第75讲二项式定理（原卷版）

第75讲二项式定理1.二项式定理公式：(a＋b)n＝(n∈N*)这个公式表示的定理叫做二项式定理．在上式中右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数Ceq\o\al(k,n)(k＝0，1，…，n)叫做二项式系数，式中的Ceq\o\al(k,n)an－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk．2.二项展开式形式上的特点(1)项数为．(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按__排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式系数从，Ceq\o\al(1,n)，一直到Ceq\o\al(n－1,n)，．3.“杨辉三角”与二项式系数的性质(1)“杨辉三角”有如下规律：左右两边斜行都是1，其余各数都等于它“肩上”两个数字之和．(2)对称性：在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Ceq\o\al(m,n)＝．(3)增减性与最大值：二项式系数Ceq\o\al(k,n)，当k＜eq\f(n＋1,2)时，二项式系数逐渐；当k＞eq\f(n＋1,2)时，二项式系数逐渐．当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，中间两项的二项式系数最大．(4)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各项二项式系数之和为，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝(5)奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＝＝1、（2023•北京）的展开式中，的系数是A． B．40 C． D．802、（2023•天津）在的展开式中，项的系数为．3、（2022•上海）二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，则．4、（2022•浙江）已知多项式，则．5、（2022•新高考Ⅰ）的展开式中的系数为（用数字作答）．6、（2022•天津）的展开式中的常数项为．7、（2022•上海）在的展开式中，则含项的系数为．8、（2023•上海）已知，若存在，1，2，，使得，则的最大值为．9、（2022•北京）若，则A．40 B．41 C． D．1、(1＋2x)5的展开式中，x2的系数为()A.10B.20C.25D.402、若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up12(n)展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为()A.6B.12C.20D.323、(2021·青岛二模)已知(x＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax－\f(1,x)))eq\s\up12(5)的展开式中常数项为－40，则a的值为()A.2 B.－2 C.±2 4、(2022·广州三模)若x8＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a8(x＋1)8，则a3＝________．5、(2022·泰安一模)在(1－x)4(2x＋1)5的展开式中，含x2的项的系数是________．考向一二项展开式中特定项及系数问题例1、已知在(eq\r(3,x)－eq\f(1,2\r(3,x)))n的展开式中，第5项为常数项．(1)求n的值；(2)求含x2的项的系数.变式1、已知在(eq\r(3,x)－eq\f(1,2\r(3,x)))n的展开式中，第5项为常数项．求展开式中所有的有理项．变式2、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)＋1))eq\s\up12(5)的展开式中的常数项为()A.1B.11C.－19D.51变式3、(1)(x2＋x＋1)(x－1)4的展开式中，x3的系数为()A.－3 B.－2 C.1 (2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,x)－3))eq\s\up12(5)的展开式中常数项是________.方法总结：求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可考向二二项式系数的和或各项系数的和的问题例2、在(2x－3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和．变式1、已知在(x－3)n的展开式中，各项的二项式系数和为32，求：(1)展开式中各项的系数之和；(2)展开式中所有奇数项的系数之和．变式2、已知在(x－3)n的展开式中，各项的二项式系数和为32，求：求展开式中各项的系数的绝对值的和．变式3、已知在(x－3)n的展开式中，各项的二项式系数和为32，求：求展开式中二项式系数最大的项．变式4、已知在(x－3)n的展开式中，各项的二项式系数和为32，求：求展开式中系数的绝对值最大的项．变式5、（多选题）对任意实数x，有.则下列结论成立的是（）A．B．C．D．方法总结：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a、b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．考向三二项式定理的综合应用例3(1)1－90Ceq\o\al(1,10)＋902Ceq\o\al(2,10)－903Ceq\o\al(3,10)＋…＋(－1)k90kCeq\o\al(k,10)＋…＋9010Ceq\o\al(10,10)除以88的余数是____．(2)设复数x＝eq\f(2i,1－i)(i是虚数单位)，则Ceq\o\al(1,2019)x＋Ceq\o\al(2,2019)x2＋Ceq\o\al(3,2019)x3＋…＋Ceq\o\al(2019,2019)x2019＝____．变式1、(1)设a∈Z，且0≤a<13，若512018＋a能被13整除，则a的值为()A.0B.1C.11D.12变式2、（2020·江苏省南京师大附中高二）已知，．记．（1）求的值；（2）化简的表达式，并证明：对任意的，都能被整除．方法总结：整除问题，解决整除问题要点为：(1)观察除式与被除式间的关系；(2)将被除式拆成二项式；(3)结合二项式定理得出结论．此外二项式定理还可应用于不等式的证明．1、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）二项式的展开式中常数项为（

）A．80 B． C． D．402、（2022·山东省淄博实验中学高三期末）的展开式中的系数为，则该二项式展开式中的常数项为（）A． B． C． D．3、（2022·山东临沂·高三期末）若的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则该项式的展开式中常数项为（）A．90 B．90 C．180 D．1804、（2023·黑龙江大庆·统考一模）已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数之比是，则______，展开式的常