深圳南山区星河学校选修三第二单元《随机变量及其分布》测试卷(有答案解析)

一、选择题1．近几年新能源汽车产业正持续快速发展，动力蓄电池技术是新能源汽车的核心技术.已知某品牌新能源汽车的车载动力蓄电池充放电次数达到800次的概率为，充放电次数达到1000次的概率为.若某用户的该品牌新能源汽车已经经过了800次的充放电，那么他的车能够达到充放电100次的概率为（）A．0.324 B．0.36 C．0.4 D．0.542．若X～B（20，0.3），则（）A．E（X）＝3 B．P（X≥1）＝1﹣0.320C．D（X）＝4 D．P（X＝10）3．将两颗骰子各掷一次，设事件“两个点数都不相同”，“至少出现一个5点”，则概率（）A． B． C． D．4．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则（）A． B． C． D．5．某校从6名学生干部（其中女生4人，男生2人）中选3人参加学校的汇演活动，在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中的概率为（）A． B． C． D．6．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动,社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目,每人限报其中一项,记事件为4名同学所报项目各不相同”,事件为“只有甲同学一人报关怀老人项目”,则（）A． B． C． D．7．甲、乙、丙三人每人准备在个旅游景点中各选一处去游玩，则在“至少有个景点未被选择”的条件下，恰有个景点未被选择的概率是（）A． B． C． D．8．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于3”；事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则P（B/A）的值等于（）A． B． C． D．9．已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率（）A． B． C． D．10．已知离散型随机变量服从二项分布，且，，则的最小值为（）A．2 B． C． D．411．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝，k＝1，2，3，则D(3ξ＋5)＝()A．6 B．9C．3 D．412．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，则在下雨天里，刮风的概率为（）A． B． C． D．二、填空题13．一个口袋中有7个大小相同的球，其中红球3个，黄球2个，绿球2个.现从该口袋中任取3个球，设取出红球的个数为，则______.14．一位篮球运动员投篮一次得3分概率为，得2分概率为，不得分概率为，.若他投篮一次得分的期望为1，则的最小值为______.15．先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币，落在水平桌面上，设事件为“第一次正面向上”，事件为“后两次均反面向上”，则________.16．随机变量X服从于正态分布N（2，σ2）若P（X≤0）＝a，则P（2＜X＜4）＝_____17．已知随机变量X的分布列如下,若E(X)=3,则D(X)=____.18．某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩服从正态分布N（100，2），已知P（80<<120）=0.70，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析．则应从120分以上的试卷中抽取________份．三、解答题19．上饶市正在创建全国文明城市，我们简称创文.全国文明城市是极具价值的无形资产和重要城市品牌.创文期间，将有创文检查人员到学校随机找学生进行提问，被提问者之间回答问题相互独立、互不影响.对每位学生提问时，创文检查人员将从规定的5个问题中随机抽取2个问题进行提问.某日，创文检查人员来到校，随机找了三名同学甲、乙、丙进行提问，其中甲只能答对这规定5个问题中的3个，乙能答对其中的4个，而丙能全部答对这5个问题.计一个问题答对加10分，答错不扣分，最终三人得分相加，满分60分，达到50分以上（含50分）时该学校为优秀.（1）求甲、乙两位同学共答对2个问题的概率；（2）设随机变量表示甲、乙、丙三位同学共答对的问题总数，求的分布列及数学期望，并求出校为优秀的概率.20．某房产中介公司对2018年成都市前几个月的二手房成交量进行统计，表示2018年月该中介公司的二手房成交量，得到统计表格如下：123456781214202224202630（1）通过散点图初步分析可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；（计算结果精确到0.01）；（2）该房产中介为增加业绩，决定针对二手房成交客户开展抽奖活动，若抽中“一等奖”获5千元奖金；抽中“二等奖”获3千元奖金；抽中“祝您平安”，则没有奖金.