第二章-点直线平面的投影修改讲解

第二章-点直线平面的投影修改讲解第一页，共213页。问题的提出如何用二维平面图反映三维空间物体？解决要求：一一对应性直观性度量性第一页第二页，共213页。

光源——投影中心

光线——投射线

把预设的平面——投影面

在预设平面上所得到的图形——该物体在此平面上的影子－投影投影法由来第二页第三页，共213页。光源光线被投影物体影子地面new成影现象:第三页第四页，共213页。投影法的分类投影法中心投影法平行投影法正投影斜投影第四页第五页，共213页。S中心投影投射线被投影物体投影面Hnew中心投影:第五页第六页，共213页。new斜投影:第六页第七页，共213页。本教材所学的主要内容

投射线的方向垂直于投影面H且彼此平行.newnew正投影:第七页第八页，共213页。正投影五特性

1.类似性：new第八页第九页，共213页。2.积聚性

若线段和平面的图形垂直于投影面，其投影积聚为一点或一直线段。new第九页第十页，共213页。3.实形性

若线段和平面图形平行于投影面,则其投影反映实长或实形。new第十页第十一页，共213页。acbdDA〝CB〝两平行直线的投影仍相互平行.new4.平行性第十一页第十二页，共213页。CBAacbnew1.点分直线成定比2.平行直线成定比5.定比性第十二页第十三页，共213页。工程上常用的投影法

1、透视图：用中心投影法生成的投影图优点：直观性好，多用于效果图、广告图缺点：作图困难，度量性差；不用于施工图2、轴测图：用平行投影法生成的单面投影图（正斜两种）度量性和作图便利性比透视图好，直观和立体感好，有一定度量性

多用于补充图、构思图第十三页第十四页，共213页。工程上常用的投影法

3、多面正投影图：用正投影法将物体向多个投影面投影后将多个投影图展开到同一平面上所形成的图。作图方便，度量性好，多用于施工图。4、标高投影图

第十四页第十五页，共213页。HV投影面◆正立投影面（简称正面或V面）◆水平投影面（简称水平面或H面）投影轴oXOX轴V面与H面的交线两个投影面互相垂直第十五页第十六页，共213页。VH●●●XOVHAaa

xa向下翻不动点的两面投影体系aa

aXO●●第十六页第十七页，共213页。●●●XVHAaa

点的两面投影规律:①a

a⊥OX轴②aax=A到V面的距离a

ax=A到H面的距离xa●Xaaxa

●第十七页第十八页，共213页。HWV三、点的三面投影投影面◆正立投影面（简称正面或V面）◆水平投影面（简称水平面或H面）◆侧立投影面（简称侧面或W面）投影轴oXZOX轴V面与H面的交线OZ轴V面与W面的交线OY轴H面与W面的交线Y三个投影面互相垂直第十八页第十九页，共213页。WHVoX空间点A在三个投影面上的投影a

点A的正面投影a点A的水平投影a

点A的侧面投影空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。a

●a●a

●A●ZY第十九页第二十页，共213页。WVH●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazay向右翻向下翻不动投影面展开aaZaa

yayaXYYO

●●az●x第二十页第二十一页，共213页。●●●●XYZOVHWAaa

a

点的投影规律:①a

a⊥OX轴②aax=a

az=y=A到V面的距离a

ax=a

ay=z=A到H面的距离aay=a

az=x=A到W面的距离xaazay●●YZaza

XYayOaaxaya

●

a

a

⊥OZ轴第二十一页第二十二页，共213页。●●a

aax例：已知点的两个投影，求第三投影。●a

●●a

aaxazaz解法一:通过作45°线使a

az=aax解法二:用圆规直接量取a

az=aaxa

●第二十二页第二十三页，共213页。点的投影与直角坐标的关系

讨论：三投影面体系中投影和点的坐标的关系X－－点到W面的距离，反映左右Y－－点到V面的距离，反映前后Z－－点到H面的距离，反映上下重点：两条Y轴第二十三页第二十四页，共213页。三、两点的相对位置

两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。判断方法：▲x坐标大的在左

▲y坐标大的在前▲

z坐标大的在上b

aa

a

b

b●●●●●●B点在A点之前、之右、之下。XYHYWZ第二十四页第二十五页，共213页。重影点：空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。A、C为H面的重影点●●●●●a

a

c

c

被挡住的投影加()()A、C为哪个投影面的重影点呢？ac第二十五页第二十六页，共213页。无轴投影图没有标识投影轴的投影图第二十六页第二十七页，共213页。无轴投影图利用45度辅助线作图利用相对坐标作图第二十七页第二十八页，共213页。直线的投影

