吉林省通化市梅河口五中高二下学期期中数学试卷（理科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016—2017学年吉林省通化市梅河口五中高二（下)期中数学试卷（理科）一、选择题（共12道小题,每小题5分,共60分）1．若复数z满足z（1+i)=4﹣2i（i为虚数单位），则｜z|=（）A． B． C． D．2．下列值等于1的积分是(）A．xdx B．（x+1）dx C．1dx D．dx3．已知Cn+17﹣Cn7=Cn8，那么n的值是(）A．12 B．13 C．14 D．154．某人射击一次击中的概率为0。6，经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为（)A． B． C． D．5．一组数据的平均数是2.8,方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都乘以2后再加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（）A．62.8，3。6 B．62.8，14.4 C．65。6，3.6 D．65。6，14。46．已知f（x)是定义在R上偶函数且连续，当x＞0时，f′（x)＜0,若f（lg（x)）＞f（1)，则x的取值范围是（)A．（，1) B．(0，）∪（1，+∞） C．（，10） D．（0，1)∪(10，+∞）7．设随机变量ξ～B(2,p），η～B(4，p），若，则P（η≥2）的值为（）A． B． C． D．8．过曲线y=x3+bx+c上一点A(1，2）的切线方程为y=x+1，则bc的值为(）A．﹣6 B．6 C．﹣4 D．49．两封信随机投入A，B，C三个空邮箱,则A邮箱的信件数ξ的数学期望Eξ=（）A． B． C． D．10．已知函数f（x)=x•sinx,x∈R,则及的大小关系是（）A． B． C． D．11．定义在R上的函数f（x)满足：f（x）+f′(x）＞1,f(0）=4，则不等式exf（x）＞ex+3（其中e为自然对数的底数)的解集为（)A．（0,+∞） B．（﹣∞,0）∪（3，+∞） C．（﹣∞，0)∪(0,+∞） D．(3,+∞)12．已知f(x）=x3﹣x2+ax+m,其中a＞0，如果存在实数t，使f′（t）＜0，则f′（t+2）•f′（）的值（)A．必为正数 B．必为负数 C．必为非负 D．必为非正二、填空题（共4道小题,每小题5分，共20分）13．（+x）（1﹣)6的展开式中x的系数是．14．把一枚硬币任意抛掷三次，事件A=“至少一次出现反面”，事件B=“恰有一次出现正面”，求P（B|A）=．15．若函数f（x）=lnx+x+﹣a有零点，则a的取值范围是．16．由正整数组成的一组数据x1,x2,x3，x4,其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为．(从小到大排列）三、解答题（共计70分，要求书写解答过程)17．已知（x+1)n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+an（x﹣1）n，(其中n∈N＊）．（1）求a0及sn=a1+a2+…+an；（2）试比较sn与（n﹣2）•2n+2n2的大小，并用数学归纳法给出证明过程．18．某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60％,参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响．（1）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；（2）任选3名下岗人员,记X为3人中参加过培训的人数,求X的概率分布和期望．19．已知函数f（x）=ax+lnx，x∈（Ⅰ）若a=1，求f（x）的最大值；（Ⅱ）若f(x）≤0恒成立，求a的取值范围．20．某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A、B、C、D、E五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格,则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试．已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A、B、C、D四项考试不合格的概率均为,参加第五项不合格的概率为，（1）求该生被录取的概率;（2）记该生参加考试的项数为X，求X的分布列和期望．