已知一次抽奖活动中获得“一等奖”的概率为，获得“二等奖”的概率为，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额（千元）的分布列及数学期望.参考数据：，，，，.参考公式：相关系数.21．魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的.魔方与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议，而魔方受欢迎的程度更是智力游戏界的奇迹.通常意义下的魔方，即指三阶魔方，为的正方体结构，由个色块组成.常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原.截至2020年，三阶魔方还原官方世界纪录是由中国的杜宇生在2018年11月24日于芜湖赛打破的纪录，单次秒.（1）某魔方爱好者进行一段时间的魔方还原训练，每天魔方还原的平均速度(秒)与训练天数(天)有关，经统计得到如下数据：（天）（秒）现用作为回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测该魔方爱好者经过长期训练后最终每天魔方还原的平均速度约为多少秒(精确到)?参考数据（其中）参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：.（2）现有一个复原好的三阶魔方，白面朝上，只可以扭动最外侧的六个表面.某人按规定将魔方随机扭动两次，每次均顺时针转动，记顶面白色色块的个数为，求的分布列及数学期望.22．某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄､蓝两种颜色的单车，已知黄､蓝两种颜色单车的投放比例为.监管部门为了解两种颜色单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同.（1）求抽取的5辆单车中有3辆是蓝色单车的概率；（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过4次.在抽样结束时，已取到的黄色单车数量用表示，求的分布列及数学期望.23．“工资条里显红利，个税新政人民心”，随着2021年新年钟声的敲响，我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税（简称个税）改革至2019年实施以来发挥巨大作用.个税新政主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点-专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人等.新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及其对应的税率表如下：旧个税税率表（税起征点3500元）新个税税率表（个税起征点5000元）缴税级数每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点税率（%）每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点-专项附加扣除税率（%）1不超过1500元部分3不超过3000元部分32超过1500元至4500元部分10超过3000元至12000元部分103超过4500元至9000元的部分20超过12000元至25000元的部分204超过9000元至35000元的部分25超过25000元至35000元的部分255超过35000元至55000元部分30超过35000元至55000元部分30……………随机抽取某市1000名同一收入层级的IT从业者的相关资料，经统计分析，预估他们2021年的人均月收入24000元.统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除；同时，他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们之中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是；此外，他们均不符合其他专项附加扣除.新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：住房1000元/月，子女教育每孩1000元/月，赡养老人2000元/月等.假设该市该收入层级的IT从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的IT从业者的人均月收入视为其个人月收入.根据样本估计总体的思想，解决如下问题：（1）求该市该收入层级的IT从业者2021年月缴个税的所有可能及其概率.（2）根据新旧个税方案，估计从2021年1月开始，经过多少个月，该市该收入层级的IT从业者各月少缴交的个税之和就超过2021年的月收入？