空间向量及其运算的坐标表示原卷板

【考点梳理】考点一：空间直角坐标系1．空间直角坐标系及相关概念(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(i，j，k))，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.(2)相关概念：O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．2．右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．考点二：空间一点的坐标在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且点A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量eq\o(OA,\s\up6(→))对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．考点三：空间向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．考点四：空间向量的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有向量运算向量表示坐标表示加法a＋ba＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)减法a－ba－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘λaλa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R数量积a·ba·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3考点五：空间向量的平行、垂直及模、夹角设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))；cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).考点六：空间两点间的距离公式设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).【题型归纳】题型一：空间向量的正交分解问题1．（2024秋·高二课时练习）已知向量a,b,c是空间的一个基底，向量a+b,a-b,c是空间的另一个基底，一向量A．-12,32,32．（2023·全国·高二专题练习）在空间直角坐标系中，已知A0,1,0，B3,2,2，点D满足AD=2AB，则点A．5,4,3 B．3,4,3C．6,3,4 D．1,2,33．（2022秋·安徽安庆·高二校考阶段练习）已知空间三点O0,0,0，A-1,1,0，B0,1,1，在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为(A．12,-12,0 B．题型二：空间向量的坐标运算问题4．（2023春·四川内江·高二四川省资中县第二中学校考期中）已知A(1,2,-1)，B为A关于平面xOy的对称点，C为B关于y轴的对称点，则BC=（

A．(-2,0,-2) B．(2,0,2) C．(-1,0,-1) D．(0,-2,-2)5．（2023春·福建莆田·高二校考期中）已知向量a=(1,-2,1),a+b=(-1,2,-1),A．(2,-4,2) B．(-2,4,-2)C．(-2,0,-2) D．(2,1,-3)6．（2023·全国·高二专题练习）已知点A2,4,0、B1,3,3，且满足2AQ=QB，则QA．113,53,1 B．题型三：空间向量的模长的坐标问题7．（2023秋·高二课时练习）已知空间向量a=2,-2,1,b=A．1093,0,4C．1092,-2,18．（2023春·福建漳州·高二统考期末）已知空间向量a=1,-3,2,b=1,1,t，若A．5 B．17 C．26 D．149．（2023秋·高二课时练习）在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB=2，E在棱PD上，F在直线CE上，则AF的最小值是（

）A．433 B．463题型四：空间向量的平行的坐标表示问题10．（2023春·云南保山·高二统考期中）已知两个向量a=2,-1,2，b=6,m,n，且a∥A．1 B．3 C．5 D．911．（2022秋·北京东城·高二东直门中学校考期中）已知向量a=x,2,4,b=A．-1 B．-3 C．-15212．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐101中学校考期末）设x、y∈R，向量a=x,1,1，b=1,y,1，c=3,-6,3且a⊥A．22 B．23 C．4题型五：空间向量的垂直的坐标表示问题13．（2023·上海·高二专题练习）空间中有四点A，B，C，D，其中AB=(2m,m,2)，CD=(m,m+1,-5)，且AB+CD=A．平行 B．异面 C．必定相交 D．必定垂直14．（2023·全国·高二专题练习）在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E,F分别在棱AAA．14 B．12 C．15．（2023春·广西梧州·高二苍梧中学校考阶段练习）设x，y，z∈R，向量a=(x，1，1)，b=1，y，z，A．57 B．36 C．3 D．9题型六：空间向量的夹角余弦的坐标问题16．（2023春·福建厦门·高二统考期末）把正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，O，E，F分别为AC，AD，BC的中点，则折纸后∠EOF的大小为（

