第一章第二、三节(利息基本计算、实例分析)

利率与贴现率的关系：利息力函数与累积函数：知识回顾:i(m)名利率与实利率的关系：d(m)名贴利率与实利率的关系：利息理论——利息基本计算Suyou教学目的：通过本节的学习，使学生会用时间图建立价值方程，从而求出原始投资的本金、投资时期的长度、利率或本金在投资期末的积累值。教学方法：多媒体演示与黑板板书相结合2023/9/2034ContentsOneTwoThreeFour价值方程等时间法利率计算Five时间单位的确定实例分析§1.2利息基本计算一个利息问题包含四个基本的量：1.原始投资的本金2.投资经过的时间3.利率期初/期末计息：贴现率/利率计息方式：单利/复利利息结转频率：实际利率、名义利率、利息力4.本金在投资期末的累积值其中任何三个量的值都可以决定第四个量的值.

精确利息计算(exactsimpleorcompoundinterest)“实际投资天数/年实际天数”(Actual/Actual)

按实际的投资天数计算，一年为365天

普通利息计算(Ordinarysimple/compoundinterest)，一般用“30/360”

假设每月有30天，一年为360天

这时，两个给定日期之间的天数的计算公式为

360(Y2-Y1)+30(M2-M1)+(D2-D1)

其中，Y2、M2、D2分别代表支取日的年、月、日，而

Y1、M1、D1、则分别代表存入日的年、月、日。1.2.1时间单位的确定（非整数时间问题）例：存入日：1999年3月11日支取日：2000年6月20日存期天数=360（2000–1999）+30（6-3）+（20-11）

=360+90+9=459存期天数=360(2000-1999)+30(3-6)+(11-20)=360(1999-1999)+30(12+2-6)+(30+11-20)=0+240+21=261注：大月日历日30日与31日被视为同一天；二月当月存入、当月取出的，按照实际存款天数计算，跨月存入、取出的，则按照30天计算。例：存入日：1999年6月20日支取日：2000年3月11日银行家利息法则(Banker'sRule)“实际投资天数/360”按实际的投资天数计算，但一年设为360天说明：显然，该算法比上两种算法对贷款方有利。注：（1）除非特别说明，总是假定起息日与到期日不能同时计入利息计算期；（2）不是所有的利息计算都需要计算天数(如银行储蓄、债券交易会涉及投资天数的计算），许多金融业务是自动依月、季、半年或一年进行的。问题：多笔金融业务发生在不同时刻，如何比较它们的价值？在考虑利息问题时，在不同时刻支付的金额是不能直接比较的。因为经历的时间不同，资金金额的变化也不同，也就说，货币具有时间性，这就是所谓的“货币的时间价值”（timevalueofvalue）。1.2.2价值方程为了比较在不同时刻支付的金额，实际的做法是将各个不同时刻的付款积累或折现到同一时刻，再进行比较。这里提及的“同一时刻”常称为

“比较日”（comparisondate）。比较日通过“一维时间图”表示：时间沿一维正方向度量，付款则置于图的上部，而沿另一个方向的付款则在图的下部。比较期用一个箭头表示。012345678910100200500x比较日的选择：期初和期末是两个特殊的比较日。其它中间时刻也可以作为比较日。复利计算，最终计算结果与比较日的选取无关。“收支相等”原则一般地，要衡量在多个时刻付款的总价值时，总是先选取一个比较日期，然后分别将各次付款积累或折现到比较日期，将调整到比较日的计算结果按照收支相等的原则列出的等式叫做“价值等式”，也称为“价值方程”。012345678910100200500x每个度量期计息一次解价值方程的有力工具------时间流程图上图表示某人先取得(借贷)500元，按分期付款偿还.第一、二、三时期末各付100元，第四时期末需付多少？符号表示比较日期。时间流程图：用一条直线表示时间（从左到右），上面的刻度为事先给定的时间单位，发生的现金流量写在对应时间的上方或下方（一般同一流向的现金流写在同一方）。例2：

某人愿意立即支付100元，第5年末支付200元，第10年末再支付X元。作为回报，他在第8年末得到600元。假定半年结算一次的年名义利率为8％。请计算第10年末他应该支付多少？解法一：时间单位＝半年。取期初为比较日。则半年的实际利率为4％，贴现因子为，价值方程为X012345678910100200600解得解法二：时间单位＝半年。半年的实际利率为j=4%,取期末为比较日，则价值方程为X012345678910100200600解法三：时间单位＝半年。我们取第5年末为比较日。价值方程为可以看出，不同比较日的计算结果相同，X=186.76。X0123456789101002006001.2.3未知时间问题(unknowntime)一、一次付款的未知时间问题（主要采用对数法）。例3：以每月计息的年名义利率12%投资1万元，若欲累计到1.5万元，需要几年时间？解：设要n年，则价值方程为因此：需要n=3.4年

假设有两种投资方式方式一：分别于投入；方式二：在时刻t一次投入元。若这两种的投资价值相等，求时刻t。……t1t2t3tn……s1s2s3snt二、多次付款的未知时间问题。