投影面平行线平行于一个投影面，倾斜于另两个投影面

投影面垂直线垂直于一个投影，平行于另二个投影面一般位置直线

倾斜于三个投影面的直线。

第二十八页第二十九页，共213页。投影面平行线的投影特性

投影面平行线种类正平线：∥V，对H、W面倾斜。水平线：∥H，对V、W倾斜。侧平线：∥W．对H、V倾斜。投影面平行线投影特性在直线所平行的投影面上，投影反映实长；且其投影与投影轴的夹角反映直线与相应投影面的倾角；在另外两个投影面上的投影小于实长，且平行于相应的投影轴。

第二十九页第三十页，共213页。投影面平行线的投影特性第三十页第三十一页，共213页。正平线反映ＡＢ实长正平线第三十一页第三十二页，共213页。反映ＡＢ实长正平线投影图NEW第三十二页第三十三页，共213页。ＦefＥ反映ＥＦ实长abcNEW水平线第三十三页第三十四页，共213页。EF实长水平线投影图NEW第三十四页第三十五页，共213页。反映ＣＤ实长NEW侧平线第三十五页第三十六页，共213页。ＣＤ实长侧平线投影图NEW第三十六页第三十七页，共213页。总结:投影面平行线的投影特性

在所平行的投影面上的投影反映实长；且为斜线其它两投影垂直于相应的投影轴，且小于实长。

NEW第三十七页第三十八页，共213页。投影面垂直线的投影特性

投影面垂直线种类正垂线：⊥V面，∥H，∥W铅垂线：⊥H面，∥V，∥W侧垂线：⊥W面，∥H，∥V。投影面垂直线投影特性当直线AB垂直于投影面时，它在该投影面上的投影ab变成一个点a≡b。直线上任一点M的投影m也重合在这个点上，这种性质叫积聚性；在另外两个投影面的投影垂直于相应的投影轴，且反映实长。

第三十八页第三十九页，共213页。投影面垂直线的投影特性第三十九页第四十页，共213页。投影面垂直线的投影特性铅垂线水平投影积聚为一点；其它两个投影平行于ＯＺ轴，并反映直线ＡＢ实长；直线ＡＢ与H面的夹角实长NEWNEW第四十页第四十一页，共213页。NEW铅垂线第四十一页第四十二页，共213页。铅垂线的投影NEW第四十二页第四十三页，共213页。dcCDNEW正垂线第四十三页第四十四页，共213页。正垂线的投影NEW第四十四页第四十五页，共213页。ＥＦefNEWNEW侧垂线第四十五页第四十六页，共213页。侧垂线的投影ef第四十六页第四十七页，共213页。总结：投影面垂直线的投影特性

在所垂直的投影面上积聚为一点；

其它两投影垂直于两个不同投影轴。(平行于同一坐标轴)NEW第四十七页第四十八页，共213页。(1)一般位置直线投影特性：abb

a

b

a

三个投影都缩短了。即:都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角，且与三根投影轴都倾斜。第四十八页第四十九页，共213页。一般位置直线投影第四十九页第五十页，共213页。讨论：如何判断直线于投影面关系投影面平行线：有两个垂直于同一投影轴的投影有一个斜投影投影面垂直线：有两个垂直于不同投影轴的投影有一个投影积聚成一点一般位置直线：有两个不平行于投影轴的投影根据两投影能作出判断第五十页第五十一页，共213页。特殊位置直线判断例第五十一页第五十二页，共213页。铅垂线正垂线正平线NEW判断第五十二页第五十三页，共213页。判断第五十三页第五十四页，共213页。 直线判断第五十四页第五十五页，共213页。直角三角形法求直线实长及倾角

以直线段在某一投影面上的投影长度为一直角边，直线段两端与这个投影面的坐标差为另一直角边，所形成的直角三角形的斜边就是该直线段的实长。斜边与投影长度直角边的夹角就是该直线对这个投影面的倾角。直角三角形法中有四个参数，即线段的实长、投影长度、坐标差及直线对投影面的倾角。只要知道其中任两个参数即可作出直角三角形而求出其它两个参数。也就是说，用直角形法不仅可由直线段两投影求实长及倾角，还可以已知一投影实长(或倾角)求线段的另一投影及倾角(或实长)。