24．足球训练中：现有甲､乙､丙､丁四个人相互之间传球，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙､丙､丁中的任何一个人，依此类推.通过三次传球后，球经过乙的次数为ξ，求ξ的分布列和期望.25．世界博览会在意大利的米兰开幕，中国馆为了做好世界博览会期间的接待服务工作，从5名男大学生和3名女大学生中选出3人，参加博览会的志愿者服务活动，（解题过程中应有必要的文字叙述，结果以数字表示）（1）求选出的3人中至少1名女生的概率；（2）设所选3人中女生人数为，求的概率分布表及数学期望．26．随着如今人们生活水平的不断提高，旅游成了一种生活时尚，尤其是老年人的旅游市场在不断扩大.为了了解老年人每年旅游消费支出（单位：元）的情况，相关部门抽取了某地区名老年人进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：组别频数（1）求所得样本平均数（精确到元）；（2）根据样本数据，可近似地认为老年人的旅游费用支出X服从正态分布，若该地区共有老年人人，试估计有多少位老年人旅游费用支出在元以上；（3）已知样本数据中旅游费用支出在范围内的名老人中有名女性，名男性.现想选其中名老人回访，记选出的男生人数为，求的分布列.附：若，，，.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】事件A表示“充放电次数达到800次”，事件B表示“充放电次数达到1000次”，则，，结合条件概率的计算公式，即可求解.【详解】设事件A表示“充放电次数达到800次”，事件B表示“充放电次数达到1000次”，则，所以某用户的该品牌新能源汽车已经经过了800次的充放电，那么他的车能够达到充放电1000次的概率为：.故选：C.【点睛】本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中熟记条件概率的计算公式，正确理解题意是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.2．D解析：D【分析】根据二项分布的均值，方差以及概率公式求解即可.【详解】因为，所以，故选：D【点睛】本题主要考查了二项分布的均值，方差以及概率公式，属于中档题.3．A解析：A【分析】根据条件概率的含义，其含义为在发生的情况下，发生的概率，即在“至少出现一个5点”的情况下，“两个点数都不相同”的概率，分别求得“至少出现一个5点”与“两个点数都不相同”的情况数目，进而相比可得答案．【详解】根据条件概率的含义，其含义为在发生的情况下，发生的概率，即在“至少出现一个5点”的情况下，“两个点数都不相同”的概率，“至少出现一个5点”的情况数目为，“两个点数都不相同”则只有一个5点，共种，故．故选：．【点睛】本题考查条件概率，注意此类概率计算与其他的不同，其含义为在发生的情况下，发生的概率．4．B解析：B【分析】由条件概率的定义，分别计算即得解.【详解】由题意事件为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有个事件由条件概率的定义：故选：B【点睛】本题考查了条件概率的计算，考查了学生概念理解，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.5．B解析：B【分析】先求出女生甲被选中的情况下的基本事件总数，再求出在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中包含的基本事件个数为，结合条件概率的计算方法，可得.【详解】女生甲被选中的情况下，基本事件总数，在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中包含的基本事件个数为，则在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中的概率为.故选B.【点睛】本题考查了条件概率的求法，考查了学生的计算求解能力，属于基础题.6．A解析：A【分析】确定事件，利用古典概型的概率公式计算出和，再利用条件概型的概率公式可计算出的值.【详解】事件为“名同学所报项目各不相同且只有甲同学一人报关怀老人项目”，则，，，故选A.【点睛】本题考查条件概型概率的计算，考查条件概率公式的理解和应用，考查运算能力，属于中等题．7．A解析：A【分析】设事件A为：至少有个景点未被选择，事件B为：恰有个景点未被选择,计算和,再利用条件概率公式得到答案.【详解】设事件A为：至少有个景点未被选择，事件B为：恰有个景点未被选择故答案选A【点睛】本题考查了条件概率，意在考查学生对于条件概率的理解和计算.8．C解析：C【分析】利用古典概型的概率公式计算出和，然后利用条件概率公式可计算出结果．【详解】事件甲的骰子的点数大于，且甲、乙两骰子的点数之和等于，则事件包含的基本事件为、、，由古典概型的概率公式可得，由古典概型的概率公式可得，由条件概率公式得，故选C.