2020-2021学年高一数学下学期期末测试卷（北师大版2019）01（测试范围：必修第二册）（全解全析）

2020-2021学年下学期期末测试卷01

高一数学.全解全析

123456789101112

CDAACACDABDBCBDBC

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.若z产2+i,Z2=3+ai,复数Z1+Z2在复平面内所对应的点在实轴上，则实数a=()

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】C

【解析】zi=2+i,Zz=3+ai(aGR),

z1+z2=(2+i)+(3+ai)=5+(a+l)i,因为zi+z/所对应的点在实轴上，

所以a+l=0,所以a=T.

2.设［与另是两个不共线向量，且向量£+必与一(狂2。)共线，则人()

A.0B.-1C.-2D.-0.5

【答案】D

【解析】依题意知向量£+"与共线，设£+萩=%(2a-b),则有(l-2&)a+(Z+/l历=6,所以

l-2k=0

"+'二°，解得左=-0.5,选D.

1a

3.若cosa=鼻，且ae(0,n),则cos3的值为()

O/

【答案】A

【解析】因为0〈a",所以0〈区〈工，

22

所以仔卢^”.故选文

1(JIJI、

4.函数f(x)=gtan(5x+旬的单调递增区间为()

A.(2k-"I，2k+5),

kez

2k+成,

kez

C.(4k--,4k+。

kez

(34k+。

D.(4k-kez

【答案】A

nnJIJI31

【解析】选A.由。一行「5二+7«"+丁(1<€2)得2k--<x<2k+-(kez).故f(x)的单调递增区间为

乙乙q乙乙乙

2k4,2k+^j(keZ).

5.如图,从某点给单摆一个作用力后，单摆开始来回摆动，它离开平衡位置0的距离s(单位：cm)和时间

s)的函数解析式为s=5sin(2nt+y'j

t(单位:,则单摆摆动时，从最右边到最左边的时间为()

2S1S

A.Ik

11

c

2-sD.4-S

【解析】解析：选C.由题意，知周期T=*，=l(s).单摆从最右边到最左边的时间是半个周期，*S.

6.已知函数f(x)=cos(x—Y^)+sin(x+记)一1,则f(x)()

A.是奇函数

B.是偶函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.既不是奇函数又不是偶函数

【答案】A

是奇函数.故选A.

7.若非零向量满足2|£|二而，且(3£+母，(£-2母,则£与目的夹角为()

兀兀2兀5兀

A.—B.-C.—D.

433~6

【答案】c

【解析】由(3a+b)JL(。-26),W(3a+b)-(a-2b)=0•

^3a-5a-b-2b=0>

设<£>>=，,则3|£|2一5|£|扬cose-21加2=0

又。2|£|=|加，

/.3|a|2-10|a|2cos。-8|£|2=0，

c1

・・cos0——

2

又：owe«7i,

.团里

3

8.已知2tan0-tan(。+兀)=7,则tan。=()

T

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解答】解：由2tan。-tan(0+—)=7,得2tan9-tan9+1^7)

41-tan6

即2tan0-2tan29-tan9-1=7-7tan0,

得2tan20-8tan0+8=0,

即tan29-4tan0+4=0,

即(tan0-2)2=0,

则tan9=2,

故选：D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9.下列命题：

①不全为实数的两个复数不能比较大小；

②若z=a+bi(a,beR),则当且仅当a=0且bNO时,z为纯虚数;

③x+yi=l+i=x=y=L

④实数集是复数集的真子集.

其中正确命题为()

A.①B.②C.③D.@

【答案】ABD

【解析】严格按照复数的有关概念和性质进行判断，可知①②④正确.

10.设m,n是两条不同的直线，a,0,丫是三个不同的平面，给出下列命题：

①若m〃a,n〃B,a〃B,则m〃n;②若a〃丫，6〃丫，则&〃8；③若mJ_a,n_LB,a〃B,则川〃11；④若

a±y,

其中正确命题的序号是（）

A.①B.②C.③D.（4）

【答案】BC

【解析】由m,n是两条不同的直线，a,B,是三个不同的平面，知：

①若m//a,n//B,a//P.则m与n相交、平行或异面，故①不正确；

②若a〃x,B//x,则&〃0,满足平面平行的性质定理，所以②正确；

③m，a,n±B,a//B,则m//n,满足直线与平面垂直的性质定理，所以③正确;

④若a，y,B_LY，则a与B相交或平行，故④错误.

故选：BC.

11.若sina•cosa<0,则a可能在第象限.

A.-B.二C.三D.四

【答案】BD

【解析】由sina•cosa<0,知sina>0且cosa<0或sina<0且cosa>0.

若sina>0且cosa<0,则a在第二象限，若sina<0且cosa>0,则a在第四象限.