）A．60° B．90° C．120° D．150°17．（2023秋·全国·高二期中）设空间两个单位向量OA=m,n,0,OB=0,n,p与向量OC=A．π6 B．π4 C．π18．（2023秋·高二单元测试）设空间两个单位向量OA=m,n,0,OB=0,n,p与向量OC=A．2-34C．2-34或2+34题型七：空间向量的坐标运算的综合问题19．（2023秋·福建三明·高二三明一中）已知a=3,2,-1，(1)求a+(2)当ka+b20．（2024秋·高二课时练习）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F，G分别为AB，SC，SD的中点．若AB=a，SD=b．(1)求EF；(2)求cosAG21．（2023·全国·高二专题练习）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1(1)试建立空间直角坐标系，并写出点D，G的坐标；(2)求∠DGF的余弦值．【双基达标】一、单选题22．（2024秋·高二课前预习）已知向量a=(1,2,3),b=(-1,0,1)，则aA．(-1,2,5) B．(-1,4,5) C．(1,2,5) D．(1,4,5)23．（2023秋·高二课时练习）若向量a=2,2,3,b=A．5 B．8C．10 D．1224．（2023秋·高二课时练习）已知直线l1的一个方向向量a=2,4,x，直线l2的一个方向向量b=2,y,2，若a=6A．3或1 B．3或-1C．3 D．125．（2023秋·高二单元测试）已知a=cosa,1,sina，b=sina,1,cosa，且A．90° B．60° C．30° D．0°26．（2023·全国·高二专题练习）如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB//CD，AB⊥AD，AA1=AB=2AD=2CD=4(1)求线段FG的长度；(2)求CG⋅27．（2023·全国·高二专题练习）已知空间三点A(-2,0,2)，B(-1,1,2)，C(-3,0,4)，设a=AB，(1)设|c|=3，c?(2)求a与b的夹角；(3)若ka+b与k【高分突破】一：单选题28．（2023春·福建福州·高二校考期末）已知点A1,2,1，B4,11,4，D1,2,1，若点P满足AP=2PBA．11 B．57 C．211 D．29．（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考期末）已知向量OA=(2,-2,3)，向量OB=(x,1-y,4z)，且平行四边形OACB对角线的中点坐标为0,32,-A．(-2,-4,-1) B．(-2,-4,1)C．(-2,4,-1) D．(2,-4,-1)30．（2023·全国·高二专题练习）已知向量m=2,-4x,1是平面α的法向量，n=6,12,-3y是直线l的方向向量，若l⊥α，则A．-4 B．4 C．-2 D．231．（2022秋·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在BD上，点A．1 B．22 C．3332．（2023秋·湖南湘潭·高二校联考期末）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．如图，在堑堵ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=1A．32 B．1 C．3433．（2023·全国·高二专题练习）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM=BN=a，其中0<a<22．则MN的长的最小值为（

A．2 B．22 C．32二、多选题34．（2023春·福建泉州·高二校联考阶段练习）空间直角坐标系中，已知O0,0,0，OA=-1,2,1，OB=-1,2,-1A．ABB．AC与BC夹角余弦值为35C．与OA平行的单位向量的坐标为66,-D．OA在OB方向上的投影向量的坐标为-35．（2023春·浙江·高二浙江省开化中学校联考期中）空间直角坐标系中，已知O0,0,0，OA=-1,2,1，OB=-1,2,-1A．ABB．△ABC是等腰直角三角形C．与OA平行的单位向量的坐标为66,-D．OA在OB方向上的投影向量的坐标为-36．（2023秋·江西抚州·高二统考期末）如图，矩形ADFE、矩形CDFG、正方形ABCD两两垂直，且AB=2，若线段DE上存在点P，使得GP⊥BP，则边CG长度的可能值为（

）A．2 B．22 C．4 D．37．（2022秋·广东佛山·高二佛山市高明区第一中学校考阶段练习）长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，AD=AB=1，点A．A1M⊥MN B．MDC．△BNC面积的最大值为116 D．三棱锥C三、填空题38．（2023春·甘肃白银·高二校考期中）已知a=1,1,0，b=-1,0,2，若向量ka+39．（2023秋·全国·高二期中）已知a=-3,2,5，b=1,5,-1，则40．（2023春·江苏南通·高二统考期中）已知正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E141．（2023秋·辽宁葫芦岛·高二校考开学考试）已知向量m=a,b,0，n=①向量n与z轴正方向的夹角恒为定值(即与c，d无关)；②m?n的最大值为③m,n(m,④若定义u×v=u·其中正确的命题有．(写出所有正确命题的序号)四、解答题42．（2024秋·高二课时练习）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA(1)求M,N的距离；(2)求cosB43．（2022秋·甘肃·高二校联考期中）（1）求与向量a=(2,-1,2)共线且满足方程a⋅b（2）已知A(2,-1,2)，B(4,5,-1)，C(-2,2,3)，求点P的坐标使得AP=（3）已知a=(3,5,-4)，b=(2,1,8)