七年级数学上册专题3.3 一元一次方程应用二（知识解读）（解析版）

/专题3.3一元一次方程应用二（知识解读）【直击考点】【学习目标】进一步经历运用方程解决实际问题的过程。2、提高学生找等量关系列方程的能力。3、培养学生的抽象、概括、分析和解决问题的能力。【知识点梳理】类型1分配问题类型2配套问题类型3数字与日历问题类型4方案选择问题【典例分析】【考点1分配问题】【典例1】（2022春•沙坪坝区校级期中）学校在举办“读书月”的活动中，将一些图书分给了七年级一班的学生阅读，如果每人分2本，则剩余15本；如果每人分3本，则还缺20本．若设该校七年级一班有学生x人，则下列方程正确的是（）A．2x+15＝3x﹣20 B．2x﹣15＝3x+20 C．2x﹣15＝3x﹣20 D．2x+15＝3x+20【答案】A【解答】解：可列方程为2x+15＝3x﹣20．故选：A．【变式1-1】（2022•长沙开学）几个人共同种一批树苗，如果每人种6棵，则剩下3棵树苗未种；如果每人种8棵，则缺5棵树苗．若设参与种树的人数为x人，则下面所列方程中正确的是（）A．6x+3＝8x+5 B．6x﹣3＝8x+5 C．6x+3＝8x﹣5 D．6x﹣3＝8x﹣5【答案】C【解答】解：设参与种树的人数为x人，由题意得：6x+3＝8x﹣5，故选：C．【变式1-2】（2022春•徐汇区校级期中）一个班的学生分成x个小组，若每组8人，则有一组多2人；若每组9人，则有一组少4人，根据题意列方程（）A．8x+2＝9x+4 B．8x﹣2＝9x+4 C．8x+2＝9x﹣4 D．8x﹣2＝9x﹣4【答案】C【解答】解：根据题意可得：8x+2＝9x﹣4．故选：C．【变式1-3】（2022春•临汾期末）某寄宿制学校，开学安排宿舍时，如果每间宿舍安排4人，将会空出5间宿舍；如果每间宿舍安排3人，就会有100人没床位．问该校有多少学生住宿？如果设该校有x人住宿，那么依题意可以列出的方程（）A．+5＝ B．+5＝ C．﹣5＝ D．﹣5＝【答案】B【解答】解：设该校有x人住宿，根据题意得：．故选：B．【考点2配套问题】【典例2】（2021秋•石城县期末）石城县矿山机械设备闻名省内外．在某矿山机械设备车间工人正在紧张地按订单进度进行生产，若每人每天平均可以生产轴承12个或者轴杆16个，1个轴承与2个轴杆组成一套，该车间共有90人，应该怎样调配人力，才能使每天生产的轴承和轴杆正好配套？【解答】解：设x个人加工轴承，（90﹣x）个人加工轴杆，才能使每天生产的轴承和轴杆正好配套，根据题意得：12x×2＝16（90﹣x），去括号得：24x＝1440﹣16x，移项合并得：40x＝1440，解得：x＝36．90﹣x＝90﹣36＝54．答：调配36个人加工轴承，54个人加工轴杆，才能使每天生产的轴承和轴杆正好配套．【变式2-1】（2022•上思县模拟）某车间有18名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓24个或螺母36个，1个螺栓需要配2个螺母，若安排m名工人生产螺栓时每小时生产的螺栓和螺母刚好配套，那么可列方程为（）A．24×m＝36×（18﹣m）×2 B．24×（18﹣m）＝36×m×2 C．24×m×2＝36×（18﹣m） D．24×（18﹣m）×2＝36×m【答案】C【解答】解：∵该车间有18名工人生产螺栓和螺母，且安排m名工人生产螺栓，∴安排（18﹣m）名工人生产螺母．依题意得：24×m×2＝36×（18﹣m）．故选：C．【变式2-2】（2022春•泰山区校级月考）某车间有28名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母12个或螺栓22个．若分配多少名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套．【解答】解：设分配x名工人生产螺栓，则分配（28﹣x）名工人生产螺母，依题意得：2×22x＝12（28﹣x），解得：x＝6．答：分配6名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套．【变式2-3】（2021秋•头屯河区期末）某车间有38名工人，每人每天可以生产1200个甲型零件或2000个乙型零件．2个甲型零件要配3个乙型零件，为使每天生产的两种型号的零件刚好配套，应安排生产甲型零件和乙型零件的工人各多少名？【解答】解：设生产甲种零件的工人有x人，则生产乙种零件的工人有（38﹣x）人，1200x×3＝2000（38﹣x）×2，解得，x＝20，∴38﹣x＝38﹣20＝18，答：安排生产甲、乙两种零件的工人分别为20人、18人．