新教材北师大版数学学案第2章44-1平面向量基本定理

§4平面向量基本定理及坐标表示4．1平面向量基本定理学习任务核心素养1．理解平面向量基本定理及其意义(重点)．2．体验定理的形成过程，能够运用基本定理解题(难点)．通过平面向量基本定理的推导与应用，培养逻辑推理与数学运算素养．音乐是人们在休闲时候的一种选择，不管是通俗的流行歌曲、动感的摇滚音乐，还是高雅的古典音乐，它们都给了人们不同的享受、不一样的感觉．事实上，音乐有基本音符：DoReMiFaSoLaSi，所有的乐谱都是这几个音符的巧妙组合，音乐的奇妙就在于此．阅读教材，回答下列问题：问题：在平面向量中，我们能否找到它的“基本音符”呢？你发现它是什么？知识点1平面向量基本定理(1)定义：如果e1和e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对该平面内任意一个向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基：把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基，记为{e1，e2}．1.设e1，e2是平面内所有向量的一组基，则下列四组向量中，不能作为基的是()A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2B[B中，∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基．]知识点2标准正交基若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基．在正交基下向量的线性表示称为正交分解．若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基．能不能作为基中的一个基向量？[提示]由于0与任何向量都是共线的，因此0不能作为基向量．2．平面向量的基唯一吗？[提示]不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为平面内所有向量的一组基．2.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基． ()(2)零向量不能作为基向量． ()(3)平面向量基本定理中基的选取是唯一的． ()(4)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，则a＝c，b＝d. ()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×类型1对向量基的理解【例1】下列关于基的说法正确的是()①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基；②基中的向量可以是零向量；③平面内的基一旦确定，该平面内的向量关于基的线性分解形式也是唯一确定的．A．①B．②C．①③D．②③C[由平面向量基本定理可知，只有①③是正确的．]考查两个向量是否能构成基，主要看两向量是否为非零向量且不共线．此外，一个平面的基一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基唯一线性表示出来．eq\a\vs4\al([跟进训练])1．若e1，e2是平面内的一组基，则下列四组向量能作为平面向量的基的是()A．e1－e2，e2－e1 B．2e1－e2，e1－eq\f(1,2)e2C．2e2－3e1，6e1－4e2 D．e1＋e2，e1－e2D[只有e1＋e2与e1－e2不共线，故选D.]类型2用基表示平面向量【例2】(教材北师版P95例1改编)如图所示，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，若eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，试以a，b为基表示eq\o(DE,\s\up8(→))，eq\o(BF,\s\up8(→)).[解]∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点，∴eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＝2eq\o(BE,\s\up8(→))，eq\o(BA,\s\up8(→))＝eq\o(CD,\s\up8(→))＝2eq\o(CF,\s\up8(→))，∴eq\o(BE,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)b，eq\o(CF,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)a.∴eq\o(DE,\s\up8(→))＝eq\o(DA,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BE,\s\up8(→))＝－eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BE,\s\up8(→))＝－b＋a＋eq\f(1,2)b＝a－eq\f(1,2)b，eq\o(BF,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CF,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(CF,\s\up8(→))＝b－eq\f(1,2)a.若本例中其他条件不变，设eq\o(DE,\s\up8(→))＝a，eq\o(BF,\s\up8(→))＝b，试以a，b为基表示eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→)).[解]取CF的中点G，连接EG.∵E、G分别为BC，CF的中点，∴eq\o(EG,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BF,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)b，∴eq\o(DG,\s\up8(→))＝eq\o(DE,\s\up8(→))＋eq\o(EG,\s\up8(→))＝a＋eq\f(1,2)b.又∵eq\o(DG,\s\up8(→))＝eq\f(3,4)eq\o(DC,\s\up8(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up8(→))，∴eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(4,3)eq\o(DG,\s\up8(→))＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))＝eq\f(4,3)a＋eq\f(2,3)b.又∵eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(BF,\s\up8(→))＋eq\o(FC,\s\up8(→))＝eq\o(BF,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up8(→))＝eq\o(BF,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))，∴eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＝b＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)a＋\f(2,3)b))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(4,3)b.应用平面向量基本定理时的关注点(1)充分利用向量的加法、减法的法则，在平行四边形、三角形中确定向量的关系．(2)应用数乘向量时特别注意线段的比例关系，如中点、三等分点等．(3)一个重要结论：设a、b是同一平面内的两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝x2，,y1＝y2.))eq\a\vs4\al([跟进训练])2．设M、N、P是△ABC三边上的点，它们使eq\o(BM,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(CN,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up8(→))，eq\o(AP,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up8(→))，若eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AC,\s\up8(→))＝b，试用a，b将eq\o(MN,\s\up8(→))、eq\o(NP,\s\up8(→))、eq\o(PM,\s\up8(→))表示出来．