湖北省武汉市凤凰中学高三数学文下学期摸底试题含解析

湖北省武汉市凤凰中学高三数学文下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=是R上的增函数，则a的取值范围是（）A．﹣3≤a＜0 B．﹣3≤a≤﹣2 C．a≤﹣2 D．a＜0参考答案：B【考点】函数单调性的性质；二次函数的性质．【分析】由函数f（x）上R上的增函数可得函数，设g（x）=﹣x2﹣ax﹣5，h（x）=，则可知函数g（x）在x≤1时单调递增，函数h（x）在（1，+∞）单调递增，且g（1）≤h（1），从而可求【解答】解：∵函数是R上的增函数设g（x）=﹣x2﹣ax﹣5（x≤1），h（x）=（x＞1）由分段函数的性质可知，函数g（x）=﹣x2﹣ax﹣5在（﹣∞，1]单调递增，函数h（x）=在（1，+∞）单调递增，且g（1）≤h（1）∴∴解可得，﹣3≤a≤﹣2故选B2.若函数（其中）满足对，都有成立，则的值是（

）A．或

B．或

C.或

D．或参考答案：B由知，的图象关于直线对称，所以或，又，，选B．3.已知函数的图象的一段圆弧（如图所示），则（

）

A.

B.

C.

D.前三个判断都不正确参考答案：C因为，表示为为曲线上两点与原点连线的直线的斜率，作图易得．选C4.数列中，，则等于

A．

B．

C．1 D．参考答案：A由得，，，，选A.5.已知F1、F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点F1关于渐近线的对称点恰好落在以F2为圆心，|OF2|为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．3参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】首先求出F1到渐近线的距离，利用F1关于渐近线的对称点恰落在以F2为圆心，|OF2|为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意，F1（﹣c，0），F2（c，0），设一条渐近线方程为y=﹣x，则F1到渐近线的距离为=b．设F1关于渐近线的对称点为M，F1M与渐近线交于A，∴|MF1|=2b，A为F1M的中点，又0是F1F2的中点，∴OA∥F2M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2．故选：C．6.已知函数则是 （

）

A．单调递增函数

B．单调递减函数C．奇函数

D．偶函数参考答案：D略7.《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何.刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网络纸中粗线部分为其三视图，设网络纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（）A．4立方丈

B．5立方丈

C.6立方丈

D．12立方丈参考答案：B8.若非零向量满足，则与的夹角为（

）A.30°°

B.60°

C.120°

D.150°参考答案：C略9.已知圆C：（x+1）2+（y﹣1）2=1与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧的中点为M，则过点M的圆C的切线方程是（） A．y=x+2﹣ B． y=x C． y=x﹣2 D． y=x+1参考答案：C10.已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则＝()A．{5,8} B．{7,9}C．{0,1,3} D．{2,4,6}参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在的二项展开式中常数项的值等于

（用数字作答）。参考答案：答案：712.已知向量，则的充要条件是x=

．

参考答案：13.已知双曲线C：的右顶点为A，以点A为圆心，b为半径作圆，且圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，若（O为坐标原点），则双曲线C的标准方程为________.参考答案：【分析】如图，不妨设圆与双曲线的一条渐近线，交于，两点，过点作垂直于该渐近线于点，连接，先求出，，，再由题得到，求出，即得双曲线的标准方程.【详解】由双曲线的方程：，知，不妨设圆与双曲线的一条渐近线，交于，两点，过点作垂直于该渐近线于点，连接，如图.点到渐近线的距离.∵，∴.∵，∴，∴，∴.在中，，，，，即，，∴，∴，∴双曲线的标准方程为.故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质的应用，考查圆的几何性质，考查平面向量的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.6.函数y=loga(x+3)-1(a>0,a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0,则的最小值为

.参考答案：815.设△的内角的对边分别为，且，则

参考答案：【知识点】余弦定理；同角三角函数间的基本关系．解：∵C为三角形的内角，cosC=，∴sinC==，又a=1，b=2，∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：c2=1+4﹣1=4，解得：c=2，又sinC=，c=2，b=2，∴由正弦定理=得：sinB===．故答案为：【思路点拨】由C为三角形的内角，及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，再由a与b的值，利用余弦定理列出关于c的方程，求出方程的解得到c的值，再由sinC，c及b的值，利用正弦定理即可求出sinB的值．16.已知抛物线的准线经过双曲线的右焦点，则此双曲线的离心率为

