6.一次函数与反比例函数

PAGE1第六讲：一次函数与反比例函数考点一：平面直角坐标系1．坐标平面内点的坐标特征：(1)各象限内点的坐标的符号特征：若点P（x，y）在第一象限，则_______；若点P(x，y)在第二象限，则_______；若点P(x，y)在第三象限，则_______；若点P(x，y)在第四象限，则_______(2)若点P(x，y)在x轴上，即满足纵坐标为0，则点P(_______，_______)；若点P（x，y）在y轴上，即满足横坐标为0，则点P(_______，_______)．2．对称点的坐标特征：点P(x，y)关于x轴的对称点是P1（_______，_______）；关于y轴的对称点是P2(_______，_______)；关于原点的对称点是P3(_______，_______)．3．坐标平面内的距离：点P(x，y)到x轴的距离是_______；到y轴的距离是_______；到原点的距离是_______．【例1】（2014·张家界）已知点关于y轴对称，则=．【举一反三】1.(2014·来宾)将点P（﹣2，3）向右平移3个单位得到点P1，点P2与点P1关于原点对称，则P2的坐标是（） A． （﹣5，﹣3） B． （1，﹣3） C． （﹣1，﹣3） D． （5，﹣3）2.点P（－2，－4）到x轴的距离是，到y轴的距离是，到原点的距离是.3.（2012．扬州）在平面直角坐标系中，点P（m，m－2）在第一象限内，则m的取值范围是_______．考点二：一次函数与正比例函数图像1．一次函数的图象(1)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,k)，0))的一条直线．(2)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是经过点(0,0)和(1，k)的一条直线．2．一次函数图象的性质一次函数当b=0时，一次函数为正比例函数，符号图象经过象限性质随的增大而增大随的增大而减小【例2】（2014·阜新）对于一次函数，下列叙述正确的是()A．当时，函数图象经过第一、二、三象限B．当时，随的增大而减小C．当时，函数图象一定交于轴的负半轴D．函数图象一定经过点【例3】已知关于x的一次函数y＝kx＋4k－2(k≠0)．若其图象经过原点，则k＝__________；若y随x的增大而减小，则k的取值范围是__________．【举一反三】1.(2014四川省攀枝花市)当kb＜0时，一次函数y=kx+b的图象一定经过（） A． 第一、三象限 B． 第一、四象限 C． 第二、三象限 D． 第二、四象限2.已知一次函数y＝mx＋n－2的图象如图所示，则m，n的取值范围是()A．m＞0，n＜2B．m＞0，n＞2C．m＜0，n＜2D．m＜0，n＞2(2012株洲)一次函数y＝x＋2的图象不经过第__________象限．考点三：确定一次函数的解析式（待定系数法）因为在一次函数y＝kx＋b(k≠0)中有两个未知数k和b，所以，要确定其关系式，一般需要两个条件，常见的是已知两点坐标P1(a1，b1)，P2(a2，b2)代入得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＝a1k＋b，,b2＝a2k＋b，))求出k，b的值即可，这种方法叫做__________．【例4】(2012山东菏泽)如图，一次函数y＝－eq\f(2,3)x＋2的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°，求过B，C两点直线的解析式．【举一反三】1.(2012上海)某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y(万元/吨)与生产数量x(吨)的函数关系式如图所示．y关于x的函数解析式是2.一辆汽车在行驶过程中，路程y(km)与时间x(h)之间的函数关系如图所示，当0≤x≤1时，y关于x的函数解析式为y＝60x，那么当1≤x≤2时，y关于x的函数解析式为__________．3.如图已知一次函数y＝kx＋b的图象经过A(－2，－1)，B(1,3)两点，该一次函数的解析式是；（2014•自贡）一次函数y=kx+b，当1≤x≤4时，3≤y≤6，则kb的值是．考点四：一次函数与方程、方程组及不等式的关系1．y＝kx＋b与kx＋b＝0直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标是方程kx＋b＝0的解，方程kx＋b＝0的解是直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标．2．y＝kx＋b与不等式kx＋b＞0从函数值的角度看，不等式kx＋b＞0的解集为使函数值大于零(即kx＋b＞0)的x的取值范围；从图象的角度看，由于一次函数的图象在x轴上方时，y＞0，因此kx＋b＞0的解集为一次函数在x轴上方的图象所对应的x的取值范围．3．一次函数与方程组两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成的二元一次方程组的解；以二元一次方程组的解为坐标的点是两个二元一次方程所对应的一次函数图象的交点．【例5】已知：一次函数y＝kx＋b的图象经过M(0,2)，N(1,3)两点．(1)求k，b的值；(2)若一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点为A(a,0)，求a的值．【例6】如图，已知函数y＝ax＋b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得二元一次方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝ax＋b，,y＝kx))的解是__________．【例7】（2014•毕节）如图函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x≥ax+4的解集为（）A．x≥B．x≤3C．x≤D．x≥3【举一反三】1.（2014•邵阳）已知点M（1，a）和点N（2，b）是一次函数y=﹣2x+1图象上的两点，则a与b的大小关系是（）A．a＞bB．a=bC．a＜bD．以上都不对2.