6.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题[备考方向要明了]考什么怎么考1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.1.考查形式：选择题或填空题．2.命题角度：(1)求目标函数的最大值或最小值，或以最值为载体求其参数的值(范围)，如2012年广东T5，新课标全国T14，山东T5等．(2)利用线性规划方法求解实际问题中的最优方案，如2012年江西T8等．(3)将线性规划问题与其他知识相结合，如向量、不等式、导数等相结合命题，如2012年陕西T14，福建T9等.[归纳·知识整合]1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不包括边界直线．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线．(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平面的点，其坐标适合Ax＋By＋C＞0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合Ax＋By＋C＜0.(3)可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧任取一点，一般取特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的符号来判断Ax＋By＋C>0(或Ax＋By＋C<0)所表示的区域．(4)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．2．线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题[探究]1.点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是什么？提示：(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.2．可行解与最优解有何关系？最优解是否唯一？提示：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解，最优解不一定唯一．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)不等式x－2y＋6<0表示的区域在直线x－2y＋6＝0的()A．右上方 B．右下方C．左上方 D．左下方解析：选C画出图形如图所示，可知该区域在直线x－2y＋6＝0的左上方．2．(教材习题改编)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的()解析：选C(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1≥0，,x＋y－3≤0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1≤0，,x＋y－3≥0.))3．如图所示，阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示的是()A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≥0,x－2y＋2≥0)) B.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≤0,x－2y＋2≤0))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≥0,x－2y＋2≤0)) D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≤0,x－2y＋2≥0))解析：选A两条直线方程为：x＋y－1＝0，x－2y＋2＝0.将点(1,1)代入x＋y－1得1>0，代入x－2y＋2得1>0，即点(1,1)在x－2y＋2≥0的内部，在x＋y－1≥0的内部，故所求二元一次不等式组为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≥0，,x－2y＋2≥0.))4．下列各点中，与点(1,2)位于直线x＋y－1＝0的同一侧的是()A．(0,0) B．(－1,1)C．(－1,3) D．(2，－3)解析：选C当x＝1，y＝2时，x＋y－1＝1＋2－1＝2>0，当x＝－1，y＝3时，x＋y－1＝－1＋3－1＝1>0，故(－1,3)与(1,2)位于直线x＋y－1＝0的同侧．5．(2012·广东高考)已知变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤1，,x－y≤1，,x＋1≥0，))则z＝x＋2y的最小值为()A．3 B．1C．－5 D．－6解析：选C变量x，y满足的不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤1，,x－y≤1，,x＋1≥0))表示的平面区域如图所示，作辅助线l0：x＋2y＝0，并平移到过点A(－1，－2)时，z＝x＋2y达到最小，最小值为－5.二元一次不等式(组)表示的平面区域[例1](2012·福建高考)若直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≤0，,x－2y－3≤0，,x≥m，))则实数m的最大值为()A．－1 B．1C.eq\f(3,2) D．2[自主解答]如图所示：约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≤0，,x－2y－3≤0，,x≥m))表示的可行域如阴影部分所示．当直线x＝m从如图所示的实线位置运动到过A点的位置时，m取最大值．解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3＝0，,y＝2x，))得A点坐标为(1,2)，故m的最大值是1.[答案]B———————————————————二元一次不等式表示的平面区域的画法在平面直角坐标系中，设有直线Ax＋By＋C＝0(B不为0)及点P(x0，y0)，则(1)若B>0，Ax0＋By0＋C>0，则点P在直线的上方，此时不等式Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0的上方的区域．(2)若B>0，Ax0＋By0＋C<0，则点P在直线的下方，此时不等式Ax＋By＋C<0表示直线Ax＋By＋C＝0的下方的区域．(注：若B为负，则可先将其变为正)(3)若是二元一次不等式组，则其平面区域是所有平面区域的公共部分．1．