第06章 谐振电路与互感耦合电路

第六章6-1谐振电路6-1-1

正弦交流电路的性质含L、C、R元件

N0+-U.I.感性、容性、电阻性Z=U.I.I.U.Y=6-1-2

谐振及谐振电路含有电感、电容及电阻的二端正弦稳态电路，在特定的电源角频率条件下，端口电压和端口电流同相位，称为谐振（现象）谐振概念与谐振电路•典型的谐振电路•+-U.I.RjC1jLU.+-I.GjCjL11、RLC串联谐振电路6-1-2

谐振及谐振电路+-U.I.RjC1jL+++---UC.UR.UL.谐振条件

0=LC1LC12

f0=谐振的实现2、谐振时电路的特点1）阻抗Z=R+j(L–

)

C1Im(Z)Re(Z)0R=0

0

0

2）电流、电压相量图阻抗最小,电流最大•讨论谐振电路的目的U=[]IR+j(L–

)

C1••Z1、RLC串联谐振电路6-1-2谐振及谐振电路2、谐振时电路的特点1）阻抗2）电流、电压相量图阻抗最小+-U.I.RjC1jL+++---UC.UR.UL.I.UR.UL.UC.U.UC.I.UR.UL.UL.U.UC.I.UR.

0

0=0UC.UL.+=0电压谐振3）电磁能量1、RLC串联谐振电路，谐振条件6-1-2

谐振及谐振电路2、谐振时电路的特点1）阻抗2）电流、电压相量图阻抗最小+-U.I.RjC1jL+++---UC.UR.UL.3）电磁能量UC.UL.+=0无功功率=0

(t)=m(t)+e(t)=LI2(常数)QX=QL-QC=0=0电磁场能量2i=Isin

0tuC=Isin(

0t–90°)2

0C1

m(t)=LI2sin2

0t

e(t)=CI2cos2

0t(

0C)21=LI2cos2

0t4）如果

0L=R

0C13、品质因数Q定义：RLC串联电路在谐振时的电容电压或电感电压与外加电压的大小之比1、RLC串联谐振电路，谐振条件6-1-2

谐振及谐振电路2、谐振时电路的特点1）阻抗2）电流、电压相量图阻抗最小+-U.I.RjC1jL+++---UC.UR.UL.3）电磁能量UC.UL.+=0=0

(t)=LI2(常数)QX=QL-QC=0=0=UULUUC=

0LIRII

0CRI=

1(过电压)1、RLC串联谐振电路，谐振条件6-1-2

谐振及谐振电路2、谐振时电路的特点1）阻抗2）电流、电压相量图阻抗最小+-U.I.RjC1jL+++---UC.UR.UL.3）电磁能量UC.UL.+=03、品质因数Q=0

(t)=LI2(常数)QX=QL-QC=0=0Q=UUL

=0=

0LR

0RC1=Q=UUL

=0=

0LI2RI2=2

(t)T0P6-1-3

网络函数与频率响应1、网络函数定义：输出相量输入相量网络函数=6-1谐振电路6-1-2

谐振及谐振电路+-U.I.RjC1jL+++---UC.UR.UL.例H1(j

)=UR.U.RR+j(

L–)

C1=H2(j

)=UL.U.j

LR+j(

L–)

C1=说明：1）对单输入适用2）关于Z和Y(策动点函数)3）一般情况下，网络函数是复数，且复模和复角都是角频率的函数2、频率响应H

(j

)=UR.U.RR+j(

L–)