21．已知函数f（x）=（x＞0）．（Ⅰ）试判断函数f（x）在(0，+∞）上单调性并证明你的结论；（Ⅱ）若f（x）＞对于∀x∈(0，+∞)恒成立，求正整数k的最大值；（Ⅲ）求证：（1+1×2）（1+2×3）（1+3×4）…＞e2n﹣3．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．如图，已知PE切圆O于点E，割线PBA交圆O于A，B两点,∠APE的平分线和AE、BE分别交于点C，D(Ⅰ)求证：CE=DE；（Ⅱ）求证:=．23．在直角坐标系xoy中,曲线C1的参数方程为，（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点,求点P到C2上点的距离的最小值．24．已知函数f（x）=｜2x﹣a｜+a．(1)若不等式f（x）≤6的解集为｛x|﹣2≤x≤3｝，求实数a的值；（2)在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f(﹣n)成立，求实数m的取值范围．

2016-2017学年吉林省通化市梅河口五中高二(下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12道小题,每小题5分,共60分)1．若复数z满足z（1+i)=4﹣2i（i为虚数单位），则｜z|=（）A． B． C． D．【考点】A8：复数求模．【分析】把已知的等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算．【解答】解：由z（1+i)=4﹣2i，得，∴．故选：D．2．下列值等于1的积分是（）A．xdx B．（x+1）dx C．1dx D．dx【考点】69：定积分的简单应用．【分析】分别求出被积函数的原函数，然后根据定积分的定义分别计算看其值是否为1即可．【解答】解：选项A，xdx=x2=，不满足题意;选项B,（x+1）dx=(x2+x）=+1=，不满足题意；选项C,1dx=x=1﹣0=1，满足题意；选项D，dx=x=﹣0=，不满足题意；故选C．3．已知Cn+17﹣Cn7=Cn8，那么n的值是（)A．12 B．13 C．14 D．15【考点】D5：组合及组合数公式．【分析】根据题意，由组合数的性质,可得Cn8+Cn7=Cn+18,即Cn+17=Cn+18，再结合组合数的性质，分析可得答案．【解答】解：根据题意，Cn+17﹣Cn7=Cn8，变形可得，Cn+17=Cn8+Cn7，由组合数的性质，可得Cn8+Cn7=Cn+18，即Cn+17=Cn+18，进而可得8+7=n+1，解可得n=14，故选C．4．某人射击一次击中的概率为0。6,经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（)A． B． C． D．【考点】CA：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】本题是一个n次独立重复试验恰好发生k次的概率,至少有两次击中目标包括两次击中目标或三次击中目标,这两种情况是互斥的，根据独立重复试验概率公式和互斥事件的概率公式得到结果．【解答】解：由题意知，本题是一个n次独立重复试验恰好发生k次的概率，射击一次击中的概率为0.6，经过3次射击,∴至少有两次击中目标包括两次击中目标或三次击中目标，这两种情况是互斥的，∴至少有两次击中目标的概率为C320。62×0。4+C330.63==故选A．5．一组数据的平均数是2.8，方差是3。6，若将这组数据中的每一个数据都乘以2后再加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（)A．62.8，3.6 B．62。8，14.4 C．65.6，3。6 D．65。6，14。4【考点】BB：众数、中位数、平均数；BC：极差、方差与标准差．【分析】首先写出原来数据的平均数表示式和方差的表示式，把数据都乘以2后再加上60，再表示出新数据的平均数和方差的表示式，两部分进行比较，得到结果．【解答】解：设这组数据分别为x1,x2，xn，则=（x1+x2+…+xn），方差为s2==3.6，每一组数据都乘以2后再加上60,′=（2x1+2x2+…+2xn+60n）=2+60=2。8×2+60=65.6，方差s′2═=4［]=4s2=4×3.6=14.4．故选D6．