第五十五页第五十六页，共213页。

一般位置直线ＡＢ对Ｈ面的倾角NEW对H面第五十六页第五十七页，共213页。NEW第五十七页第五十八页，共213页。例：（在Ｖ／Ｈ投影中）在直线ＡＢ上求距Ａ点为２０mm的Ｃ点NEW例第五十八页第五十九页，共213页。

一般位置直线ＡＢ对Ｖ面的倾角对V面第五十九页第六十页，共213页。求一般位置直线ＡＢ对Ｖ面的倾角ＡＢ实长NEW第六十页第六十一页，共213页。

一般位置直线ＡＢ对Ｗ面的倾角NEW对W面第六十一页第六十二页，共213页。例：求一般位置直线ＡＢ对Ｗ面的倾角ＡＢ实长NEW第六十二页第六十三页，共213页。例题：已知AB实长为50mm,求作水平投影第六十三页第六十四页，共213页。一、点在直线上二、点不在直线上三、直线的迹点点与直线的位置第六十四页第六十五页，共213页。直线上点投影的特性

①从属性：点在直线上，点的投影在直线的同面投影上。②定比性：点分线段之比等于点的投影分线段的投影之比。第六十五页第六十六页，共213页。NEW

C点在直线ＡＢ上第六十六页第六十七页，共213页。点Ｃ的投影在直线的同面投影上，并符合点的投影规律。

NEWC点的投影在直线ＡＢ的投影上第六十七页第六十八页，共213页。NEWＤ点不在直线ＡＢ上。第六十八页第六十九页，共213页。例题第六十九页第七十页，共213页。解法１：

点Ｍ的投影不符合点在直线上的投影规律，故Ｍ点不在直线ＣＤ上。NEW例：判断点Ｍ是否在直线ＣＤ上第七十页第七十一页，共213页。dM解法２例：判断点Ｍ是否在直线ＣＤ上O

点Ｍ的投影不符合直线上点定比性，故Ｍ点不在直线ＣＤ上。NEW题解２第七十一页第七十二页，共213页。例：直线上点投影的特性

第七十二页第七十三页，共213页。题解：直线上点投影的特性

第七十三页第七十四页，共213页。空间两直线的相对位置空间两直线的相对位置同面直线异面直线平行相交交叉第七十四页第七十五页，共213页。平行两直线投影特性两直线的同面投影相互平行，且其长度之比等于投影长度之比。如何利用投影特性根据投影判断两直线是否平行？如果两直线都不平行于投影轴，则有两个投影面投影平行则可以认为直线平行。如果两直线都平行于某投影轴，则必须根据第三投影或比例关系判断。

第七十五页第七十六页，共213页。：已知直线AB平行直线CD，试完成直线AB和CD的三面投影。

例第七十六页第七十七页，共213页。acbb″〝da″〝c″〝d″〝d′〝a′〝c′〝b′〝NEW题解第七十七页第七十八页，共213页。两投影均垂直或平行投影轴a’c’b’d’c’d’ab第七十八页第七十九页，共213页。

两侧平线的投影反映ＣＤ和ＨＤ的线段实长g´h´g´´h´´hg作第三投影判断第七十九页第八十页，共213页。相交两直线投影特性相交两直线同面投影都相交，且交点符合点的投影规律如何利用投影特性根据投影判断两直线是否相交？一般位置直线根据两投影即可判断特殊位置直线有时须根据定比性或第三投影判断第八十页第八十一页，共213页。判断第八十一页第八十二页，共213页。判断第八十二页第八十三页，共213页。有一直线投影垂直坐标轴第八十三页第八十四页，共213页。交叉两直线投影特性既不符合平行两直线的投影特性，又不符合相交两直线的投影特性交叉直线的同面投影若相交，其交点并非一个点的投影，而是两条直线上的两个点的重影。其重影点的可见性应根据两个点的相对位置来判别。第八十四页第八十五页，共213页。例：两交叉直线的重影点问题Ⅰ点的Ｙ坐标大于Ⅱ点，故Ⅰ点在Ⅱ点的正前方。正面投影重影点第八十五页第八十六页，共213页。水平投影重影点Ⅲ点的Ｚ坐标大于Ⅳ点，故Ⅲ点在Ⅳ点的正上方。第八十六页第八十七页，共213页。两交叉直线正面投影重影点水平投影重影点第八十七页第八十八页，共213页。例题：求作一直线于ＡＢ平行，且于ＣＤ、ＥＦ都相交。（作业３－１９）第八十八页第八十九页，共213页。直角投影定理