C1=6-1-3

网络函数与频率响应2、频率响应H(j

)—

H(j

)—

RLC串联电路的讨论+-U.I.RjC1jL+++---UC.UR.UL.Q=

0LR

0RC1=（）1+jQ()H

(j

)=UR.U.1=

0

0

-H(j

)=11+Q2()2

0

0

-Q

()H(j

)=-tg-1

0

0

-Q

()H(j

)=-tg-1

0

0

-H(j

)=11+Q2()2

0

0

-0

1

0Q增大

0-90º90ºQ增大

06-1-3

网络函数与频率响应2、频率响应RLC串联电路的讨论曲线的形状与Q值有关带通滤波器（或称带通网络）的概念工程上关于频带宽度的定义带通网络品质因数的一般定义Q=

0

2-1（3db带宽）Q

()H(j

)=-tg-1

0

0

-H(j

)=11+Q2()2

0

0

-0

1

0Q增大

0-90º90ºQ增大

0

1

20.7076-1-3

网络函数与频率响应2、频率响应=20lgH(j

)dbH(j

)=20lgH(j

1)db21=–3db6-1-4

RLC并联谐振电路简述Y=G+j(C-)

L1U.+-I.GjCjL1IC.IL.谐振条件:

0=LC1导纳最小IL.IC.+=0

(电流谐振)品质因数Q=IIC

=0=

0CG

0GL1=Q==

0CU2GU2=2

(t)T0PIIC

=06-1-5

一般谐振电路的分析U.+-I.jLjC1R二端电路元件多端电路元件，“耦合”的概念6-2耦合电感元件6-2-1互感现象及互感系数磁场

=Ni与

的参考方向自感系数L=

i1、自感的复习N匝

电流i如果时变感应电压u-+u=d

dt6-2耦合电感元件6-2-1互感现象及互感系数i2i1

12

21

11

222、互感现象互感磁链参考方向的习惯规定与产生它的电流之间符合右手螺旋规则互感系数M21=

21i1

12i2M12=M21=M12=M

1=

11+

12

2=

21+

22

1=L1i1+Mi2

2=Mi1+L2i2

11=L1i1

22=L2i26-2耦合电感元件6-2-1

互感现象及互感系数2、互感现象i2i1

12

21

11

22

1

2L1MML2=i1i23、耦合系数k=ML1L26-2-2

互感磁链的正负与耦合电感的同名端1、互感磁链的正负问题的提出1

=Li上述关于互感磁链参考方向的规定

1=L1i1+Mi2

2=Mi1+L2i26-2耦合电感元件6-2-2

互感磁链的正负与耦合电感的同名端1、互感磁链的正负i2i1

12

21

11

22

12

22i2

1=

11+

12

2=

21+

22

21

1=

11-

12

2=

22-i1

21

114-1耦合电感元件4-1-2

互感磁链的正负与耦合电感的同名端1、互感磁链的正负

11i2i1

12

21

22

1=

11+

12

2=

21+

22

21

1=

11-

12

2=

22-

12i2

22

21i1

116-2耦合电感元件6-2-2

互感磁链的正负与耦合电感的同名端1、互感磁链的正负i2i1

12

21

11

22

1=

11+

12

2=

21+

22

21

1=

11-

12

2=

22-i2

22

12

21i1

112、同名端与耦合电感的电路符号具有磁耦合的两个线圈之间的一对端钮，当电流同时从这两个端钮流入（或流出）时，如果所产生的磁场是相互加强的（从而互感磁链为正），则称这两个端钮为同名端。6-2-2

互感磁链的正负与耦合电感的同名端**i2i1

12

21

11

221

2

21**ML1L211

22

1、用i表示u的方程时域形式**ML1L2+-+-u1u2i2i12、同名端与耦合电感的电路符号6-2-2

互感磁链的正负与耦合电感的同名端6-2-3

耦合电感的u-i方程实验方法测定同名端的原理+-Vu2+-USRi11

2

21

1

2L1MML2=i1i2u=d

dtu2=M+L2

di1dtdi2dtu1=L1+Mdi1dtdi2dt相量形式耦合电感的受控电源模型L1L2+-+-u1u2i2i1-+-+MMdi2dtdi1dt**ML1L2+-+-u1u2i2i11、用i表示u的方程6-2-3