已知f(x）是定义在R上偶函数且连续,当x＞0时，f′(x）＜0,若f(lg（x)）＞f（1)，则x的取值范围是(）A．(，1） B．(0,）∪（1，+∞) C．(,10） D．（0，1）∪（10,+∞）【考点】3N：奇偶性与单调性的综合；4O:对数函数的单调性与特殊点．【分析】由已知中函数f（x）是定义在R上偶函数且连续,当x＞0时，f′（x)＜0，结合函数单调性与导数的关系及偶函数在对称区间上单调性相反,我们可以判断出函数的单调性，进而将不等式f（lg（x）)＞f（1），转化为一个对数不等式,再根据常用对数的单调性，即可得到答案．【解答】解：∵f（x）是定义在R上偶函数当x＞0时,f′（x）＜0，此时函数为减函数则x＜0时,函数为增函数若f（lg（x））＞f（1），则﹣1＜lg（x）＜1则＜x＜10故选C．7．设随机变量ξ～B（2，p）,η~B（4，p），若，则P（η≥2）的值为（）A． B． C． D．【考点】CN：二项分布与n次独立重复试验的模型．【分析】根据随机变量ξ～B(2,p），，写出概率的表示式，求出其中P的值,把求得的P的值代入η～B（4,p），求出概率．【解答】解：∵随机变量ξ～B(2，p)，，∴1﹣p0•（1﹣p)2=，∴P=，∴η～B（4，)，∴P（η≥2）=+=,故选B．8．过曲线y=x3+bx+c上一点A（1，2）的切线方程为y=x+1,则bc的值为(）A．﹣6 B．6 C．﹣4 D．4【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由点A(1，2）在曲线上,和点A处的导数值为1可建立关于b、c的方程组，解之代入可得答案．【解答】解：求导可得y′=3x2+b，由题意可得，解得，则bc=﹣6．故选A．9．两封信随机投入A，B，C三个空邮箱,则A邮箱的信件数ξ的数学期望Eξ=（）A． B． C． D．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】先求出两封信随机投入A，B，C三个空邮箱的所有情况，再求出投入A邮箱的信件数分别是0，1，2的情况及其概率，进而即可得出数学期望．【解答】解：两封信随机投入A,B，C三个空邮箱,共有32=9种情况．则投入A邮箱的信件数ξ的概率P(ξ=2）==,P（ξ=1）==,∴P(ξ=0)=1﹣P（ξ=2）﹣P（ξ=1）=．∴其分布列为：∴Eξ=0+1×+=．故选B．10．已知函数f（x）=x•sinx，x∈R，则及的大小关系是(）A． B． C． D．【考点】H5：正弦函数的单调性．【分析】判断函数f(x）=xsinx是偶函数，推出f()=f（），利用导数说明函数在时，得y′＞0,函数是增函数，从而判断三者的大小．【解答】解：因为y=xsinx,是偶函数，所以f（)=f(），又x∈时，得y′=sinx+xcosx＞0，所以此时函数是增函数,所以＜f（1)＜故选C．11．定义在R上的函数f（x）满足：f（x)+f′(x）＞1,f（0)=4，则不等式exf（x）＞ex+3（其中e为自然对数的底数)的解集为（）A．（0,+∞） B．（﹣∞，0）∪（3，+∞） C．（﹣∞，0）∪(0,+∞） D．（3，+∞)【考点】6B：利用导数研究函数的单调性;63:导数的运算．【分析】构造函数g（x）=exf（x）﹣ex，(x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值,即可求解【解答】解：设g（x）=exf(x)﹣ex，（x∈R）,则g′(x）=exf（x）+exf′（x)﹣ex=ex,∵f（x)+f′（x）＞1,∴f（x）+f′(x）﹣1＞0，∴g′(x）＞0，∴y=g（x)在定义域上单调递增，∵exf(x）＞ex+3，∴g（x)＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．12．已知f（x）=x3﹣x2+ax+m，其中a＞0,如果存在实数t，使f′(t）＜0,则f′（t+2）•f′()的值(）A．必为正数 B．必为负数 C．必为非负 D．必为非正【考点】63:导数的运算．【分析】先对f(x）求导，由已知条件a＞0,如果存在实数t，使f'(t）＜0，求出t与a的取值范围，进而比较出、f′（t+2）与0的关系，从而得出答案．【解答】解：∵，∴f′（x）=x2﹣2x+a．∵存在实数t，使f'（t)＜0，a＞0,∴t2﹣2t+a＜0的解集不是空集，∴△=4﹣4a＞0，解得a＜1,因此0＜a＜1．令t2﹣2t+a=0,解得，∴t2﹣2t+a＜0的解集是{x｜0＜＜2｝．∵f′（t+2）=(t+2）2﹣2（t+2)+a=t（t+2）+a，∴f′（t+2）＞0；∵==，∵==≥0，∴，∴＜0,故选B．