故选BD

12.下图是函数y=sin（3x+0）的部分图像，则sin（3x+"）=（）

TTIT

A.sin(x4-—)B.sin(---2x)C.cos(2x+—)D.cos(2----2x)

3366

【答案】BC

【解析】首先利用周期确定3的值，然后确定中的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确

结果.由函数图像可知3=2,4>=2kn号(kdZ),故选BC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.函数y=3tan(n+x),--•的值域为________.

4b

【答案】(-3,木]

【解析】函数y=3tan(“+x)=3tanx,因为正切函数在(一?，看]上是增函数，所以一3<yW/,所以

值域为(-3,小].

14.(一题两空)已知sina—cosa—(0<a<Jt),则sina=；tana=.

【答案】-1

sina—cosa=取,

sin2a+cos2a=1,

{sina>0,

\[2\[2sina

解得sina=~-,cosa=­--,贝I]tana=------=—1.

22cosa

2

15.设i为虚数单位,若复数Z=(m+2m-3)+(m-l)i是纯虚数,则实数m=.

【答案】-3

【解析】因为复数z=(m?+2m-3)+(m-l)i是纯虚数,所以m2+2m-3=0且mTH0,解得m=-3.

故答案为：-3.

16.在△ABC中，0为中线AM上的一个动点，若AM=2,则。4.(OB+OC)的最小值为

【答案】-2

【解析】如图，设A0=x,则°M=2—x,

所以苏.(而+药=OA-2OM=-2-OAOM

-2x(2-x)=2x2-4x=2(x-1)2-2

故当x=l时,OM=mOA+nOB取最小值-2.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)化简下列各式：

/.、sin760°

(1)/—,；

yj1—cos"40°

(2)tana、/—^—1(其中a是第二象限角).

\lsma

■…/、sin7600sin(2X360°+40°)sin40°sin40°

【解析】解：⑴八----------/.-----=7~~^―=-：~7^7

Ml-cos40yjsin40Isln4。sln4。

(2)因为Q是第二象限角，所以sina>0,cosa<0.

sma-cosa

=------•---------=——i

cosasina

答案：*-1

18.(10分)已知函数f(x)=sinx—2y[3sinz~.

⑴求f(求的最小正周期;

"2n-

(2)求f(x)在区间0,—上的最小值.

O

【解析】解：⑴因为f(x)=sinx+yf3cosx-y[i

=2sin(x+§)-

所以f(x)的最小正周期为2Ji.

(2)因为0WxW/，

o

nn

所以JI.

JJ

n

当x+—=n,

o

即x=W时，f(x)取得最小值.

o

所以f(x)在区间o,等上的最小值为

19.(12分)如图，在正三棱柱ABC-ABG中,F,F.分别是AC,AC的中点.

求证：(1)平面ABFi〃平面CiBF.

⑵平面ABE_L平面ACCiAi.

【证明】(1)在正三棱柱ABC-ABG中,

因为F,R分别是AC,AC的中点，

所以AF】〃CE易证得B1F1/7BF.

因为BFEAF尸FbCFCBF书

所以平面ABE〃平面GBF.

(2)在正三棱柱ABC-AiBiCi中,AAiJ_平面ABG,

所以BF」AA】.

易证得BRJ_AC.

因为ACCAA尸Ai,

所以BF」平面ACCA.

因为BEu平面因为,

所以平面ABEJ_平面ACCjAi.

aa\

(1—sina—cosa)sin—+cos—\

20.(12分)化简，(—JI<a<0).

*\J2-2cosa

(aaaVaaA

I2sin2-——2sin-cos-IIsin-4-cos—\

［解析］解:原式-------------△-

a

2X2sin9*~

aaa

万一cossin-+cos—

a

2sin-

因为一n<a<0,

na

所以一］<7<o,

a

所以sin—<0,

a

—sin万cosa

所以原式=~~=cosa.

-sinT

21.（12分）通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y=Asin（3x+6）+b的图象.某

年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14℃；最低温度出现在凌晨2时，最低

温度为零下2℃.

（1）求出该地区该时段的温度函数丫=人$皿（3*+小）+b（A>0,3>0,|。|〈”，xW[0,24））的表达式;

（2）29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10°C,教室就要开空调，请问届时学校后勤

应该开空调吗？

A+b=14,

【解析】解:（1）由题意知

-A+b=-2,

A=8,

解得

b=6,

易知;=14-2,所以T=24,

所以⑴=逐，

易知8sin^—X2+e)+6=—2,

即sin^—X2+6)=—1,

,,Jin

故1^X2+。=—^+2k冗，k£Z,

又I6<n,得"=一(，

(n2n\

所以y=8sin|j^x—F-J+6(x£[0,24)).

⑵当x=9时,

(n2吟

y=8sin|^—X9——J+6

nJI

=8sin—+6<8sin—+6=10.

所以届时学校后勤应该开空调.

22.(14分)已知向量。=(1+5皿2X,5111%一(:0$1)方=(131111+©051)，设函数/(x)=a-b.

(I)求/(x)的最大值及相应的x的值；

(