耦合电感的u-i方程u2=M+L2

di1dtdi2dtu1=L1+Mdi1dtdi2dtu1u2L1MML2ddti1i2=u=dtdL

iU1jL1

jMI1U2jMjL2I2=••••i2i2

–受控电压源的极性问题

–6-2-3

耦合电感的u-i方程1、用i表示u的方程2、用u表示i的方程**ML1L2+-+-u1u2i2i1u1u2L1MML2ddti1i2==

L1MML2–11

12

21

2=U1jL1

jMI1U2jMjL2I2=••••I1

1

12U1I2

21

2U2

=••••j

16-2-4

含耦合电感电路的分析1、简单情况（去耦等效电路）（1）串联等效电路-i+++--u1u2u**ML1L2i+-uL-i+++--u1u2u**ML1L2L=L1+L22M+-L=L1+L22M6-2耦合电感元件6-2-4

含耦合电感电路的分析1、简单情况（去耦等效电路）（1）串联等效电路（2）并联等效电路ML2L1i1i2i+-u**ML2L1i1i2i+-u**i+-uLL1L2M2L1+L2+2M-L=L1L2M2-L1+L2–2ML=u=–M+L2

di1dtdi2dtu=L1

–Mdi1dtdi2dt(L1L2–M2)(i1+i2)=(L1+L2+2M)udtd6-2-4

含耦合电感电路的分析1、简单情况（去耦等效电路）（3）3条支路共节点，其中两条支路含耦合电感312ML1L2**312ML1L2**i1i2i3312i3i1i2L1+ML2+M-M+--u13=L1

–Mdi1dtdi2dtu13=(L1+M)–Mdi1dtdi3dti2=i3–i1u23=(L2+M)–Mdi2dtdi3dtu23=L2

–Mdi2dtdi1dt6-2-4

含耦合电感电路的分析1、简单情况（去耦等效电路）例1图示电路中，耦合电感的耦合系数k=0.5，求由电源观察的入端阻抗和电路消耗的总功率。+-5020**j

M-j80j160j401000OV+-5020-j80j401000OVj120j0I1.I2.(50+j80)-(-j40)=1000oI2.I1.-(-j40)+(20-j40)=0I1.I2.k=ML1L2=L1L2MM=40•I1=0.7759°AZ==13059°

0.7759°1000°I2=0.6985.6°A•+-5020-j80j401000OVj120j0•I1=0.7759°AZ==13059°

0.7759°1000°I2=0.6985.6°A•I1.I2.P=1000.77cos59º=39.7WP=500.772+200.692

=39.2W6-2-4

含耦合电感电路的分析1、简单情况（去耦等效电路）2、一般情况具有耦合电感的两支路方程与无耦合联系的两电感支路方程的比较--L1L2++U1.U2.I1.I2.**ML1L2+-+-U1.U2.I1.I2..U1U2.I1.I2.=jL1jL200.U1U2.I1.I2.=jL1jL2jMjM对角矩阵非对角矩阵！例2

（续上例）6-2-4

含耦合电感电路的分析+-5020**j40-j80j160j401000OVI1.I2.+-5020-j80j1601000OVI1.I2.++--j40I1.j40I2.j40例2

（续上例）2、一般情况6-2-4

含耦合电感电路的分析(50+j80)-(-j40)=1000oI2.I1.-(-j40)+(20-j40)=0I1.I2.I1.I2.-(-j80)+(20-j80)+(j40–j40)=0I1.I2.(50–j80)+(j160

–j40

)–(–j80)=100

0oI1.I1.I2.I2.(50+j80)-(-j80)=1000oI2.I1.+j40I2.-(-j80)+(20-j40)=I1.I2.j40I1.例3

图示正弦稳态电路，电源角频率

=2rad/s，试写出节点电压方程。10101F1H10H**1His+-U1.+-U2.I1.I2.L=-1-11Γ=911110U1.I1.I2.j181=1110U2.U1.=U2.0.1+j181j181j181j18100.1+j2+IS.02、一般情况6-2-4