二、填空题（共4道小题,每小题5分，共20分）13．（+x）（1﹣）6的展开式中x的系数是31．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】求出（1﹣）6的展开式,可得（+x）(1﹣）6的展开式中x的系数．【解答】解：∵(1﹣）6=•+•+…+•，∴(+x)（1﹣）6的展开式中x的系数是2×+1=31，故答案为:31．14．把一枚硬币任意抛掷三次，事件A=“至少一次出现反面”，事件B=“恰有一次出现正面",求P(B｜A）=．【考点】CM：条件概率与独立事件．【分析】由题意，先计算P（AB），P（A），再利用条件概率公式，即可求得结论．【解答】解：由题意,P(AB）==，P（A）=1﹣=∴P（B｜A）===故答案为:15．若函数f（x)=lnx+x+﹣a有零点,则a的取值范围是=k2k+1+2（k+1)2+而（k﹣3）2k+4k2﹣4k﹣2=(k﹣3）2k+4（k2﹣k﹣2）+6=（k﹣3）2k+4（k﹣2）（k+1）+6＞0∴3k+1＞（(k+1)﹣1）2k+1+2（k+1）2即n=k+1时结论也成立,…∴当n≥4时，3n＞(n﹣1）2n+2n2成立．…18．某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训,已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75％,假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响．（1）任选1名下岗人员,求该人参加过培训的概率；（2）任选3名下岗人员,记X为3人中参加过培训的人数，求X的概率分布和期望．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH:离散型随机变量的期望与方差．【分析】任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训"为事件A,“该人参加过计算机培训”为事件B,由事件A,B相互独立，且P（A)=0.6，P（（B)=0.75．(1）任选1名下岗人员,该人没有参加过培训的概率是：P1==．利用对立事件的概率计算公式即可该人参加过培训的概率是P2=1﹣P1．（2）因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数X服从二项分布B（3,0.9）．利用二项分布的概率计算公式即可得出．【解答】解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A,“该人参加过计算机培训”为事件B，由题意知,事件A，B相互独立，且P（A)=0.6，P(（B）=0.75．(1）任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是：P1===0.4×0。25=0.1．所以该人参加过培训的概率是P2=1﹣P1=1﹣0。1=0。9．（2）因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数X服从二项分布B（3，0.9）．P（X=k）=（k=0，1，2，3）．即X的概率分布列如下表：∴E（X)=3×0。9=2。7．19．已知函数f（x）=ax+lnx,x∈（Ⅰ）若a=1，求f（x）的最大值；（Ⅱ)若f（x）≤0恒成立，求a的取值范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】(Ⅰ）求导数f′(x)，易判断x∈时f′（x）的符号，从而得到函数f（x）的单调性，根据单调性即可求得函数的最大值；(Ⅱ）要使x∈，f（x）≤0恒成立，只需x∈时，f（x)max≤0，问题转化为求函数的最大值,当a≥0时，由单调性易求最大值;当a＜0时,利用导数可求得极值点﹣，再按照极值点在区间的左侧、内部、右侧三种情况进行讨论，由单调性可求得最大值，令最大值小于等于0可求得a的范围;【解答】解：（Ⅰ)若a=1，则f(x）=x+lnx，=，∵x∈，∴f′（x)＞0，∴f(x）在上为增函数，∴f（x）max=f（e)=e+1;（Ⅱ）要使x∈，f（x）≤0恒成立，只需x∈时，f（x）max≤0,显然当a≥0时，f（x）=ax+lnx在上单增,∴f（x）max=f（e）=ae+1＞0，不合题意；当a＜0时，f′（x）=a+=，令f′（x）=0，，当时，f′(x）＞0，当时，f′（x）＜0，①当时，即a≤﹣1时，f(x）在上为减函数，∴f（x）max=f(1）=a＜0,∴a≤﹣1；②当时,即时,f(x）在上为增函数，∴，∴;③当时,即时,f（x）在上单增，f（x）在上单减，∴,∵，∴，∴成立；由①②③可得．