已知关于x，y的不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,x＋y－2≥0，,kx－y＋2≥0))所表示的平面区域的面积为4，则k的值为()A．1 B．－3C．1或－3 D．0解析：选A其中平面区域kx－y＋2≥0是含有坐标原点的半平面．直线kx－y＋2＝0又过定点(0,2)，这样就可以根据平面区域的面积为4，确定一个封闭的区域，作出平面区域即可求解．平面区域如图所示，根据区域面积为4，得A(2,4)，代入直线方程，得k＝1.利用线性规划求最值[例2]变量x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3≤0，,3x＋5y－25≤0，,x≥1，))设z＝4x－3y，求z的最大值．[自主解答]由约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3≤0，,3x＋5y－25≤0，,x≥1，))作出(x，y)的可行域如图所示．由z＝4x－3y，得y＝eq\f(4,3)x－eq\f(z,3).求z＝4x－3y的最大值，相当于求直线y＝eq\f(4,3)x－eq\f(z,3)在y轴上的截距－eq\f(z,3)的最小值．平移直线y＝eq\f(4,3)x知，当直线y＝eq\f(4,3)x－eq\f(z,3)过点B时，－eq\f(z,3)最小，z最大．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3＝0，,3x＋5y－25＝0，))解得B(5,2)．故zmax＝4×5－3×2＝14.保持例题条件不变，如何解决下列问题．(1)设z＝eq\f(y,x)，求z的最小值；(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围．解：(1)∵z＝eq\f(y,x)＝eq\f(y－0,x－0).∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率．观察图形可知zmin＝kOB＝eq\f(2,5).(2)z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,x－4y＋3＝0，))解得C(1,1)．dmin＝|OC|＝eq\r(2)，dmax＝|OB|＝eq\r(29).∴2≤z≤29.———————————————————目标函数最值问题分析(1)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．(2)求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义——在y轴上的截距或其相反数．(3)对目标函数不是一次函数的问题，常考虑目标函数的几何意义，如①eq\r(x2＋y2)表示点(x，y)与原点(0,0)之间的距离；eq\r(x－a2＋y－b2)表示点(x，y)与点(a，b)之间的距离．②eq\f(y,x)表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；eq\f(y－b,x－a)表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求代数问题转化为几何问题．2．已知实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋6≥0，,x＋y≥0，,x≤3，))若z＝ax＋y的最大值为3a＋9，最小值为3a－3，则实数a的取值范围为________．解析：作出x，y满足的可行域，如图中阴影部分所示，则z在点A处取得最大值，在点C处取得最小值，又kBC＝－1，kAB＝1，∴－1≤－a≤1，即－1≤a≤1.答案：[－1,1]线性规划的实际应用[例3](2012·江西高考)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表()年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为()A．50,0 B．30,20C．20,30 D．0,50[自主解答]设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x亩，y亩，总利润为z万元，则目标函数为z＝(0.55×4x－1.2x)＋(0.3×6y－0.9y)＝x＋0.9y.线性约束条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤50，,1.2x＋0.9y≤54，,x≥0，,y≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤50，,4x＋3y≤180，,x≥0，,y≥0.))画出可行域，如图所示．作出直线l0：x＋0.9y＝0，向上平移至过点A时，z取得最大值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝50，,4x＋3y＝180，))解得A(30,20)．[答案]B———————————————————解答线性规划实际问题的一般步骤(1)根据题意设出变量，找出约束条件和目标函数；(2)准确作出可行域，求出最优解；(3)将求解出来的结论反馈到实际问题当中，设计最佳方案．3．A，B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A产品每件利润300元，B产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．解析：设生产A，B两种产品各x件，y件，则x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y≤11，,x＋3y≤9，,x∈N，y∈N，))生产利润为z＝300x＋400y.画出可行域，如图所示，显然目标函数在点A处取得最大值，由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y＝11，,x＋3y＝9，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2，))此时目标函数的最大值是300×3＋400×2＝1700.故最大利润是1700元．答案：17001种方法——确定二元一次不等式所表示的平面区域的方法(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．(2)特殊点定域，即在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．1个步骤——利用线性规划求最值的步骤(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；(4)将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．1个几何意义——线性目标函数最值的几何意义求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)，通过求直线的截距eq\f(z,b)的最值间接求出z的最值，应注意以下两点：(1)若b>0，则截距eq\f(z,b)取最大值时，z也取最大值；截距eq\f(z,b)取最小值时，z也取最小值．(2)若b<0，则截距eq\f(z,b)取最大值时，z取最小值；截距eq\f(z,b)取最小值时，z取最大值．按m＝(a，b)方向平移直线ax＋by＝0，z越来越大.