如果两直线在空间上垂直(垂直相交或垂直交叉)，当其中一条直线平行于某一投影面时，则两直线在该投影面上的投影垂直。

利用直角投影定理，可完成过点作投影面平行线的垂线，或与其相关的求点到直线距离，求直角三角形、等腰三角形等平面图形投影的作图问题。

第八十九页第九十页，共213页。相交成直角的两直线，只要其中有一条直线平行于某投影面，则它们在该投影面上的投影仍反映直角。ＡＢＣabc水平线NEW原理第九十页第九十一页，共213页。abb′a′过Ｂ点作直线ＢＣ垂直于ＡＢ,ＢＣ为任意长度。XONEW例：第九十一页第九十二页，共213页。abb′a′题意分析：XO水平线（实长）有无穷多解，可任意做一解。NEW第九十二页第九十三页，共213页。判断第九十三页第九十四页，共213页。

:判定下列图中两直线的相对位置（平行、相交、垂直相交、交叉）NEW判断题第九十四页第九十五页，共213页。例：直角投影定理

第九十五页第九十六页，共213页。例：直角投影定理

第九十六页第九十七页，共213页。例题：一等腰直角△ABC，AC为斜边，顶点B在直线NC上，完成两面投影（作业3-25）第九十七页第九十八页，共213页。例：完成正方形ABCD的两面投影。第九十八页第九十九页，共213页。例题：求作AB，CD的公垂线第九十九页第一百页，共213页。小结1．熟练掌握点在第一分角中的投影特性及作图方法。2．熟练掌握点的投影与该点直角坐标的关系。3．掌握两点的相对位置及重影点的可见性判别。4．熟练掌握各种位置直线的投影特性和作图方法。5．掌握直线上点的投影特性。6．熟练掌握用直角三角形法求一般位置直线段实长及其对投影面倾角的方法，并能灵活运用直角三角形法。7．掌握两直线各种相对位置的投影特性及作图方法和判别方法。8．掌握直角投影定理及其应用。

第一百页第一百零一页，共213页。

平面的投影一、平面的表示法●●●●●●abca

b

c

不在同一直线上的三个点●●●●●●abca

b

c

直线及线外一点abca

b

c

●●●●●●d●d

●两平行直线abca

b

c

●●●●●●两相交直线●●●●●●abca

b

c

平面图形第一百零一页第一百零二页，共213页。二、平面的投影特性平行垂直倾斜投影特性★平面平行投影面-----投影就把实形现★

平面垂直投影面-----投影积聚成直线

★平面倾斜投影面-----投影类似原平面实形性类似性积聚性⒈平面对一个投影面的投影特性第一百零二页第一百零三页，共213页。

PV

PW

PH水平迹线PH正面迹线PV侧面迹线PW

new用迹线表示的

一般位置的平面：第一百零三页第一百零四页，共213页。各种位置的平面平面特殊位置平面一般位置平面投影面垂直面投影面平行面第一百零四页第一百零五页，共213页。投影面垂直面投影特性垂直于一个投影面，倾斜于另两个投影面。正垂面：垂直于V面，对H，W面倾斜铅垂面：垂直于H面，对V，W面倾斜侧垂面：垂直于W面，对H，V面倾斜投影面垂直面的投影特性：平面所垂直的投影面上的投影积聚为直线，与投影轴的夹角，分别反映平面对另两个投影面的真实倾角。（积聚性）在另外两个投影面上的投影均为缩小的平面图形。（类似性）

第一百零五页第一百零六页，共213页。投影面垂直面的投影特性铅垂面Ｐnew第一百零六页第一百零七页，共213页。newpp″p′铅垂面Ｐ第一百零七页第一百零八页，共213页。Ｑq′q″q投影面垂直面的投影特性new正垂面Ｑ第一百零八页第一百零九页，共213页。正垂面Ｑqq″q′new第一百零九页第一百一十页，共213页。Ｒr′r″r投影面垂直面的投影特性侧垂面R第一百一十页第一百一十一页，共213页。r″侧垂面Ｒ的投影rr′new第一百一十一页第一百一十二页，共213页。