20．某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A、B、C、D、E五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试．已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A、B、C、D四项考试不合格的概率均为，参加第五项不合格的概率为，(1）求该生被录取的概率；（2)记该生参加考试的项数为X，求X的分布列和期望．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH:离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）该生被录取，则必须答对前四项中的三项和第五项或者答对所有的项．（2）分析此问题时要注意有顺序,所以X的所有取值为：2，3，4，5．分别计算其概率得出分布列，以及它的期望值．【解答】解：（1）该生被录取，则A、B、C、D四项考试答对3道或4道，并且答对第五项．所以该生被录取的概率为P==,（2）该生参加考试的项数X的所有取值为:2，3，4,5．P（X=2）=×=；P（X=3）=C•••=；P（X=4）=C••（）2•=;P（X=5）=1﹣﹣﹣=．该生参加考试的项数ξ的分布列为:X2345PEX=2×+3×+4×+5×=．21．已知函数f(x）=（x＞0）．（Ⅰ）试判断函数f（x）在(0，+∞）上单调性并证明你的结论；（Ⅱ)若f（x）＞对于∀x∈（0，+∞）恒成立，求正整数k的最大值；（Ⅲ）求证:（1+1×2)（1+2×3）（1+3×4)…＞e2n﹣3．【考点】R6：不等式的证明．【分析】(Ⅰ）对函数f（x）求导数,可判f′（x)＜0,进而可得单调性；(Ⅱ)问题转化为h（x）=＞k恒成立,通过构造函数可得h（x）min∈（3，4），进而可得k值；(Ⅲ）由（Ⅱ）知＞(x＞0），可得ln（x+1）＞2﹣，令x=n（n+1)（n∈N＊）,一系列式子相加，由裂项相消法可得ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln＞2n﹣3，进而可得答案．【解答】(Ⅰ）解:∵f(x）=(x＞0）,∴f′(x）=﹣[+ln（x+1)]…∵x＞0，∴x2＞0，＞0，ln（x+1）＞0,∴f′（x）＜0，∴函数f(x）在（0，+∞)上是减函数．…（Ⅱ）解：f（x)＞恒成立，即h（x）=＞k恒成立，即h（x）的最小值大于k．…而h′（x）=，令g（x）=x﹣1﹣ln(x+1)(x＞0），则g′(x）=＞0,∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，又g（2）=1﹣ln3＜0,g(3）=2﹣2ln2＞0,∴g（x）=0存在唯一实根a，且满足a∈（2，3），a=1+ln（a+1）当x＞a时,g(x)＞0，h′（x）＞0，当0＜x＜a时，g(x)＜0，h′（x)＜0，∴h（x)min=h（a）=a+1∈(3，4)故正整数k的最大值是3…（Ⅲ）证明:由(Ⅱ）知＞（x＞0）∴ln(x+1）＞•x﹣1=2﹣＞2﹣…令x=n(n+1）（n∈N＊），则ln＞2﹣，∴ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln＞（2﹣）+(2﹣）+…+=2n﹣3［++…+］=2n﹣3（1﹣）=2n﹣3+＞2n﹣3∴（1+1×2）（1+2×3）…＞e2n﹣3…请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．如图，已知PE切圆O于点E，割线PBA交圆O于A,B两点，∠APE的平分线和AE、BE分别交于点C，D(Ⅰ）求证:CE=DE；(Ⅱ)求证：=．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）通过弦切角定理以及角的平分线,直接证明三角形是等腰三角形，即可证明CE=DE；(Ⅱ)利用切割线定理以及角的平分线定理直接求证:=即可．【解答】证明:（Ⅰ）∵PE切圆O于E，∴∠PEB=∠A，又∵PC平分∠APE，∴∠CPE=∠CPA，∴∠PEB+∠CPE=∠A+∠CPA,∴∠CD