【考点3数字与日历问题】【典例3】（2017秋•越秀区校级期中）如图1是2017年10月的日历．（1）如图1所示，用一个圈竖着圈住3个数，若被圈住的三个数的和为60，则这三个数分别为：．（2）在任意圈出一竖列的三个数中，若k为最大数减去其它两数的和，则k与这三个数中的中间那个数的和是否与所圈的数值无关？为什么？（3）如图1所示，若任意圈一个十字框，设一个十字框里的五个数为a、b、c、d、e，具体见如图2，若a+b+c+d＝48，e的值为．（4）如图1所示，若任意圈一个十字框，设一个十字框里的五个数为a、b、c、d、e，具体见如图2，是否存在e的值，使得a+b+c+d＝100，请说明理由．【解答】解：（1）设这三个数中中间的数为x，则另外两个数分别为x﹣7、x+7，根据题意得：x﹣7+x+x+7＝60，解得：x＝20，∴x﹣7＝13，x+7＝27．故答案为：13、20、27．（2）根据题意得：k＝x+7﹣（x﹣7+x）＝14﹣x，∴k+x＝14﹣x+x＝14，∴k与这三个数中的中间那个数的和与所圈的数值无关．（3）观察表1可知：a＝e﹣7，b＝e﹣1，c＝e+7，d＝e+1，∴a+b+c+d＝（e﹣7）+（e﹣1）+（e+7）+（e+1）＝4e＝48，∴e＝12．故答案为：12．（4）不存在，理由如下：假设存在，根据题意得：4e＝100，解得：e＝25，∴e+7＝32，∵32＞31，∴假设不成立，∴不存在e的值，使得a+b+c+d＝100．【变式3-1】（2018秋•高港区校级月考）观察某月日历，回答下列问题：（1）观察图中的阴影部分9个数，你知道它们之间有什么关系吗？写出你认为正确的2个结论．（2）小强一家外出游玩了5天，这5天的日期之和是75，小强一家是几号外出的？【解答】解：（1）由图形可得：①上下相差7；②左右相差1．（2）设小强一家x号外出，根据题意得：x+x+1+x+2+x+3+x+4＝75，解得：x＝13．答：小强一家是13号外出．【变式3-2】（2022春•古县期末）2022年是共青团建团100周年.1922年5月5日，中国社会主义青年团第一次全国代表大会在广州召开，标志中国青年团组织的正式成立．从此，青年团作为中国共产党的助手和后备军，在党的领导下团结带领全国各族青年，积极投身到振兴中华，实现中华民族伟大复兴的事业中．在5月日历表上随意用一个正方形方框圈出4个数（如图所示），若圈出的这四个数的和是64，求这个最小数（请用方程知识解答）．【解答】解：设这个最小数为x，其他三个数分别为：（x+1），（x+7），（x+8），依题意得：x+x+1+x+7+x+8）＝64，整理得：4x＝48，解得：x＝12，答：这个最小数为4．【变式3-3】（汨罗市期中）（1）小明同学在某月的日历上圈出2×2个数，正方形的方框内的4个数的和是32，那么第1个数m是．（2）玛丽也在上面的日历上圈出2×2个数，斜框内的4个数的和是（用含a的代数式表示）；（3）某月有5个星期日的和是75，则这个月中最后1个星期日是号；（4）变式拓展：若干个偶数按每行8个数排成如图：①如图①，长方形方框内的9个数的和为180．②如图②，小丽所画的斜框内9个数，若它们的和为n，则中间的数△为（用含n的代数式表示）．【解答】解：（1）∵第1个数为m，∴另外3个数分别为m+1，m+7，m+8．∵4个数的和是32，∴m+（m+1）+（m+7）+（m+8）＝32，解得：m＝4．故答案为：4．（2）∵第1个数为a，∴另外3个数分别为a+1，a+6，a+7，∴4个数之和为a+（a+1）+（a+6）+（a+7）＝4a+14．故答案为：4a+14．（3）设第1个星期日是x号，则另外4个星期日分别是x+7，x+14，x+21，x+28号，根据题意得：x+（x+7）+（x+14）+（x+21）+（x+28）＝75，解得：x＝1，∴x+28＝29．故答案为：29．（4）①2+4+6+18+20+22+34+36+38＝180．故答案为：180．②设中间数为y，则另外8个数分别为y﹣16，y﹣14，y﹣12，y﹣2，y+2，y+12，y+14，y+16，根据题意得：（y﹣16）+（y﹣14）+（y﹣12）+（y﹣2）+y+（y+2）+（y+12）+（y+14）+（y+16）＝n，解得：y＝．故答案为：．【典例4】（2021秋•高新区校级期末）《探寻神奇的幻方》一课的学习激起了小杨的探索兴趣，他在如图的3×3方格内填入了一些表示数的代数式．若图中各行、各列及对角线上的各数之和都相等，则x+y的值为（）A．