不同时刻多次付款，而要求数值上等于这些付款之和的一次付款未知时间。（等时间法）解法一（精确解）：两者在时刻0的价值相等的价值方程为得精确解为

解法二（等时间法）：作为近似，t常用各个付款时间的加权平均来计算，20例4：预定在第一、三、五、八年末分别付款200元、400元、300元、600元，假设年实际利率为5%，试确定一个付款1500元的时刻使这次付款与上面四次付款等价。1）用等时间法；2）用精确方法。解：2）价值方程为1）t=4.96年在现实中经常会遇到利率给定的情况下，一笔投资要多长时间才能翻倍。设利率为i，投资额为1，积累值为2，则：三、“72”算法

即当i在8%左右时，有近似公式：

称此式为72算法。72“定律”是一个著名的规律，一方面因为它的简单易用，另一方面则是因为它在一个很大的利率范围内会产生较准确的结果。下表中列出了一些数据。年利率%72定律（年）准确值（年）41817.67514.414.2161211.9710.2910.24899.01107.27.271266.121844.19使存款翻倍的时间长度一、用带有指数和对数函数的计算器求i。例5：投资1000元，在6年后累积到1600元，问每季度计息的年名义利率为多少？每季度计息的年名义利率为7.91%。1.2.4利率的计算解：价值方程为二、用代数法求解价值方程中的i(一般用于n值较小的情形)。例6：某人在第2年末支付2000元的现值与第4年末支付3000元的现值之和为4000元，问实际利率是多少？解：价值方程为实际利率为0.0730

%。三、线性插值法。对于积累函数的计算公式：令线性插值方法如下：fi线性插值示意图未知利率可用如下公式计算：例7：某人现投资1000元，3年后再投资2000元，若10年后积累到5000元，求1年计息2次的名义利率？解：设j=i(2)/2,由题意知价值方程为：令则所求的实际利率即为f(j)=0的解,由试凑法得：利用线性插值可得j的近似值为故可得i(2)=2j=0.0642或6.42%。迭代法指通过多次线性插值求得数值结果的方法，其结果能达到所需要的精度。以具体例题来说明。四、迭代法例8：用迭代法重做上例题目，精度到小数点6位。解：由题可知：j的第一次近似值j1=0.0321，f(0.0321)=-3.6930，由于f(j)单调递增，试算：f(0.0322)=1.7590介于2点间再用一次线性插值法得：j2=0.03218f(0.03218)=0.18346，而f(0.03217)=-0.60402介于2点间再用一次线性插值法得：j3=0.032178故可得i(2)=2j=0.064356。一般说，银行的公布利率都是有着指定含义的。例如：经常有这种表示“一年定期存单为利率7.91%/收益率8.15%”或“资金拆借市场为利率8.00%/收益率8.30%”。它们的实际含义是：前面的数字是名利率，后面的数字是实利率。在第一种情况下，意味着：i(4)=7.91%或

i=8.15%；在第二种情况下，意味着：i(12)=8.00%或i=8.30%。但是，注意两种情况都没有指明结算次数，所以，必须了解实际背景。金融现象——挂牌利率例9.2012年7月8日中国人民银行公布的金融机构人民币定期存款利率如表右表所示，表中的利率水平是单利方式，计算各种期限的年实利率。3个月：1+i=（1+

2.85%/

4）4半年：1+i=（1+

3.05%/

4）2

解:项目年利率(%)整存整取3个月2.85半年3.051年3.252年3.753年4.255年4.752年：（1+i）2=1+3.75%×23年：（1+i）3=1+4.25%×35年：（1+i）5=1+4.25%×5

1年：i=3.25%

金融现象——计息天数在实际计算中，银行在计算利息的天时，常用一些灵活的算法。例如：银行公布“日换算挂牌利率为6%，收益率为6.27%”。这时，无论用一年360天还是365天都只能得到6.18%的年收益率。即：那么，银行公布的数字是如何计算的呢？实际上，银行的数字是由下面的算法得到的：金融现象——利率与贴现率在现实的金融市场中，人们常常将各种收益率简称为利息率，但它们的含义会有所不同。以美国的市场为例，在短期债券中以美国财政部（UnitedStatesTreasury）发行的短期国库券“T－bills”（TreasuryBill）为主，期限通常为三个月（13周）、六个月（26周）和十二个月（52周）。三月期和六月期的每星期一发行，十二月期的每月第四个星期发行。它们的利息通常是用贴现率表示的。例，面额为100元的三月期国库券发行时买96元，或公布贴现率为16%，而实际的年利率为17.74%。长期的国库券在发行时则是依年利率表示它们的利息收入。因此，这两者的表面的利率是不能直接比较的，必须统一为同一种度量。金融现象——信用卡信用卡上的利息通常是在每个月的月底依照卡上的结余（balance）计算的。所以，每个月中间的欠款是不用付利息的，也就是说，如果持卡人在每个月内能够完全付清卡上的欠款，实际上享受着短期无息贷款。另一方面，对于那些每月都有未决欠款的用户，将付出很高的利息。在许多定期存款业务中，都考虑了提前支取的处罚。例如，两年定期存款的年