【点睛】本题考查条件概率的计算，解题时需弄清楚各事件的基本关系，并计算出相应事件的概率，解题的关键在于条件概率公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题．9．C解析：C【分析】记“三人中至少有两人解答正确”为事件；“甲解答不正确”为事件，利用二项分布的知识计算出，再计算出，结合条件概率公式求得结果.【详解】记“三人中至少有两人解答正确”为事件；“甲解答不正确”为事件则；本题正确选项：【点睛】本题考查条件概率的求解问题，涉及到利用二项分布公式求解概率的问题.10．C解析：C【分析】根据二项分布的性质可得，，化简即，结合基本不等式即可得到的最小值.【详解】离散型随机变量X服从二项分布，所以有，，所以，即，（，）所以，当且仅当时取得等号．故选C．【点睛】本题主要考查了二项分布的期望与方差，考查了基本不等式，属于中档题．11．A解析：A【分析】直接利用方差的性质求解即可.【详解】由题意得，，，故选A.【点睛】本题主要考查方差的性质与应用，意在考查对基本性质掌握的熟练程度，属于中档题.12．D解析：D【解析】分析：根据条件概率求结果.详解：因为在下雨天里，刮风的概率为既刮风又下雨的概率除以下雨的概率，所以在下雨天里，刮风的概率为，选D.点睛：本题考查条件概率，考查基本求解能力.二、填空题13．【分析】先确定随机变量的取值再分别计算对应的概率最后利用期望的计算公式即得结果【详解】依题意设取出红球的个数为则而口袋中有红球3个其他球4个故故故答案为：【点睛】方法点睛：求离散型随机变量的期望的步解析：【分析】先确定随机变量的取值，再分别计算对应的概率，最后利用期望的计算公式即得结果.【详解】依题意，设取出红球的个数为，则，而口袋中有红球3个，其他球4个，故，，，，故.故答案为：.【点睛】方法点睛：求离散型随机变量的期望的步骤：（1）先确定随机变量的取值；（2）再计算每个变量所对应的概率；（3）利用公式，计算得到期望即可.14．；【分析】推导出从而利用基本不等式能求出的最小值【详解】一位篮球运动员投篮一次得3分概率为得2分概率为不得分概率为他投篮一次得分的期望为1当且仅当时取等号的最小值为故答案为：【点睛】本题考查代数式的解析：；【分析】推导出，从而，利用基本不等式能求出的最小值．【详解】一位篮球运动员投篮一次得3分概率为，得2分概率为，不得分概率为，，，，他投篮一次得分的期望为1，，，当且仅当时取等号，的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查代数式的最小值的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15．【分析】先列出事件与事件的基本事件的个数再利用独立事件与条件概率的求法可得即可求解【详解】由题意先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币事件A为第一次正面向上其基本事件为（正正正）（正正反）（正反正）（正反反解析：【分析】先列出事件与事件的基本事件的个数，再利用独立事件与条件概率的求法可得，即可求解．【详解】由题意，先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币，事件A为“第一次正面向上”，其基本事件为（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反）共4个，在第一次正面向上的条件下，“后两次均反面向上”，其基本事件为（正，反，反）共1个，即，故答案为．【点睛】本题主要考查了独立事件与条件概率的计算，其中解答中熟记条件概率的计算公式，合理计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16．【分析】利用正态分布的对称性求得的值【详解】由条件知故【点睛】本小题主要考查正态分布在指定区间的概率属于基础题解析：【分析】利用正态分布的对称性，求得的值.【详解】由条件知,故.【点睛】本小题主要考查正态分布在指定区间的概率，属于基础题.17．1【分析】由题意根据和分布列的性质求得的值再利用方差的公式即可求解【详解】根据题意得解得∴D(X)=(1-3)2×01+(2-3)2×02+(3-3)2×03+(4-3)2×04=1【点睛】本题主要解析：1【分析】由题意，根据和分布列的性质，求得的值，再利用方差的公式，即可求解.【详解】根据题意,得解得∴D(X)=(1-3)2×0.1+(2-3)2×0.2+(3-3)2×0.3+(4-3)2×0.4=1.【点睛】本题主要考查了分布列的性质和期望与方差的计算，其中明确分布列的性质和相应的数学期望和方差的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.18．15【解析】分析：根据正态分布概率计算可求出120分以上的概率；根据分层抽样可求出120分以上抽取样本的数量详解：根据正态分布所以根据分层抽样中概率值可得120分以上抽取份数为点睛：本题考查了利用正解析：15．【解析】分析：根据正态分布概率计算，可求出120分以上的概率；根据分层抽样，可求出120分以上抽取样本的数量．