已知平面的两投影，求第三投影。new例题第一百一十二页第一百一十三页，共213页。投影面平行面投影特性平行于一个投影面，垂直于另两个投影面。正平面：平行于V面，对H，W面垂直水平面：平行于H面，对V，W面垂直侧平面：平行于W面，对H，V面垂直

投影面平行面投影特性：平面所平行的投影面上的投影反映实形；（实形性）平面在另外两个投影面上的投影均积聚成直线，且平行于相应的投影轴。（积聚性）第一百一十三页第一百一十四页，共213页。投影面平行面的投影特性-水平面QqＱq″q′第一百一十四页第一百一十五页，共213页。q′qq″水平面Ｑ第一百一十五页第一百一十六页，共213页。正平面Ｐ第一百一十六页第一百一十七页，共213页。正平面Ｐ的三面投影第一百一十七页第一百一十八页，共213页。Rr′r″r侧平面Ｒ第一百一十八页第一百一十九页，共213页。r′r″r第一百一十九页第一百二十页，共213页。一般位置平面投影特性对V，H，W面都倾斜，不在同一直线上的三点构成的平面。投影特性一般位置平面的投影特性：三面投影仍为平面图形，且面积缩小。其投影为和原来形状类似的图形。（类似性）

第一百二十页第一百二十一页，共213页。cbaa′b′c′b″a″c″ACB投影为空间平面的类似形new一般位置平面的投影第一百二十一页第一百二十二页，共213页。ＯYW

c′

aＸYＨＺ

PW

c

b

a′

b′

a〞

b〞

c〞投影为小于三角形实形的类似形new一般位置平面的投影第一百二十二页第一百二十三页，共213页。判断平面第一百二十三页第一百二十四页，共213页。判断第一百二十四页第一百二十五页，共213页。1"3"22"ⅡⅢ水平面侧平面铅垂平面实形判断第一百二十五页第一百二十六页，共213页。找出投影图中所标的Ｐ平面、Ｑ平面及ＣＢ、ＦＥ直线的三投影，并判断它们的空间位置。Ｐ平面为一般位置平面；Ｑ平面为正平面。ＣＢ直线为正平线；ＦＥ直线为水平线。实形实长new判断：第一百二十六页第一百二十七页，共213页。总结在平面作图中要注意利用实形性、积聚性和类似性的性质。平面的三个投影中，必然有一个是封闭线框。一般情况下投影图上的一个封闭线框表示空间一个面的投影。

第一百二十七页第一百二十八页，共213页。平面上的点和直线

点和直线在于面上的几何条件是：(1)点在于面上，则该点必定在于面上的一条直线上。(2)直线在于面上，则该直线必定通过这个平面上的两个点；或者通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。上述几何条件，是解决有关平面上点和直线的作图和判别等习题的依据。可以解决三类问题：判别已知点、线是否属于平面；完成已知平面上的点和直线的投影；完成多边形的投影。

第一百二十八页第一百二十九页，共213页。cbaa′b′c′b″a″c″ACBMa′b′c′m′m″m若一直线通过平面上的两点，则此直线在该平面上。此直线上的任意点都在该平面在上。new平面内的点和直线第一百二十九页第一百三十页，共213页。ＯYW

c′

aＸYＨＺ

c

b

a′

b′

a〞

b〞

c〞

m

m〞

m′

已知点Ｍ在平面三角形ＡＢＣ上，作出Ｍ点的三面投影。例题：第一百三十页第一百三十一页，共213页。例题第一百三十一页第一百三十二页，共213页。例：判别已知点、线是否属于平面第一百三十二页第一百三十三页，共213页。题解：判别已知点、线是否属于平面第一百三十三页第一百三十四页，共213页。特殊位置平面利用积聚性第一百三十四页第一百三十五页，共213页。

