要证明二20即可，(需验证等号不同时成立)，9分

exeeexeex

设g*)=4_W，I>。，则

eee

当Ovxvl时，，g'")<0，函数单调递减，当x>l时，g'(x)>0,函数单调递增，

・・・g(x)Ng(l)=O,当且仅当x=l时等号成立②，

Y2

♦.•①②等号不同时成立，，当x>0时，/(%)>-----o12分

exe

21.(本题满分12分)已知函数/。)=0一'+(1-办-

(1)若4=0,求函数/(X)的极值；

(2)若函数/(X)无零点，求实数。的取值范围。

【解析】(1)当a=0时，f{x)=e-x+x,定义域为R,八幻=-二+1=,

e

令广(幻=0,解得x=0,1分

当x<0时，f(x)<0,则/(x)在(—8。)上单调递减，

当x>0时，/'(x)>0,则/(x)在(0,+8)上单调递增，

二/(x)在x=0处取得极小值为/(0)=1,无极大值；3分

(2)f(x)^e-x+(l-a)-x,定义域为R,f'(x)=-e-x+(1-a)=,4分

ex

①当a=l时，/(x)=e~x>0,此时/(x)无零点，符合要求，5分

②当a>l时，_f(x)<0,二/(幻在R上单调递减，

又/(0)=1>0且/(二一)=」一一1<0,.Xx)有唯一一个零点，不符合要求，7分

a-1e

③当a<l时，，令/"(x)=(i)/T=0,则x=—ln(l—a),

ex

当x<-ln(l-a)时,，f\x)<0.则/(x)在(一8,-111(1-4))上单调递减，

当x>—ln(l—a)时，/(x)>0,则/(x)在(一ln(l—a),+oo)上单调递增，9分

二/(幻在x=-ln(l-a)处取得极小值也是最小值，

/(x)min=/(-ln(l-a))=(l-a)[l-ln(l-a)],

若函数f(x)没有零点,则需/•(—，

即(1一。)皿一山(l-a)]>0,解得1一e<a<l,11分

综上所述，若函数/(幻无零点，则实数a的取值范围为(1-e,l]。12分

请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计

分.

22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为■X=-5+fcosf,。为参数)，在以原点。为极点，》轴的

y=3+v2sinr

非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线/的极坐标方程为p-cos@+；)=-V^,A、3两点的极坐标分别

为A(2,T1T)、BQ兀)。

(1)求圆C的普通方程和直线/的直角坐标方程;

(2)点P是圆C上任一点，求APAB面积的最小值。

【解析】⑴由卜=-5+18St化简得：卜+5=fss。消去参数,得Q+5)2+(y_3)2=2,

y=3+V2sinr[y-3=J2