﹣2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解答】解：依题意得：﹣2+y+4＝0+y+2y，解得：y＝1，∴x+y＝4+2y＝4+2×1＝6．故选：C．【变式4-1】（2021秋•霸州市期末）如图，在2022年2月的日历表中用优美的“”形框住五个数，框出1，3，8，10，16五个数，它们的和为38，移动“”的位置又框出五个数，已知这五个数的和是53，则它们中最小两个数的和是（）A．9 B．10 C．11 D．19【答案】B【解答】解：设最小的数是x，则x+x+2+x+7+x+9+x+15＝53．解得x＝4．所以x+x+2＝10．即它们中最小两个数的和是10．故选：B．【变式4-2】（2022春•诸暨市期末）如图，现有3×3的方格，每个小方格内均有不相同的个位数字，要求方格内每一行每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，记三个数字之和为P，则P的值为（）A．21 B．24 C．27 D．15【答案】D【解答】解：个位数字由1到9，它们的和是：（1+9）×9÷2＝45共有三列，和又相等，故每三个数的和是45÷3＝15．故选：D．【考点4方案选择问题】【典例5】（2021秋•息县期末）2021年“双十一”期间，很多国货品牌受到人们的青睐，销量大幅增长．某平台的体育用品旗舰店实行优惠销售，规定如下：对原价160元/件的某款运动速干衣和20元/双的某款运动棉袜开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．方案A：买一件运动速干衣送一双运动棉袜；方案B：运动速干衣和运动棉袜均按9折付款．某户外俱乐部准备购买运动速干衣30件，运动棉袜x双（x≥30）．（1）若该户外俱乐部按方案A购买，需付款元（用含x的式子表示）；若该户外俱乐部按方案B购买，需付款元（用含x的式子表示）；（2）若x＝40，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算；（3）当购买运动棉袜多少双时两种方案付款相同．【解答】解：（1）按方案A购买，需付款：30×1600+20（x﹣30）＝20x+4200，即需要付款（20x+4200）元；按方案B购买，需付款：30×160×0.9+20×0.9x＝18x+4320，即需要付款（18x+4320）元．故答案是：（20x+4200），（18x+4320）；（2）当x＝40时，方案A：20×40+4200＝5000（元）．方案B：18×40+4320＝5040（元）．因为5000＜5040，所以按方案A购买较为合算；（3）根据题意，得20x+4200＝18x+4320．解得x＝60．答：当购买运动棉袜60双时，两种方案付款相同．【变式5-1】（2021秋•黔西南州期末）小商品批发市场内，某商品的价格按如下优惠：购买不超过300件时，每件3元；超过300件但不超过500件时，每件2.5元；超过500件时，每件2元．某客户欲采购这种小商品700件．（1）现有两种购买方案：①分两次购买，第一次购买200件，第二次购买500件；②一次性购买700件．按哪种方案购买更省钱？说明理由．（2）若该客户分两次购买该商品共700件（第一次购买不超过300件），共付费1860元，求第一次和第二次分别购买该商品多少件．【解答】解：（1）购买方案②费用较省，理由如下：购买方案①所需费用为3×200+2.5×500＝1850（元），购买方案②所需费用为2×700＝1400（元）．∵1850＞1400，∴购买方案②费用较省．（2）设第一次购买该商品x件，则第二次购买该商品（700﹣x）件．①当0＜x＜200时，3x+2（700﹣x）＝1860，解得：x＝460（不合题意，舍去）；②200≤x≤300时，3x+2.5（700﹣x）＝1860，解得：x＝220，∴700﹣x＝700﹣220＝480．答：第一次购买该商品220件，第二次购买该商品480件．【变式5-2】（2021秋•南昌县期末）为了庆祝商都正式营业，商都推出了两种购物方案，方案一：非会员购物所有商品价格可获得九五折优惠：方案二：如交纳300元会费成为该商都会员，则所有商品价格可获九折优惠．（1）以x（元）表示商品价格，分别用含有x的式子表示出两种购物方案中支出金额．（2）若某人计划在商都买价格为5000元的电视机一台，请分析选择哪种方案更省钱？（3）哪种情况下，两种方案下支出金额相同？【解答】解：（1）方案一支出金额：0.95x元，方案二支出金额：（300+0.9x）元；（2）买价格为5000元的电视机，方案一支出金额：0.95x＝0.95×5000＝4750（元）