１.平面内的水平线２.平面内的正平线３.平面内的侧平线new平面内的投影面平行线第一百三十五页第一百三十六页，共213页。

PV

PW

PH平面内的水平线平面内的正平线平面内的侧平线平面内的投影面平行线new第一百三十六页第一百三十七页，共213页。20例：在平面内作一条距H面为20mm的水平线。水平线第一百三十七页第一百三十八页，共213页。20例：在水平面内作一条距Ｖ面为20mm的正平线。正平线第一百三十八页第一百三十九页，共213页。平面内垂直于该投影面内任意一条投影面平行线的直线，称为平面内对相应投影面的最大斜度线。new平面内对投影面的最大斜度线。第一百三十九页第一百四十页，共213页。１.垂直于平面内水平线的直线，是平面内对水平面的最大斜度线。２.垂直于平面内正平线的直线，是平面内对正平面的最大斜度线。３.垂直于平面内侧平线的直线，是平面内对侧平面的最大斜度线。new平面内对投影面的最大斜度线有三种第一百四十页第一百四十一页，共213页。

平面内对投影面的最大斜度线用于一般位置平面对投影面倾角的求法new第一百四十一页第一百四十二页，共213页。Ｂ1Ｂ

PHＭＮ平面P对水平面H的最大斜度线A第一百四十二页第一百四十三页，共213页。1.作平面内的水平线；

2.作对H面的最大斜度线；

3.用直角三角形法求最大斜度线对H面的倾角。求一般位置平面对H面倾角第一百四十三页第一百四十四页，共213页。求三角形ＡＢＣ对Ｈ面的倾角最大斜度线实长最大斜度线水平投影new例：第一百四十四页第一百四十五页，共213页。求三角形ＡＢＣ对Ｖ面的倾角△ｙ△ｙ最大斜度线正面投影最大斜度线实长例：第一百四十五页第一百四十六页，共213页。直线与平面平行

直线与平面平行

平面外的一直线若与平面上的一直线平行，到此直线与平面相互平行。即该直线投影和该平面上某直线投影相平行。若一平面上两相交直线对应地平行于另一平面上两相交直线，则两平面互相平行。直线与投影面垂直面平行

直线的投影平行平行于平面有积聚性的同名投影，或者直线亦积聚为一点。

第一百四十六页第一百四十七页，共213页。LKLABDC１.若直线平行于平面内某一直线，则直线与该平面平行原理第一百四十七页第一百四十八页，共213页。直线与平面平行作图问题判别已知线面是否平行；作直线与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。

第一百四十八页第一百四十九页，共213页。Ｏ

c′

aＸ

c

b

a′

b′

d

d′

e′

e

直线ＤＥ与平面ＡＢＣ不平行。例：判别直线ＤＥ与平面ＡＢＣ是否平行。第一百四十九页第一百五十页，共213页。Ｏ

c′

aＸ

c

b

a′

b′

m

m′

例：过Ｍ点作直线与已知三角形平面平行作直线与已知平面平行第一百五十页第一百五十一页，共213页。例2过点K作一水平线AB平行于已知平面ΔCDE。b

a

af

fbc

e

d

edk

kcXO第一百五十一页第一百五十二页，共213页。已知平面与直线平行，补直线投影第一百五十二页第一百五十三页，共213页。题解第一百五十三页第一百五十四页，共213页。已知平面与直线平行，补平面投影第一百五十四页第一百五十五页，共213页。题解第一百五十五页第一百五十六页，共213页。直线与平面相交

直线与平面不平行就会相交，其交点是直线与平面的共有点。直线与平面相交的问题就是求直线和平面的交点，难点是判断直线的可见性。

第一百五十六页第一百五十七页，共213页。平面为特殊面积聚性法当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影可在直线的另一个投影上找到。VHPHPABCacbkNKM第一百五十七页第一百五十八页，共213页。直线可见性的判别b

ba

acc

m

mn

k

n

特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影能直接判别直线的可见性--观察法VHPHPABCacbkNKMk在平面之前第一百五十八页第一百五十九页，共213页。求直线与平面的交点，并判别可见性（特殊位置直线）第一百五十九页第一百六十页，共213页。平面与平面平行

若平面上的两相交直线分别平行于另一平面内的两相交直线，则这两个平面相互平行。

ＭＮ

Ｂ

Ｃ

ＡＫ第一百六十页第一百六十一页，共213页。Ｏ

c′

aＸ

c

b

a′

b′

d′过点Ｄ作已知平面的平行面。

e

e′

df

f′第一百六十一页第一百六十二页，共213页。判断两平面是否平行第一百六十二页第一百六十三页，共213页。作图判断根据一条直线投影不平行，可否判断？第一百六十三页第一百六十四页，共213页。Ｏ

