黑龙江省绥化市青冈第一中学高三数学文上学期摸底试题含解析

黑龙江省绥化市青冈第一中学高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（

）①平均数；②标准差；③平均数且标准差；④平均数且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于1。 A．①② B．③④ C．③④⑤ D．④⑤参考答案：D2.在△ABC中，设命题p：，命题q：△ABC是等边三角形，那么命题p是命题q的（）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．即不充分也不必要条件参考答案：A【考点】正弦定理的应用；充要条件．【专题】计算题．【分析】先当p成立时，利用正弦定理把等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得A=B=C判断出△ABC是等边三角形．推断出p是q的充分条件；反之利用正弦定理可分别求得=2R，=2R，=2R，三者相等，进而可推断出p是q的必要条件，最后综合可得答案．【解答】解：，即①；②，①﹣②，得（sinC﹣sinB）（sinA+sinB+sinC）=0，则sinC=sinA，∴C=A．同理得C=B，∴A=B=C，则△ABC是等边三角形．当A=B=C时，==2R，==2R，==2R∴成立，∴p命题是q命题的充分必要条件．故选A【点评】本题主要考查了正弦定理的运用，充分条件，必要条件和充分必要的条件的判定．考查了学生分析问题和推理的能力．3.已知圆，过点的直线，则（

）A.与相交

B.与相切

C.与相离

D.以上三个选项均有可能6.参考答案：A.圆的方程可化为，易知圆心为半径为2，圆心到点P的距离为1，所以点P在圆内.所以直线与圆相交.故选A.4.定义在R上的偶函数,满足,且在区间上为递增（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A5.函数在区间上是增函数，且，则A.

B.

C.

D.参考答案：A6.设为可导函数，且满足，则过曲线上点处的切线斜率为A．2

B．－1

C．1

D．－2参考答案：B7.已知，函数的定义域为，，则下列结论正确的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A8.设，，，，记为内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数的值域为A.

B.

C.

D.参考答案：C9.已知函数，则该函数是(

)Ａ.偶函数，且单调递增Ｂ.偶函数，且单调递减Ｃ.奇函数，且单调递增Ｄ.奇函数，且单调递减参考答案：C略10.已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线(

)A.只有一条，不在平面α内

B.有无数条，不一定在平面α内C.只有一条，且在平面α内

D.有无数条，一定在平面α内参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若复数,,则 .参考答案：12.已知，则

。参考答案：2413.若复数满足：，则在复平面内，复数z对应的点坐标是_____________.参考答案：(4，－2)略14.设函数，函数在区间上存在零点，则最小值是

.参考答案：15.如图，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．其中真命题是是

********

.（填写真命题的序号）参考答案：【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系．G3

【答案解析】①②④解析：过M点与直线AB有且只有一个平面，该平面与直线B1C1相交，设交点为P，连接MP，则MP与直线AB相交，∴过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交；①正确∵直线BC∥直线B1C1，直线BC与直线AB确定平面ABCD，过点M有且只有直线D1D⊥平面ABCD即过点M有且只有直线D1D⊥AB，⊥BC，∴过点M有且只有直线D1D⊥AB，⊥B1C1∴过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直；②正确过M点与直线AB有且只有一个平面，该平面与直线B1C1相交，过M点与直线B1C1有且只有一个平面，该平面与直线AB相交，∴过点M不止一个平面与直线AB、B1C1都相交，③错误过M分别作AB，B1C1的平行线，都有且只有一条，这两条平行线成为相交直线，确定一个平面，该平面与AB，B1C1平行，且只有该平面与两直线平行，∴④正确故答案为①②④．【思路点拨】①需要构造一个过点M且与直线AB、B1C1都相交的平面，就可判断；②利用过空间一点有且只有一条直线与已知平面平行判断；③可举反例，即找到两个或两个以上过点m且与直线AB、B1C1都相交的平面，即可判断．④利用线面平行的性质来判断即可．16.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=2，B=2A，则c的取值范围是