含耦合电感电路的分析jL1jMR1+()I1.+I2.=US.I1.jL2R2jM+++ZL()I2.0=jL1R1+=Z11jL2R2++ZL=Z22例4

空心变压器电路分析**jMjL1jL2R1R2+-+-U2.US.I1.I2.ZL=Z11+

M22Z22US.I1.I2.=jMI1.-Z22U2.=jMI1.ZLZ226-2-4

含耦合电感电路的分析jMj(L1–M)j(L2–M)R1R2+-US.I1.I2.ZL(1)负载侧(副边)回路的等效电路jMI1.jL2R2+-U2.I2.ZL+-讨论：R2+jL2+ZL=Z22**jMjL1jL2R1R2+-+-U2.US.I1.I2.ZL=Z11+

M22Z22US.I1.I2.=jMI1.-Z22U2.=jMI1.ZLZ22R1+jL1=Z11jL1R1+-US.I1.ZrZr=

M22Z22(2)电源侧(原边)回路的等效电路（反映阻抗），，(3)令R1=R2=0，k=1，L1L2L1L2=常数（设为n2）但=Z11+

M22Z22US.I1.I2.=jMI1.-Z22U2.=jMI1.ZLZ226-2-4

含耦合电感电路的分析+-U1.jL1R1+-US.I1.ZrjMI1.jL2R2+-U2.I2.ZL+-U2.=Z11+

2M2Z22jMZLZ22US.=US.jL1(ZL+jL2)+2M2jMZL=U2.US.ML1=L2L1U2.U1.=n当I20，ZL

时

=Z11+

M22Z22US.I1.I2.=jMI1.-Z22U2.=jMI1.ZLZ22+-U1.jL1R1+-US.I1.ZrjMI1.jL2R2+-U2.I2.ZL+-U2.U1.=nI2.I1.=–jMjL2+ZLI2.I1.=–ML2=–L1L2=–nI2.I1.6-2理想变压器1、变压器在电工技术中的应用(1)电力系统：经济地传输、合理地分配、安全地使用电能(2)电子设备中：用作电源变压器，阻抗变换(3)专用变压器：电焊、整流、电炉、自耦变压器等2、变压器的结构与工作原理初级(原方)次级(付方)u2+-4-2-1

理想变压器的特性方程211

2

两线圈(绕组)变压器结构示意图铁芯u1i1-+i2

1、理想条件(1)本身不消耗功率(2)耦合系数k=1，铁芯的磁导率

Fe

(3)L1，L2

，但=常数L1L2211

2

i2u1i1-+u2+-6-2-1

理想变压器的特性方程n1n2

n1n2:**11

2

2理想变压器的电路符号+--+u1i1i2u22、特性方程与耦合电感的联系与区别u1u2=n1n2

1=n1

2=n2

u1=dtd

1dtd

=n1u2=dtd

2dtd

=n2-n2n1i1i2=3、注意：u与i应是时变的方程中等号右边的正、负号211

2

i2u1i1-+u2+-6-2-1

理想变压器的特性方程n1n2

n1n2:**11

2

2理想变压器的电路符号+--+u1i1i2u22、特性方程u1u2=n1n2Hl=n1i1+n2i2l=n1i1+n2i2B

Fen1i1+n2i2=06-2-2

理想变压器的阻抗变换性质n1n2:**11

2

2+--+I1.I2.U1.U2.ZLZinZin=n1n2（）ZL2例121:**+-I1.I2.2442H2H1Husus=14sin2tV，求i1、i2U2.-+abZin=U1.I1.U2.n1n2n2n1–I2.=+-I1.4Z20OV721:**+-I1.I2.2442H2H1Husus=14sin2tV，求i1、i2U2.-+abI3.Uab=(2+j4)I2+j2I3...(4+j4)I3+j2I2=0..Uab=(2+j4)I2+I24+j44...I2.Zab==2.5+j3.5Uab.Z=4Zab=10+j14U2.I2.I1.I.U1.+-+-例2

（见教材习题6-37）I3.n21:**n11:R3R1R2baZab6-2-2

理想变压器的阻抗变换性质6-2理想变压器I1=n1I..I2=n2I..Uab=