几何体中的截面问题

几何体中的的截面问题1．定义及相关要素用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面．此平面与几何体表面的交集（交线）叫做截线．此平面与几何体的棱的交集（交点）叫做截点．2．作多面体的截面方法（交线法）：该作图关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面．题型一、截面的形状截面．1．P、Q、R三点的1解答：⑴连接QP、QR并延长，分别交CB、CD的延长线于E、F.⑵连接EF交AB于T,交AD于S.CQ、⑶连接RS、TP。则多边形PQRST即为所求截面。DFCE2.已知P、Q、R分别是四棱柱ABCD-A1B1CR的棱CD、DD1和AA1上的点，且QR与AD不平行，求作过这三点的截面．12解答：（1）连接QP并延长交DA延长线于点I。（2）在平面ABCD内连接PI交AB于点Mo⑶连接QP、RM。则四边形PQRM即为所求。注：①若已知两点在同一平面内，只要连接这两点，就可以得到截面与多面体的一个面的截线。②若面上只有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二确定的点。③若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个平面的交线与截面的交点。3．一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能是．．．3答案：D]解析：考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选D。题型二、截面面积、长度等计算4,过正方体ABCD—ABCD的对角线BD的截面面积为S,S和S分别为S的最大111 1 1 maxmin值和最小值，S则S^

min的值为()更FB．2√3C*——2√6D*亍4答案：C解析：设M、N分别为A4、CC的中点.易证截面BMDN是边长为-ʒ-的菱形(正方体棱长设11为1),其面积S(min)=-ɪ而截面BB1D1D是矩形，其面积S(max)=√2*5.如图，已知球。是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球,则平面ACD截球O的截面面积为1 5答案：工6解析：平面ACD1是边长为旧的正三角形，且球与以点D为公共点

的三个面的切点恰为三角形ACD1三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，AACD1内切圆的半径×tan30°=/，则所求的截面圆的面积是∏×1-^×-^=

6 6 66*已知球的半径为2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个为2，则两圆的圆心距等于(A*1D*26答案：C解析：O与O的公共弦为人8,球心为0,AB中点为C,

12则四边形OOOC为矩形，IOOI=IOCI,IOAI=2,1212DI圆的公共弦长B*\：'2*所以IACI=LAC1OC.•」OCI=fOAI2-1ACI2=√3••7.已知正四棱锥P—ABCD的棱长都等于a,侧棱PB、PD的中点分别为M、N,则截面AMN与底面ABCD所成二面角大小的正切值为7答案：1解析：过A在平面ABCD内作直线lUBD，连接AC,BD交于O,

连接PO,MN记PO、MN交于O'.因为PB、PD的中点分别为M、N,所以MNlUBDlU.MNA∈llUl=ZO'AOAO=PO=-aanOfO=

2antanO'AO=—4 2ABCD—ABCD1111八一1一1一3CC10<CQ<-CQ=2CQ=413CDCR= <1111 34CQ<1CQ=1^26设截面与DD相交于T，则AT//PQ且AT=2PQnDT=2CQ对①，1.当0<CQ<1时，则0<DT<1.所以截面S为四边形，且S为梯形.所以为真.对②，当CQ=1时,DT=1,T与D重合，截面S为四边形APQD,所以AP=DQ.截面1 1 1S为等腰梯形.所以为真.\o"CurrentDocument"131 1对③，.当CQ=—时nQC=-,DT=-,DT=—.利用三角形相似解得CR=-.\o"CurrentDocument"1 4 2 1 2 11 3所以为真.33\o"CurrentDocument"对④，.当：<CQ<1⅛,-<DT<2.截面S与线段AD,DC相交，所以四边形S为五边4 2 11 11形.所以为假.对⑤,当CQ=1时，Q与C重合,截面S与线段AD相交于中点G即为菱形APCGA1 11 1 11对角线长度分别为、：'2和Y-，S的面积为三.所以为真.9.如图，ABCD—ABCD为正方体。任作平面α与对角线

, 1111AC'垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S,周长为l.则（ ）A.S为定值，l不为定值 B.S不为定值，l为定值C.S与l均为定值 D.S与l均不为定值* 君 口 Λi9答案:B解析:将正方体切去两个正三棱锥A-ABD与C-D'BBC后，得到一个以平行平面ABD与D'BC为上、下底面的几何体V，V的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W的每一条边分别与V的底面上的一条边平行，将V的侧面沿棱A'B'剪开，展平在一张平面上，得到一个平行四边形ABBBA，而多边形W的周界展开后便成为一条与AA平行的线段(如11 1图中EE)，显然AA=EE,故l为定值。1 11\当Ef位于AB'中点时，多边形W为正六边形，而当Ef移至A处时，W为正三角形,易知周长为定值l的正六边形与正三角形面积分别为上312与且12，故S不为定值。24 36题型三、截面图形的计数10.设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形，用平面ɑ去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α( )A.不存在B.只有1个C.恰有4个D.有无数多个10答案：D解析：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m,n,直线m、n确定了平面β,作与β平行的平面α与四棱锥侧棱相截，则截得的四边形是平行四边形.这样的平面ɑ有无数多个..过正四面体ABCD的顶点A做一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面BCD成75角，问这样的截面可作几个11答案：6个.解析：可以证明正四面体的棱、侧面与底面成角均小于75度，这样过顶点与底面成75度角，且平行与底面一条边的截面也就是符合题意的截面，有两个。三条边就是6个。题型四、截面图形的性质.如图4,在透明的塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题：—水的部分始终呈棱柱状；水面EFGH的面积不改变；棱A1D1始终与水面EFGH平行；当容器倾斜到如图4(2)时，BE-BF是定值;其中正确的命题序号是 12答案：①③④解析当长方体容器绕BC边转动时，盛水部分的几何体始终满足棱柱定义，故①正确；在转动过程中EH//FG,但EH与FG的距离EF在变，所以水面EFGH的面积在改变，故②错误；在转动过程中，始终有BC//FG//A1D1，所以A1D1//面EFGH，③正确；当容器转动到水部分呈直三棱柱时如图5（2），因为V=1BE∙BF∙BC是定值，又BC是定值，所以BE-BF是水2定值，即④正确。【13.有一容积为1立方单位的正方体容器ABCD-A1B1C1D1,在棱AB、BB1及对角线B1C的中点各有一小孔E、F、G,若此容器可以任意

放置，则该容器可装水的最大容积是C171147A.—B.—C.—D.28124813答案:C解析：本题很容易认为当水面是过E、F、G三点的截面时容器可111 7装水的容积最大图6（1）,最大值为V=1-ɔ-ɔ-ɔ-1=-立方单222 8位,这是一种错误的解法,错误原因是对题中“容器是可以任意放置”的理解不够，其实，当水平面调整为图6（2）^EB1C时容器的容积\o"CurrentDocument"111 11最大，最大容积为V=1-^.5.5.1-1=:J‰√‰√ JL‰√A B11C1图(2)14.（08年江西）如图1,一个正四棱柱形的密闭容器底部

镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有〃升水

时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P。如果将容器倒置，

水面也恰好过点P（图2）。有下列四个命题：A.正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B.将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC.任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过