详解：根据正态分布,，所以根据分层抽样中概率值，可得120分以上抽取份数为点睛：本题考查了利用正态分布的概率特征，计算特定范围内的概率，结合分层抽样求出抽取样本的数数量，属于简单题．三、解答题19．（1）；（2）分布列见解析，期望值，.【分析】（1）首先事件甲、乙两位同学共答对2个问题，分为两人各答对1题，或是乙答对2题，再求互斥事件和的概率；（2）由条件可知,再根据随机变量对应的事件，分别求概率，再列出分布列，并计算数学期望,根据分布列，列出该学校为优秀的概率.【详解】（1）记“甲、乙两位同学共答对2题”为事件，则（2）由题意可知随机变量的可能取值为、、、，所以，随机变量的分布列如下表所示：随机变量的数学期望为校为优秀的概率.【点睛】关键点点睛：本题的关键是分清随机变量代表的事件，其中容易错的是乙同学会5题中的四个题，所以两个题，至少会一题.20．（1）答案见解析；（2）分布列见解析，千元.【分析】（1）首先计算、再将已知条件中所给的数据代入相关系数的公式即可求解；（2）奖金总额的所有可能取值有0，3，5，6，8，10千元，分别求出对应的概率，列出分布列、计算期望即可.【详解】（1）依题意：，，.因为0.92非常趋近1，所以变量，线性相关性很强，可用线性回归模型拟合与的关系.（2）二人所获奖金总额的所有可能取值有0，3，5，6，8，10千元.，，，，，，所以，奖金总额的分布列如下表：0356810千元.【点睛】思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）.21．（1），每天魔方还原的平均速度约为秒；（2）分布列见解析，.【分析】（1）利用题设中的数据清除的平均值，进而可以求出的值和的值，即可求解；（2）写出随机变量的可能取值，求出对应的概率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解.【详解】（1）由题意，根据表格中的数据，可得，可得，所以，因此关于的回归方程为：，所以最终每天魔方还原的平均速度约为秒（2）由题意，可得随机变量的取值为，可得，，，，所以的分布列为所以.【点睛】求随机变量的期望与方差的方法及步骤：理解随机变量的意义，写出可能的全部值；求取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列；由期望和方差的计算公式，求得数学期望；若随机变量的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.22．（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：.【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式可求得所求事件的概率；（2）由题可知，随机变量的可能取值有、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，由此可得出随机变量的分布列和期望.【详解】（1）因为随机地抽取一辆单车是蓝色单车的概率为，用表示“抽取的5辆单车中蓝色单车的个数”，则服从二项分布，即，所以抽取的5辆单车中有3辆是蓝色单车的概率为；（2）随机变量的可能取值为：0､1､2､3､4.，，，，.所以的分布列如下表所示：01234.【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；（2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率.23．（1）缴个税的所有可能值为2190，1990，1790，1590,其概率分别为，，，，（2）12个月【分析】（1）求出4种人群的每月应缴个税额，根据条件得出求出其概率；（2）由（1）求出在新政策下该收入层级的从业者2021年月缴个税为，计算两种政策下的每月应缴个税额度差即可得出结论．【详解】（1）既不符合子女教育扣除也不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为，月缴个税；只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为，月缴个税；只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除的人群每月应纳税所得额为，月缴个税；既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为，月缴个税；所以的可能值为2190，1990，1790，1590,依题意，上述四类人群的人数之比是2:1:1:1，所以，，，.,（2）由（1）可知的分布列为2190199017901590所以..因为在旧政策下该收入层级的从业者2021年每月应纳税所得额为，其月缴个税为,因为在新政策下该收入层级的从业者2021年月缴个税为1950，所以该收入层级的从业者每月少缴交的个税为.,设经过个月，该收入层级的从业者少缴交的个税的总和就超过24000，则，因为，所以,所以经过12个月，该收入层级的从业者少缴交的个税的总和就超过20