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~ 《线性代数A（B）》课程试卷（H）参考答案及评分标准 1：负

5 3：有可能；4：不能5：P与QAPBQ，PP1AP存在可逆矩阵CBCTAC（ 1111111111111

11

11111111111111111 1n 1

n1n11a 000000000a(1n1a（8分

i1

（102AA*

0ABA1BA13EB00解：由ABA1BA13E 得ABB3A (AE)B3A （2分）因此B3(AE)1A3(A1(AE))13(EA1)1 （4分）又AA1

1A*A

A3A* A 分

2 2

0

0

0E

133 133

0B0

0000

2x1x2x3x12x2x3x1x22x3

2

（4方程要有解，则220从而2或 当2

x

c

2 x 3 当1

x

c

2 x 3

A

4 4

A的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量组的列向量用最大 4 1 4 4 0 1 3解：A

0

0因此最大无关组为1、2、4列， a3a1 a54a13a2 《线性代数试卷 第3页共6f2x1x22x1x32x1x42x2x32x2x42x3

1A11

11 0AE3)(1)2从而特征值为13,234 11 1当3时，解方程A3Ex0ξ

，单位化得p 1

1 1

11 1当1时，解方程组(AE)x0得基础解系为ξ

0,

0 0

1

1 1 12 2 单位化得p2 ,p3 ,p42 2 1 2x 1 1y1所以所求的正交变换为x2

2

2 （9x

yx3

2y34 142 2 且f3y2y2y2y

Vα(ax2axa)ex|a,a.a 1α1x α

xex αe3解：因 Dα12xexx3Dα2ex

Dα3e 1 1

（8

（10011 011 四、证明题（要求运用课本的定理与定义写出完整的证明过程。本大题共两个小题，每小题5分，共10分）1、设η*是非齐次线性方程组Axb的一个解，ξ1,ξ2 个基础解系，证明η*,ξ1,ξ ξnr线性无关证明：设有η*ξξ （1分 1 2 nr两边左乘矩阵A得到0Aη*Aξ2Aξ2 nrAξnr 0b0，0 从而又得到1ξ12ξ2 nr

0

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