人教选修21数学311空间向量及其加减运算

空间向量及其加减运算AB用字母

等或者用有向线段的起点与终点字母表示．⒈定义：既有大小又有方向的量叫向量．几何表示法：用有向线段表示；字母表示法：相等的向量：长度相等且方向相同的向量．ABCD

复习2平面向量的加减法与数乘运算（1）向量的加法：平行四边形法则三角形法则

复习（2）向量的减法三角形法则3平面向量的加法运算律加法交换律：加法结合律：

复习平面向量概念加法减法运算运算律定义表示法相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量的加法、减法运算空间向量具有大小和方向的量加法交换律加法结合律加法交换律加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则加法结合律成立吗？ababab+OABbC空间向量的加减法abOABba结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们平面向量概念加法减法运算运算律定义表示法相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量的加法、减法运算空间向量具有大小和方向的量加法交换律加法结合律加法交换律加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则加法结合律成立吗？abcab+c+()OABCab+abcab+c+()OABCbc+加法结合律（1）加法交换律：（2）加法结合律：abcabcabcabcabbc空间向量的加法、减法运算对空间向量的加法、减法的说明⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广．⒉两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．⒊空间向量的加法运算可以推广至若干个向量相加．

说明（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：

推广（2）首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：

推广A’B’C’D’ABCDa平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．平行四边形ABCD平移向量a到的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD—

．

平行六面体ABCDA’B’C’D’例

例题解：ABCDA’B’C’D’

例题ABMCGD空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD边的中点,化简：

练习ABMCGD(2)原式

练习参考答案312空间向量的数乘运算———共线向量与共面向量平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义表示法相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量具有大小和方向的量数乘:a,为正数,负数,零加法交换律加法结合律数乘分配律加法交换律数乘分配律加法结合律类比思想数形结合思想数乘:a,为正数,负数,零回顾回顾aOBb结论：空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量ba一、空间向量数乘运算1实数与空间向量的乘积仍然是一个向量当时，当时，与向量方向相同；与向量方向相同；是零向量当时，（1）方向：（2）大小：的长度是的长度的倍2空间向量的数乘运算满足分配律及结合律问题：平面向量中，的充要条件是：存在唯一的实数，使能否推广到空间向量中呢？零向量与任意向量共线二、共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作作用：由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题共线向量定理:对空间任意两个向量，。存在实数λ,使如图，l为经过已知点A且平行已知非零向量的直线，a对空间任意一点O,所以即若在l上取则有①和②都称为空间直线的向量表示式，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一决定由此可判断空间任意三点共线。alABPO若点P是直线l上任意一点，则由知存在唯一的t,满足①②因为所以特别的，当t=时，则有aABPO进一步，t1-tP点为A,B的中点练习1.对于空间任意一点O，下列命题正确的是：A.若，则P、A、B共线B.若，则P是AB的中点C.若，则P、A、B不共线D.若，则P、A、B共线A、B、P三点共线AOABP三、共面向量:1共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量既可能共面，也可能不共面dbac如果空间向量与两不共线向量，共面，那么可将三个向量平移到同一平面，则有那么什么情况下三个向量共面呢？反过来，对空间任意两个不共线的向量，，如果，那么向量与向量,有什么位置关系？C2共面向量定理：如果两个向量，不共线，则向量与向量，共面的充要条件是存在实数对,y使推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对,y,使C对空间任一点O,有填空：1--yyC③式称为空间平面ABC的向量表示式，空间中任意平面由空间一点及两个不共线的向量唯一确定③作用：由此可判断空间任意四点共面P与A,B,C共面例1已知A、B、C三点不共线，对于平面ABC外的任一点O，确定在下列各条件下，点P是否与A、B、C一定共面？例2如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD，在四条射线上分别取点E、F、G、H，并且使求证：⑴四点E、F、G、H共面；⑵平面EG//平面AC

OBAHGFECD

共线向量

共面向量定义向量所在直线互相平行或重合平行于同一平面的向量,叫做共面向量.定理推论运用判断三点共线，或两直线平行判断四点共线，或直线平行于平面小结共面1.回顾1.回顾平面向量向量知识：平行向量或共线向量？怎样判定向量b与非零向量a是否共线？方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量.由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b=λa

,称平面向量共线定理.1.回顾2.必修④《平面向量》，平面向量的一个重要定理——平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．1.回顾

例如:2空间向量的数乘运算2空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算满足分配律及结合律FEDCBAOLAPB3.向量的平行与重合点P在直线L上点P在直线L上AMCGDB4.例题1已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的的值ABCDA1B1C1D14.例题1在正方体AC1中,点E是面AC’的中心,若，求实数,yABCDDCBAE4.例题2共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量OA5.共面向量

共面向量定理:如果两个向量不共线,则向量P与向量共面的充要条件是存在实数对使

推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x,y使

OP=xAB+yAC或对空间任一点O,有

OP=OA+xAB+yAC已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量，，，求证：1

四点E、F、G、H共面；2平面EG∥平面ACHGFEODCBA6.例题4ABMCGD空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD边的中点,化简：7.练习1ABMCGD(2)原式空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD边的中点,化简：7.练习1AB