c′

aＸ

c

b

a′

b′

d

d′判别平行直线ＣＤ与ＡＢ所确定的平面与平行直线ＥＦ和ＧＫ所决定的平面是否相互平行。

e′

e

f′

k′g′g

k

f两平面不平行例：第一百六十四页第一百六十五页，共213页。平面与平面相交

平面与平面相交，其交线是平面与平面的共有线。求两平面交线的基本方法是求出两个共有点。

第一百六十五页第一百六十六页，共213页。面、面相交作图方法

有积聚性投影的平面与平面相交，交线的一个投影必定与其中一个平面的积聚性投影重合，交线的另一个投影可根据平面上求点的方法求出。（求积聚点）第一百六十六页第一百六十七页，共213页。求交线并判别可见性第一百六十七页第一百六十八页，共213页。题解第一百六十八页第一百六十九页，共213页。两特殊平面相交

第一百六十九页第一百七十页，共213页。互贯第一百七十页第一百七十一页，共213页。直线与平面相交作图方法

一般位置直线与一般位置平面相交，：求交点的方法和步骤如下：

a、过直线作特殊位置辅助平面；

b、求辅助平面与已知平面的交线；

c、求交线与已知直线的交点，交点即为所求。求出交点后，再利用重影点判别各投影的可见性。第一百七十一页第一百七十二页，共213页。作图原理第一百七十二页第一百七十三页，共213页。过AB作平面P垂直于H投影面3.2.2辅助平面法DECP12KBA第一百七十三页第一百七十四页，共213页。2PH1

作题步骤：1、过AB作铅垂平面P。2、求P平面与ΔCDE的交线ⅠⅡ。3、求交线ⅠⅡ与AB的交点K。XOa

b

bacd

e

edc

12

kk

第一百七十四页第一百七十五页，共213页。直线AB与平面ΔCDE相交，判别可见性。(

)a

b

bace

edc

d

124

（

）kk

XO3

342

1

第一百七十五页第一百七十六页，共213页。以正垂面为辅助平面求线面交点1

2

QV21步骤：1、过EF作正垂平面Q。2、求Q平面与ΔABC的交线ⅠⅡ。3、求交线ⅠⅡ与EF的交点K。f

e

efba

acb

c

k

k第一百七十六页第一百七十七页，共213页。平面与平面相交作图方法

两一般平面相交求作两一般位置平面交线的方法有线面交点法和三面共点法两种。线面交点法：两一般位置平面的各同面投影都重叠时，通常用求一般位置直线与一般位置平面交点的方法，求出点。求出组成一平面的两直线与另一平面的两个交点，然后连线即得所求交线。第一百七十七页第一百七十八页，共213页。利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。FBCALKED两一般位置平面相交求交线的方法第一百七十八页第一百七十九页，共213页。

1、用直线与平面求交点的方法求出两平面的两个共有点K、L。bacc

b

a

dd

eff

e

PVQV21k

kl

l2、连接两个共有点，画出交线KL。XO作题步骤1

2

第一百七十九页第一百八十页，共213页。三面共点法第一百八十页第一百八十一页，共213页。例第一百八十一页第一百八十二页，共213页。思考题

试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与直线EF相交。ac

ba

cb

f

e

efk

kXO第一百八十二页第一百八十三页，共213页。分析FPCABEKH

过已知点K作平面P平行于

ABC；直线EF与平面P交于H；连接KH，KH即为所求。第一百八十三页第一百八十四页，共213页。作图步骤m

n

h

hnmff

ac

ba

cb

e

ek

kPV1

12

21、过点K作平面KMN//

ABC平面。2、过直线EF作正垂平面P。3、求平面P与平面KMN的交线ⅠⅡ。4、求交线ⅠⅡ与EF的交点H。5、连接KH，KH即为所求。第一百八十四页第一百八十五页，共213页。

直线与平面垂直VHPAKLDCBE几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。第一百八十五页第一百八十六页，共213页。定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。VPAKLDCBEHa

ad

c

b

dcbe

eknk

n

XO第一百八十六页第一百八十七页，共213页。定理2（逆）：若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线必垂直于该平面。a

cac

n

nkf

d

b

dbfk

VPAKLDCBEHXO第一百八十七页第一百八十八页，共213页。a

cac

nn

mf

d

b

dbfm

例

平面由

BDF给定，试过定点M作平面的垂线。第一百八十八页第一百八十九页，共213页。e

f

em

nmn

c

a

ad

b

cdbfXO例

平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是否垂直