创新交汇——与线性规划有关的交汇问题1．线性规划问题常与指数函数、对数函数、向量以及解析几何的相关知识交汇命题．2．解决此类问题的思维精髓是“数形结合”，作图要精确，图上操作要规范．[典例](2012·江苏高考)已知正数a，b，c满足：5c－3a≤b≤4c－a，clnb≥a＋clnc，则eq\f(b,a)的取值范围是________．[解析]由条件可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3·\f(a,c)＋\f(b,c)≥5,\f(a,c)＋\f(b,c)≤4，,\f(b,c)≥e\f(a,c)，))令eq\f(a,c)＝x，eq\f(b,c)＝y，则问题转化为约束条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y≥5，,x＋y≤4，,y≥ex，))求目标函数z＝eq\f(b,a)＝eq\f(y,x)的取值范围．作出不等式组所表示的平面区域(如图中阴影部分)，过原点作y＝ex的切线，切线方程为y＝ex，切点P(1，e)在区域内．故当直线y＝zx过点P(1，e)时，zmin＝e；当直线y＝zx过点Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(7,2)))时，zmax＝7，故eq\f(b,a)∈[e,7]．[答案][e,7]eq\a\vs4\al([名师点评])1．本题具有以下创新点(1)命题角度新颖，本题不是直接给出线性约束条件和目标函数求最值，因而需要将所给不等式组进行合理转化后，约束条件才明朗．(2)考查知识点新颖，本题将不等式，对数、指数函数，导数以及曲线的切线问题相交汇，运算求解能力、运用数形结合、分类讨论的思想方法分析与解决问题的能力要求较高．2．解决本题的关键(1)正确将不等式5c－3a≤b≤4c－a，clnb≥a＋clnc进行合理转化，明确约束条件，将其转化为线性规划问题；(2)正确识别eq\f(b,a)的几何意义，将其转化为斜率问题求解．eq\a\vs4\al([变式训练])1．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\r(2)，,y≤2，,x≤\r(2)y))给定，若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(eq\r(2)，1)，则z＝·的最大值为()A．3 B．4C．3eq\r(2) D．4eq\r(2)解析：选B区域D如图所示：设M(x，y)，则z＝·＝(x，y)·(eq\r(2)，1)＝eq\r(2)x＋y.要求目标函数z＝eq\r(2)x＋y的最大值即求直线y＝－eq\r(2)x＋z在y轴上截距的最大值，画l0：y＝－eq\r(2)x，由图知过直线y＝2与直线x＝eq\r(2)的交点M(eq\r(2)，2)时，z取得最大值为zmax＝eq\r(2)×eq\r(2)＋2＝4.2．设不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－11≥0，,3x－y＋3≥0，,5x－3y＋9≤0))表示的平面区域为D.若指数函数y＝ax的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是()A．(1,3] B．[2,3]C．(1,2] D．[3，＋∞)解析：选A平面区域D如图所示．要使指数函数y＝ax的图象上存在区域D上的点，所以1＜a≤3.3．(2012·陕西高考)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx，x>0，,－2x－1，x≤0，))D是由x轴和曲线y＝f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则z＝x－2y在D上的最大值为______________．解析：当x>0时，求导得f′(x)＝eq\f(1,x)，所以曲线在点(1,0)处的切线的斜率k＝1，切线方程为y＝x－1，画图可知区域D为三角形，三个顶点的坐标分别为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))，(0，－1)，(1,0)，平移直线x－2y＝0，可知在点(0，－1)处z取得最大值2.答案：2一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋3y≥4，,3x＋y≤4))所表示的平面区域的面积等于()A.eq\f(3,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(4,3) D.eq\f(3,4)解析：选C平面区域如图．解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y＝4，,3x＋y＝4，))得A(1,1)，易得B(0,4)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))，∵|BC|＝4－eq\f(4,3)＝eq\f(8,3).∴S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(8,3)×1＝eq\f(4,3).2．在平面直角坐标系xOy中，满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x|≤|y|，,|x|<1))的点(x，y)的集合用阴影表示为下列图中的()解析：选C|x|＝|y|把平面分成四部分，|x|≤|y|表示含y轴的两个区域；|x|<1表示x＝±1所夹含y轴的带状区域．3．(2012·天津高考)设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－2≥0，,x－2y＋4≥0，,x－1≤0，))则目标函数z＝3x－2y的最小值为()A．－5 B．－4C．－2 D．3解析：选B不等式表示的平面区域是如图所示的阴影部分，作辅助线l0：3x－2y＝0，结合图形可知，当直线3x－2y＝z平移到过点(0,2)时，z＝3x－2y的值最小，最小值为－4.4．