如图所示，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点坐标为(2,0)，则下列说法：①y随x的增大而减小；②b＞0；③关于x的方程kx＋b＝0的解为x＝2.其中说法正确的有__________(把你认为说法正确的序号都填上)．3.（2013娄底）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（）A．x＜0B．x＞0C．x＜2D．x＞2考点五：反比例函数定义反比例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成(k为常数，k≠0）的形式（或y=kx-1，k≠0），那么称y是x的反比例函数．【例8】（2014•株洲）已知反比例函数图象经过点（2，3），那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（）A．（﹣6，1）B．（1，6）C．（2，﹣3）D．（3，﹣2）【举一反三】1.（2014•扬州）若反比例函数y=（k≠0）的图象经过点P（﹣2，3），则该函数的图象的点是（）A．（3，﹣2）B．（1，﹣6）C．（﹣1，6）D．（﹣1，﹣6）（2014•邵阳）若反比例函数的图象经过点（﹣1，2），则k的值是3.下列函数中，是反比例函数的为（）A.；B.；C.；D.考点六：反比例函数图像性质①当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左到右下降，也就是在每个象限内，y随x的增加而减小；②当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右上升，也就是在每个象限内，y随x的增加而增大．【例9】(2014·安顺)如果点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是（）A． y1＜y3＜y2 B． y2＜y1＜y3C．y1＜y2＜y3 D． y3＜y2＜y1【举一反三】1.（2014·常州）已知反比例函数的图像经过P（－1，2），则这个函数的图像位于【】A.第二，三象限B.第一，三象限C.第三，四象限D.第二，四象限2.（2014•新疆）若点A（1，y1）和点B（2，y2）在反比例函数y=图象上，则y1与y2的大小关系是：y1y23.在同一直角坐标系中，函数y=kx+1与y=﹣（k≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．考点七：反比例函数几何性质反比例函数图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形PMON的面积S=PM·PN=。【例10】（2014•济宁）如图，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y=的图象上，OA=1，OC=6，则正方形ADEF的边长为．【例11】如图，双曲线y=（k＞0）经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D．若梯形ODBC的面积为3，则k=________．【例12】如图，反比例函数y=（x＞0）的图象交Rt△OAB的斜边OA于点D，交直角边AB于点C，点B在x轴上．若△OAC的面积为5，AD：OD=1：2，则k的值为．【举一反三】1.反比例函数y1=、y2=（k≠0）在第一象限的图象如图，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C．若S△AOB=1，则k=_________．2.如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为3，则k值是.3.如图，A、B两点在双曲线y=上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2=.考点八：一次函数与反比例综合【例13】(2014·聊城市)如图，一次函数y1=k1x+b的图象和反比例函数y2=的图象交于A（1，2），B（﹣2，﹣1）两点，若y1＜y2，则x的取值范围是（）A． x＜1 B． x＜﹣2 C．﹣2＜x＜0或x＞1 D． x＜﹣2或0＜x＜1【例14】（2014·宜宾）如图，一次函数y=﹣x+2的图象与反比例函数y=﹣的图象交于A、B两点，与x轴交于D点，且C、D两点关于y轴对称．（1）求A、B两点的坐标；（2）求△ABC的面积．【举一反三】1.如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点；（1）求反比例函数和一次函数的解析式；2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；（3）求不等式的解集（请直接写出答案）．已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于A、B两点，连结AO。（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）设点C在y轴上，且与点A、O构成等腰三角形，请直接写出点C的坐标。3.反比例函数y1=和正比例函数y2=mx的图象如图，根据图象可以得到满足y1＜y2的x的取值范围是（）A． x＞1 B． 0＜x＜1或x＜﹣1 C． ﹣1＜x＜0或x＞1 D． x＞2或x＜1课后作业1.(2013浙江湖州)若正比例函数的图像经过点（1，2），则的值为（）A．－B．－2C．D．22.（2013四川南充）如图，函数与的图象相交于点A（1,2）和点B．当时，自变量的取值范围是（）A．B．C．或D．或3.(2013湖北荆门)若反比例函数y=的图象过点(－2，1)，则一次函数y=kx－k的图象过()A．第一、二、四象限B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限D．第一、二、三象限4.（2013深圳）已知二次函数的图像如图2所示，则一次函数的大致图像可（）图2ABC图2ABCD5.（2013四川泸）函数自变量取值范围是（）A．且B．C．D．且6.（2013株洲)已知点A（1，）、B（2，）、C（－3，）都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（）A.B.