笛卡尔之梦与中国数学

笛卡尔之梦与中国数学第一页，共50页。希尔伯特纲领梦想的破灭梦想与悖论第一页第二页，共50页。笛卡尔RenéDescartes1596-16501596年3月31日生于法国的图伦1619年11月10日Ausonius:Quodvitaesectaboriter在我的一生中，我该走哪条路？1650年2月11日在斯德哥尔摩去世第二页第三页，共50页。科学中正确运用理性和追求真理的方法论

1637年6月8日

《折光学》《气象学》《几何学》第三页第四页，共50页。寻求知识的途径寻求知识的途径仅接纳自己理解并可以排除疑问的东西把大的困难拆分成小的困难从简单到复杂的推理进行检验第四页第五页，共50页。笛卡尔之梦现实问题数学问题（几何问题）代数问题（解析几何）多项式方程组一元高次方程第五页第六页，共50页。

笛卡尔的梦想：将世界数学化人类的所有问题，都可以通过逻辑计算，理性地、系统地加以解决。数学真理=数学定理第六页第七页，共50页。莱布尼兹（德国）GottfriedLeibniz(1646-1716)

笛卡尔计划的一个具体的实现方案:将思维演算化、计算化，以至于可以计算机化。

解析几何如同一台庞大的绞肉机，你把问题塞进去，只要摇动曲柄，就可以得到答案。第七页第八页，共50页。沙勒(法国）MichelChasles1793~1880为几何大厦添砖加瓦，从此就用不着天才那样的人物了。《几何方法的起源和发展的历史概述》第八页第九页，共50页。1900年前后，逻辑悖论的出现罗素：日常语言和逻辑中可以出现悖论理发师悖论村中的理发师只给本村那些不给自己理发的人理发。谁给理发师理发？第九页第十页，共50页。庞伽莱（法国）HenriPoincaré（1854-1912）

为了防备狼，羊群已用篱笆圈了起来，但却不知道圈里有没有狼。第十页第十一页，共50页。数学的完备性completeness一个数学系统是完备的，那么这个系统中的所有命题都是可以被证明的，每一个数学真理都对应着一个数学定理。

1930年之前:两个基本问题I每一个明确的数学问题都应该关联一个明确的判断，或者是给出答案，或者是证明它不可解。第十一页第十二页，共50页。数学的一致性consistency1930年之前：两个基本问题II

一致性（相容性、无矛盾、协调性）如果说一个数学系统是一致的，不可能得出0≠0的结果。不能出现这个系统中的一个命题与它的否定命题都是对的，即不能出现悖论。第十二页第十三页，共50页。如果一个系统是不一致的，则可以按照我们的喜好来证明一个论断是真的，或者假的，那样的话，我们的知识就不会建立在一个可靠的基础之上了。第十三页第十四页，共50页。罗素:我是教皇如果我们承认2+2=5，则有2=3或者2=1因为教皇和罗素是两个人，且2=1于是1=2所以，罗素就是教皇。第十四页第十五页，共50页。梦想与悖论梦想的破灭希尔伯特纲领第十五页第十六页，共50页。1900年巴黎国际数学家大会希尔伯特23问题第二个问题“算术公理的一致性”数学推理的可靠性：只要按照数学推理的规则，就不应该得出相互矛盾的陈述。希尔伯特：一致性是任何类型的公理化系统的必要条件第十六页第十七页，共50页。为什么希尔伯特要操心这样的事情呢？2+2=5真的可以发生吗？三角形的内角和≠180º吗？第十七页第十八页，共50页。几何原本

1482年威尼斯第十八页第十九页，共50页。罗巴切夫斯基（俄国）NikolaiLobachevski（1792-1856）波约（匈牙利）JanosBolyai（1802-1860）存在着完全一致的、关于点和线的数学系统，他们不同于欧几里得的系统。三角形的内角和可以大于180º椭圆几何三角形的内角和可以小于180º双曲几何第十九页第二十页，共50页。三种几何平面双曲(马鞍）椭圆（球）1条平行线许多平行线没有平行线=180º<180º>180º平面宇宙开放宇宙封闭宇宙冷寂冷寂大挤压欧几里得罗巴切夫斯基黎曼第二十页第二十一页，共50页。希尔伯特DavidHilbert1862年1月23日生于哥尼斯堡1943年2月14日死于哥廷根希尔伯特纲领建立的动机罗素悖论产生的原因：自然陈述中语义的含糊性铲除悖论：为全部数学构建一种纯句法的、实质上“无意义”的框架，在其中可以谈论数学的真或假。第二十一页第二十二页，共50页。将每一个数学真理都形式化，从而永远排除在数学中出现悖论陈述的可能性。也不会产生不可判定的命题。形式系统：形式化了的公理系统。系统中的符号与符号串（公式）完全不含意义。第二十二页第二十三页，共50页。形式系统公式：按照一定的形式规则排列的符号串公理：一个公式推理规则：由有限个确定的公式（规则的假设）得到某一个确定的公式（规则的结论）定理：公理；若规则的假设是定理，其结论也是形式系统的公式是否定理，可以机械地验证第二十三页第二十四页，共50页。希尔伯特纲领第一步，建立形式系统第二步，考虑数学结构将数学对象与形式系统中的符号、公式相匹配，用不含意义的形式语言来解释含有意义的数学对象。