[解]如图，eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(CN,\s\up8(→))－eq\o(CM,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up8(→))－eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up8(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)b－eq\f(2,3)a.同理可得eq\o(NP,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b.eq\o(PM,\s\up8(→))＝－eq\o(MP,\s\up8(→))＝－(eq\o(MN,\s\up8(→))＋eq\o(NP,\s\up8(→)))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b.类型3平面向量基本定理的应用【例3】如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值．[解]设eq\o(BM,\s\up8(→))＝e1，eq\o(CN,\s\up8(→))＝e2，则eq\o(AM,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(CM,\s\up8(→))＝－3e2－e1，eq\o(BN,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CN,\s\up8(→))＝2e1＋e2.∵A，P，M和B，P，N分别共线，∴存在实数λ，μ使得eq\o(AP,\s\up8(→))＝λeq\o(AM,\s\up8(→))＝－λe1－3λe2，eq\o(BP,\s\up8(→))＝μeq\o(BN,\s\up8(→))＝2μe1＋μe2.故eq\o(BA,\s\up8(→))＝eq\o(BP,\s\up8(→))＋eq\o(PA,\s\up8(→))＝eq\o(BP,\s\up8(→))－eq\o(AP,\s\up8(→))＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.而eq\o(BA,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CA,\s\up8(→))＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＋2μ＝2，,3λ＋μ＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(4,5)，,μ＝\f(3,5)．))∴eq\o(AP,\s\up8(→))＝eq\f(4,5)eq\o(AM,\s\up8(→))，eq\o(BP,\s\up8(→))＝eq\f(3,5)eq\o(BN,\s\up8(→))，∴AP∶PM＝4，BP∶PN＝eq\f(3,2).1．在本例条件下，若eq\o(CM,\s\up8(→))＝a，eq\o(CN,\s\up8(→))＝b，试用a，b表示eq\o(CP,\s\up8(→)).[解]由例3解析知BP∶PN＝eq\f(3,2)，则eq\o(NP,\s\up8(→))＝eq\f(2,5)eq\o(NB,\s\up8(→))，eq\o(CP,\s\up8(→))＝eq\o(CN,\s\up8(→))＋eq\o(NP,\s\up8(→))＝eq\o(CN,\s\up8(→))＋eq\f(2,5)eq\o(NB,\s\up8(→))＝b＋eq\f(2,5)(eq\o(CB,\s\up8(→))－eq\o(CN,\s\up8(→)))＝b＋eq\f(4,5)a－eq\f(2,5)b＝eq\f(3,5)b＋eq\f(4,5)a.2．若本例中的点N为AC的中点，其它条件不变，求AP∶PM与BP∶PN的值．[解]如图，设eq\o(BM,\s\up8(→))＝e1，eq\o(CN,\s\up8(→))＝e2，则eq\o(AM,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(CM,\s\up8(→))＝－2e2－e1，eq\o(BN,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CN,\s\up8(→))＝2e1＋e2.∵A，P，M和B，P，N分别共线，∴存在实数λ，μ使得eq\o(AP,\s\up8(→))＝λeq\o(AM,\s\up8(→))＝－λe1－2λe2，eq\o(BP,\s\up8(→))＝μeq\o(BN,\s\up8(→))＝2μe1＋μe2.故eq\o(BA,\s\up8(→))＝eq\o(BP,\s\up8(→))＋eq\o(PA,\s\up8(→))＝eq\o(BP,\s\up8(→))－eq\o(AP,\s\up8(→))＝(λ＋2μ)e1＋(2λ＋μ)e2.而eq\o(BA,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CA,\s\up8(→))＝2e1＋2e2，由平面向量基本定理，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＋2μ＝2，,2λ＋μ＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(2,3)，,μ＝\f(2,3)．))∴eq\o(AP,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AM,\s\up8(→))，eq\o(BP,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BN,\s\up8(→))，∴AP∶PM＝2，BP∶PN＝2.1.事实上，母题探究2给出了三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1.，对向量eq\o(BA,\s\up8(→))算了两次，然后根据平面向量基本定理可知其对应向量系数相等，从而可得关于λ，μ的方程组，解方程组即得．这种方法叫“算两次”，是一种重要的数学方法．eq\a\vs4\al([跟进训练])3.如图，△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设eq\o(BA,\s\up8(→))＝a，eq\o(BC,\s\up8(→))＝c.(1)用a，c表示向量eq\o(AE,\s\up8(→))；(2)若点F在AC上，且eq\o(BF,\s\up8(→))＝eq\f(1,5)a＋eq\f(4,5)c，求AF∶CF.[解](1)∵eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))－eq\o(BA,\s\up8(→))＝c－a，∴eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(c－a)，∴eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)(c－a)＝eq\f(1,4)c－eq\f(3,4)a.(2)设eq\o(AF,\s\up8(→))＝λeq\o(AC,\s\up8(→))，∴eq\o(BF,\s\up8(→))＝eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\o(AF,\s\up8(→))＝eq\o(BA,\s\up8(→))＋λeq\o(AC,\s\up8(→))＝a＋λ(c－a)＝(1－λ)a＋λc.又eq\o(BF,\s\up8(→))＝eq\f(1,5)a＋eq\f(4,5)c，∴λ＝eq\f(4,5)，∴eq\o(AF,\s\up8(→))＝eq\f(4,5)eq\o(AC,\s\up8(→))，∴AF∶CF＝4∶1.1．(多选题)已知平行四边形ABCD，下列各组向量中，不是该平面内所有向量基的是()A．eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→)) B．eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(BC,\s\up8(→))C．eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(CB,\s\up8(→)) D．eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))ABC[结合图形及基的概念知只有D是基，故选ABC.]2.如图，已知eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AC,\s\up8(→))＝b，eq\o(BD,\s\up8(→))＝3eq\o(DC,\s\up8(→))，用a，b表示eq\o(AD,\s\up8(→))，则eq\o(AD,\s\up8(→))等于()A．a＋eq\f(3,4)bB．eq\f(1,4)a＋eq\f(3,4)bC．eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)bD．eq\f(3,4)a＋eq\f(1,4)bB[eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\f(1,4)a＋eq\f(3,4)b.]3．已知a，b不共线，若λa＋b＝－a＋μb，则