若实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≤0，,x>0，,y≤2，))则eq\f(y,x)的取值范围是()A．(0,2) B．(0,2]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)解析：选D画出线性约束条件的可行域(如图)．eq\f(y,x)的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0，,y＝2，))得A(1,2)，故k≥kOA＝2.∴eq\f(y,x)≥2.5．(2012·辽宁高考)设变量x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≤10，,0≤x＋y≤20，,0≤y≤15，))则2x＋3y的最大值为()A．20 B．35C．45 D．55解析：选D作出不等式组对应的平面区域(如图所示)，平移直线y＝－eq\f(2,3)x，易知直线经过可行域上的点A(5,15)时，2x＋3y取得最大值55.6．(2013·衡水模拟)点P(2，t)在不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－4≤0，,x＋y－3≤0，))表示的平面区域内，则点P(2，t)到直线3x＋4y＋10＝0距离的最大值为()A．2 B．4C．6 D．8解析：选B画出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分所示)．结合图形可知，点A到直线3x＋4y＋10＝0的距离最大．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,x＋y－3＝0))得A点坐标为(2,1)，故所求最大距离为dmax＝eq\f(|3×2＋4×1＋10|,\r(32＋42))＝4.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为________．解析：根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)<0，即(a＋7)(a－24)<0，解得－7<a<24.答案：(－7,24)8．(2013·濮阳模拟)已知点A(2,0)，点P的坐标(x，y)满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3≤0，,3x＋5y≤25，,x－1≥0，))则||·cos∠AOP(O为坐标原点)的最大值是________．解析：||·cos∠AOP即为在上的投影，即求不等式组所表示的可行域中点的横坐标的最大值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3＝0，,3x＋5y＝25，))可得交点的坐标为(5,2)，此时||·cos∠AOP取值最大，∴||·cos∠AOP的最大值为5.答案：59．某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．解析：设租赁甲设备x台，乙设备y台，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋6y≥50，,10x＋20y≥140，,x∈N*，,y∈N*，))设租赁费用为w，w＝200x＋300y.约束条件构成的平面区域如图：解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋6y＝50，,10x＋20y＝140，))得A(4,5)．∴wmin＝200×4＋300×5＝2300.答案：2300三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．(2013·合肥模拟)画出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x＋y≥0，,x≤3))表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x，y的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？解：(1)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及其右下方的点的集合，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及其右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及其左方的点的集合．所以，不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x＋y≥0，,x≤3))表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，3))，y∈[－3,8]．(2)由图形及不等式组知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x≤y≤x＋5，,－\f(5,2)≤x≤3，且x∈Z，))当x＝3时，－3≤y≤8，有12个整点；当x＝2时，－2≤y≤7，有10个整点；当x＝1时，－1≤y≤6，有8个整点；当x＝0时，0≤y≤5，有6个整点；当x＝－1时，1≤y≤4，有4个整点；当x＝－2时，2≤y≤3，有2个整点；∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．11．设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x＋y≥0，,x≤3，))求z＝(x＋1)2＋y2的最大值．解：作出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x＋y≥0，,x≤3))表示的平面区域，如图中阴影部分所示．(x＋1)2＋y2可看作点(x，y)到点P(－1,0)的距离的平方，由图象可知可行域内的点A到点P(－1,0)的距离最大．解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,x－y＋5＝0，))得A点的坐标为(3,8)，代入z＝(x＋1)2＋y2，得zmax＝(3＋1)2＋82＝80.12．(2013·黄山模拟)若x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥1，,x－y≥－1，,2x－y≤2，))(1)求目标函数z＝eq\f(1,2)x－y＋eq\f(1,2)的最值．(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围．解：(1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1