第二十四页第二十五页，共50页。不使用那些有争议的推论

1920年～1930年希尔伯特、阿克曼、伯奈斯、冯诺伊曼元数学（或称证明论）用矛盾去证明存在超限归纳实无穷集非断言性的定义选择公理存在性的证明也必须是构造性的元数学证明的概念与方法是有限性的第二十五页第二十六页，共50页。希尔伯特（1928年）：利用这种新的数学基础—人们完全可以称之为证明理论，我将可以解决世界上所有的基础问题。所有有意义的论述都将被证明或证伪，那样就不存在悬而未决的命题了。第二十六页第二十七页，共50页。希尔伯特的梦想构造一个形式系统，它既是完备的，又是一致的。在数学结构的真理与形式系统的定理之间建立一种完美的一一对应的关系。把整个数学真理全部形式化，以防止悖论跨越自然语言与数学语言的界限而侵入纯洁的数学世界。第二十七页第二十八页，共50页。定理陈述证明机器结果：真\假希尔伯特的形式系统证明机器第二十八页第二十九页，共50页。希尔伯特1900年1928年9月波伦亚国际数学家大会“数学基础问题”（四个问题）基本问题：可否证明每一个真的数学陈述。第二十九页第三十页，共50页。梦想与悖论希尔伯特纲领梦想的破灭第三十页第三十一页，共50页。哥德尔

KurtGodel(1906-1978)1906年4月28日出生于捷克的布尔诺Brno

1924年入维也纳大学，理论物理1929年获奥地利国籍，完成博士论文1931年不完备性定理发表1940年定居普林斯顿1948年加入美国国籍1978年1月14日在普林斯顿去世第三十一页第三十二页，共50页。哥德尔和它的父母及哥哥，约1910年第三十二页第三十三页，共50页。哥德尔和阿黛勒德结婚照维也纳一九三八年9月30日第三十三页第三十四页，共50页。哥德尔与爱因斯坦，普林斯顿一九五零年8月第三十四页第三十五页，共50页。第三十五页第三十六页，共50页。罗素与怀特海：《数学原理》JohnKemeny：这是一本“被每个哲学家所讨论，而实际上又无人读过的名著。”第三十六页第三十七页，共50页。符号哥德尔数意义～1非∨2或3如果……那么……4存在=5等于06零s7……的直接后继（8标点符号）9标点符号基本逻辑符号的哥德尔配数（简化本）第三十七页第三十八页，共50页。逻辑公式：存在着一个数x，它是数y的直接后继。x、y：数值变元;用大于10的素数来表示。令x=11、y=13。第三十八页第三十九页，共50页。x=11、y=13[8，4，11，9，8，11，5，7，13，9]符号哥德尔数意义～1非∨2或3如果……那么……4存在=5等于06零s7……的直接后继（8标点符号）9标点符号第三十九页第四十页，共50页。[8，4，11，9，8，11，5，7，13，9]第四十页第四十一页，共50页。莱布尼兹、希尔伯特

用数来表示概念或词句应用“哥德尔配数法”使语法算术化《数学原理》中的每一条陈述，都可以安排一个唯一的数与之对应。第四十一页第四十二页，共50页。说谎者悖论（Liar’sparadox）避开难以捉摸的真与假的概念用“可证性”的概念代替“真”利用哥德尔的编码方案，可以编码上述论断通过46条推理，得到这条陈述，称为哥德尔句G这个句子是错的这个陈述是不可证的第四十二页第四十三页，共50页。如果哥德尔陈述G是可证的由于G是真的，根据论断，它不可证在这个系统中，陈述G和它的否定都成立这个陈述G是不可证的所以，这个系统是不一致的第四十三页第四十四页，共50页。如果哥德尔陈述G是不可证的这个系统是不完备的由于陈述G是真的，但是却不可证这个陈述G是不可证的第四十四页第四十五页，共50页。哥德尔不完备定理:对于算术的任何一致的形式化系统，都存在着一个命题G，在这个系统中不可证明。1931：“论