.参考答案：17.设是定义在上．以1为周期的函数，若在上的值域为，则在区间上的值域为

。参考答案：本题考查函数性质及其应用，难度较大.因为是定义在上以1为周期的函数，所以，即在上的图像是由在上的图像向上平移1个单位得到，所以在上的值域是，同理，在上的值域是，所以在区间上的值域为.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．参考答案：考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）圆C的参数方程为，通过三角函数的平方关系式消去参数θ，得到普通方程．通过x=ρcosθ，y=ρsinθ，得到圆C的极坐标方程．（2）求出点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离，表示出△ABM的面积，通过两角和的正弦函数，结合绝对值的几何意义，求解△ABM面积的最大值．解答： 解：（1）圆C的参数方程为（θ为参数）所以普通方程为（x﹣3）2+（y+4）2=4．，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得（ρcosθ﹣3）2+（ρsinθ+4）2=4，化简可得圆C的极坐标方程：ρ2﹣6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．（2）点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离为△ABM的面积所以△ABM面积的最大值为点评：本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系等内容．本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求．19.（16分）设函数f（x）=﹣x（x∈R），其中m＞0．（1）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；（2）求函数f（x）的单调区间与极值；（3）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x1，x2，且x1＜x2，若对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立，求m的取值范围．参考答案：【考点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】导数的综合应用．【分析】（1），易得函数在所求点的斜率．（2）当f′（x）≥0，函数单增，f′（x）≤0时单减，令f′（x）=0的点为极值点．（3）由题意属于区间[x1，x2]的点的函数值均大于f（1），由此计算m的范围．【解答】解：（1）当，故f'（1）=﹣1+2=1，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1．

（2）f'（x）=﹣x2+2x+m2﹣1，令f'（x）=0，解得x=1﹣m或x=1+m．∵m＞0，所以1+m＞1﹣m，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，1﹣m）1﹣m（1﹣m，1+m）1+m（1+m，+∞）f′（x）﹣0+0﹣f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减∴f（x）在（﹣∞，1﹣m），（1+m，+∞）内是减函数，在（1﹣m，1+m）内是增函数．函数f（x）在x=1﹣m处取得极小值f（1﹣m），且f（1﹣m）=，函数f（x）在x=1+m处取得极大值f（1+m），且f（1+m）=．

（3）由题设，，∴方程有两个相异的实根x1，x2，故，∵m＞0解得m，∵x1＜x2，所以2x2＞x1+x2=3，故x2＞．①当x1≤1＜x2时，f（1）=﹣（1﹣x1）（1﹣x2）≥0，而f（x1）=0，不符合题意，②当1＜x1＜x2时，对任意的x∈[x1，x2]，都有x＞0，x﹣x1≥0，x﹣x2≤0，则，又f（x1）=0，所以f（x）在[x1，x2]上的最小值为0，于是对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立的充要条件是f（1）=m2﹣＜0，解得，∵由上m，综上，m的取值范围是（，）．（14分）【点评】本题较为复杂，主要考查了直线的点斜式，函数的单调性及函数的极值问题，注意掌握知识点间的关系．20.如图，CD为△ABC外接圆的切线，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，AB的延长线交直线CD于点D，且BC?AE=DC?AF，B，E，F，C四点共圆．（Ⅰ）证明：CA是△ABC外接圆的直径；（Ⅱ）若DB=BE=EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．参考答案：考点：与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．专题：选作题；推理和证明．分析：（Ⅰ）由已知条件得△AFE∽△CBD，从而∠AFE=∠CBD，又B，E，F，C四点共圆，得∠CBD=∠CBE=90°，由此能证明CA是△ABC外接圆的直径．（Ⅱ）连结CE，由CE为B，E，F，C所共圆的直径，得CD=CE，由切线性质得AC⊥DC，由此能求出过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．解答： （1）证明：∵BC?AE=DC?AF，∴…又DC为圆的切线∴∠DCB=∠EAF…∴△AFE∽△CBD…∴∠AFE=∠CBD…又B，E，F，C四点共圆∴∠AFE=∠CBE…∴∠CBD=∠CBE=90°∴CA是△ABC外接圆的直径…（Ⅱ）解：连结CE，∵∠CBE=90°∴CE为B，E，F，C所共圆的直径…∵DB=BE，且BC⊥DE∴CD=CE…∵DC为圆的切线，AC为该圆的直径∴AC⊥DC…设DB=BE=EA=a，在Rt△ACD中，CD2=BD?DA=3a2，AC2=AB?AD=6a2，∴=，∴=，∴过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为．点评：本题考查三角形外接圆直径的证明，考查两圆半径比值的求法，四点共圆的性质的灵活运用是关键．21.已知□ABCD，A（-2，0），B（2，0），且∣AD∣=2.⑴求□ABCD对角线交点E的轨迹方程;⑵过A作直线交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，且∣MN∣=，MN的中点到Y轴的距离为，求椭圆的方程.参考答案：解：⑴设E（x，y），D（x0，y0）∵ABCD是平行四边形，∴，∴（4，0）+（x0+2，y0）=2（x+2，y）∴（x0+6，y0）=(2x+4，2y)∴又即：∴□ABCD对角线交点E的轨迹方程为⑵设过A的直线方程为以A、B为焦点的椭圆的焦距2C=4，则C=2设椭圆方程为，

即…（*）将代入（*）得

即设M（x1