．参考答案：（，）【考点】正弦定理．【专题】转化思想；综合法；解三角形．【分析】由条件求得即＜A＜，再根据正弦定理求得c==4cosA﹣，显然c在（，）上是减函数，由此求得c的范围．【解答】解：锐角△ABC中，∵B=2A＜，∴A＜．再根据C=π﹣3A＜，可得A＞，即＜A＜，再根据正弦定理可得===，求得c====4cosA﹣在（，）上是减函数，故c∈（，），故答案为：（，）．【点评】本题主要考查三角形的内角和公式、正弦定理，函数的单调性的应用，属于中档题．17.设正实数集合A={a1，a2，a3，…，an}，集合S={（a，b）|a∈A，b∈A，a﹣b∈A}，则集合S中元素最多有个．参考答案：【考点】集合中元素个数的最值．【分析】假设a1，a2，a3，…，an按大小顺序排列，当a1，a2，…，an为等差数列，且首项为公差，集合S中的元素最多，n个数字中任取2个，之差也一定属于a1，a2，…，an，由此能求出集合S中的元素最多的个数．【解答】解：正实数集合A={a1，a2，a3，…，an}，集合S={（a，b）|a∈A，b∈A，a﹣b∈A}，不妨假设a1，a2，a3，…，an按大小顺序排列，当a1，a2，…，an为等差数列，且首项为公差，集合S中的元素最多，n个数字中任取2个，之差也一定属于a1，a2，…，an，集合S中的元素最多为：=．故答案为：．【点评】本题考查集合中最多的元素个数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列性质、排列组合知识的合理运用．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分14分)为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生

5

女生10

合计

50已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为．（1）请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；（3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为，求的分布列与期望.下面的临界值表供参考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

(参考公式：，其中)参考答案：解：(1)列联表补充如下：----------------------------------------3分

喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生20525女生101525合计302050（2）∵------------------------6分∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关.---------------------7分

（3）喜爱打篮球的女生人数的可能取值为.-------------------------9分其概率分别为,,

--------------------------12分故的分布列为:--------------------------13分的期望值为:

---------------------14分19.（本题满分12分）

已知数列的前项和为，向量,,满足条件,且.（I）求数列的通项公式；（II）设函数，数列满足条件，(i)求数列的通项公式；(ii)设，求数列的前和.参考答案：【知识点】数列的求和．D4（I）;（II）;

解析：（Ⅰ）因为所以.

当时，

.................（2分）

当时，，满足上式

所以

........................（4分）（Ⅱ）（ⅰ）

，又

是以2为首项3为公差的等差数列

......................................（8分）

（ⅱ）

?

?

?-?得

........................................（12分）【思路点拨】（Ⅰ）由可得，然后利用（n≥2）求得数列的通项公式；（Ⅱ）（ⅰ）再由，得到，说明是以2为首项3为公差的等差数列．由等差数列的通项公式可得bn；（ⅱ）把数列、的通项公式代入，然后利用错位相减法求数列的前和．20.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程(为参数)，直线l的参数方程(t为参数).（1）求曲线C在直角坐标系中的普通方程；（2）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C截直线l所得线段的中点极坐标为时，求直线l的倾斜角.参考答案：（1）；（2）.【分析】（1）消去参数后化简整理即可得到曲线的普通方程；（2）将直线的参数方程代入曲线的普通方程中，可得到关于的一元二次方程，由韦达定理并结合参数的几何意义可得，从而求得，最后写出直线的倾斜角即可.【详解】（1）由曲线的参数方程(为参数)，可得：，由，得：，曲线的参数方程化为普通方程为：；（2）中点的极坐标化成直角坐标为，将直线的参数方程代入曲线的普通方程中，得：，化简整理得：，，即，，即，又，直线的倾斜角为.【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查直线参数方程中的几何意义的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.21.设f（x）=，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若?x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求得函数f（x）的导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直，即可求a的值；（Ⅱ）先将原来的恒成立问题转化为lnx≤m（x﹣）．设g（x）=lnx﹣m（x﹣），即x＞1时，g（x）≤0恒成立，利用导数研究g（x）在（1，+∞）上单调性，求出函数g（x）的范围，即可求得实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=的导数为f′（x）=则在点（1，f（1））处的切线斜率为f′（1）=，由于在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直，则f′（1）=，即=，故a=0；（Ⅱ）由于f（x）=，当x=1时，f（1）=0，m（x﹣1）=0不等式f（x）≤m（x﹣1）成立，当x＞1时，f（x）≤m（x﹣1）即为lnx≤m（x﹣）．设g（x）=lnx﹣m（x﹣），即x＞1时，g（x）≤0恒成立，g′（x）=﹣m（1）=①若m≤0时，g′（x）＞0，则g（x）在x＞1上递增，即有g（x）＞0，矛盾；②若m＞0，﹣mx2+x﹣m=0的判别式△=1﹣4m2，当△≤0时，即m≥，g