麦克斯韦方程的基本内容

麦克斯韦方程的基本内容

1无压电和电流人们知道静态电站会产生电压强度，除了产生电压强度外，还产生了磁体。截止目前为止，人们尚未发现自然界中有磁荷及磁流存在，所以电荷和电流是产生电磁场唯一的源。麦克斯韦方程组全面地描述了时变电磁场的特性，其微分形式如下式中，j是传导电流密度，ρ是自由电荷体密度。在介质内，上述方程组尚不完备，还需补充三个描述介质性质的方程式。对于各向同性介质来说，有式中ε,µ和σ分别是（相对）介电常数、（相对）磁导率和电导率。上述方程全面总结了电磁场的基本规律，利用它们原则上可以解决各种宏观电磁场问题。2基尔霍夫定律对麦克斯韦方程组第四方程式两边取散度，得由于∇⋅∇×H=0，将第一方程代入得此即电流连续性方程，亦为电荷守恒定律的微分形式，它的积分形式为下面在满足似稳条件(即所观测电路的尺寸远小于电路激发的电磁波波长)的前提下进一步导出基尔霍夫定律。如图1所示，对电路任一节点A，当电荷不随时间变化时有，对节点A取表面积分，则由式（9）可知，若闭曲面内含有电容，则式（10）为式中jc、分别为传导电流和位移电流密度。式（10）或（11）即为基尔霍夫电流定律的表达式。同理，由式（2）亦可导出基尔霍夫电压定律。电荷守恒定律原是大量实验的概括，现在把它看作是由麦克斯韦方程组导出的一个结论，目的是使研究人员看到，电路的基本理论是建立在麦克斯韦方程组、物质电磁性质方程和电路集中化假设的基础上的。从上述推导表明电路基尔霍夫定律是“场”的特殊情形，可以从场方程导出，因而在路论和场论两套体系下，场的理论更为普遍。由于麦克斯韦方程是以严格数学方程描述了电磁场所遵循的统一规律,所以以“场”为基础的“路”的概念才能更充分发挥作用。3从场的观点出发，计算导线周围电场传输的能量从麦克斯韦方程组出发，应用矢量分析公式，便可导出电磁场中能量守恒与转换的坡印廷定理：(12）式右边第一项是体积τ内每秒电场和磁场能量的增加量；第二项是τ内变为焦耳热的功率。根据能量守恒原理，等式左边的面积分应是穿过闭合面S进入体积内的功率。在电磁场(波)中,能量在场中传播的实质比较容易理解，而在直流或低频交流电的情况下，由于一般只解电路方程而不直接求解电磁场量，因而在直流或低频交流电中谈及电能的传输时，人们往往容易忽视能量在场中传播的实质。研究人员知道，载流子的运动是受到电场力作用的结果，所以导线中的电流和导线周围的电磁场密切相关。下面就从场的观点出发，计算导线周围电磁场传输的能量。如图2所示，一个同轴线的内外半径别为a和b，两导体为理想导体,导体间为理想介质,其电容率和磁导率分别为ε和μ,内外导体之间电压为U,通过电流为I，求这根同轴线向负载传输的功率。设导线电阻忽略，根据高斯定理，导线内任意点ρ(a≤ρ≤b)的场强E为(13）式中λ为导线单位长度的电荷量。由内外导线间的电压可进一步导出场强E的表达式应用安培环路定律，据介质的对称性,如图2，取以轴为圆心、任意半径为ρ的圆为积分回路，则此时坡印廷矢量为将S对两导线间的环状截面积分即得电磁场传输的功率为笔者是从电磁场理论而不是从电路理论推出了预料之中的结果。以上过程中的积分只在内外导体的截面上进行，并不包括导体内部。这说明能量并不是在导体内部传输，而是在内外导体间的介质空间中传输。可见，能进入导体的能量并不是用来传输能量，而是导体消耗的能量。另外，若导体不是理想导体(γ≠∞)，导体则要消耗一部分功率，根据电场的边值关系，此时在紧贴内导体的介质内，存在沿导线方向和垂直于导线的两个场强分量Et和En，因而其坡印廷矢量亦有沿导线方向和垂直于导线的两个分量St和Sn，其中，St=En×H,Sn=Et×H，则在长度为l的一段导体上，消耗的功率为：(18）式中S1和S2分别为导线间环状截面积和内导体环状面积，显然，上式中第一项积分为零，因而根据电阻定理,R为这段导线的电阻，这也正是电路理论中经常用到的电阻所消耗功率的表达式。由以上计算可知，从场的观点出发，计算出导线周围电磁场传输的能量与电路理论中所应用的公式一样。但是，电路理论中只是应用,而不能从本质上说明电能到底是由谁来传递的。这样就可以得出结论，电路中能量是由导线周围的电磁场来传递的，在传递的过程中，一部分能量从场中流入导线，以焦耳热的形式损耗掉。4辅助条件下的磁感应强度由矢量分析的定理可知，磁感应强度B可表示为矢势A的旋度：在恒定电流的磁场中，式（4）可表示为将式（20）代入式（21）并由矢量恒等式得引入辅助条件∇⋅A=0，则式（22）化为显然，式（23）与电势的泊松方程的形式相同，故式（23）特解为(24）式中r是场点到源点的距离，对（24）式两端求旋度，可得到磁感应强度即为所求。若是线电流，则由jdV′=jdS′⋅dl=Idl得到5电磁学中电磁的基本概念所谓变分就是把边值问题的解化为求泛函极小值。在经典力学中，可以根据牛顿定律导出变分原理，用变分原理表述运动基本定律的好处是与坐标系的具体选择无关，因而能够反映出不同坐标系中运动的共同特点和运动的一些普遍性质。更为重要的是运动规律的这种普遍表述形式并不限于力学范围，也适用于电磁学领域。因此，根据变分原理也可以导出电磁场的麦克斯韦方程。对于电磁场，作用量的变量是电磁场的标势φ和矢势A。由于电磁现象是遵从洛仑兹变换的，因而电磁系统的作用量的具体形式根据洛仑兹力的公式比较，得对E取旋度，对B取散度，即可得出麦克斯韦方程组的两个方程，为对φ变分和对A变分，可以得出麦克斯韦方程的另外两个方程，为这种建立麦克斯韦方程组的方法，是把变分原理看成物理学中最普遍的根本原理，根据某些普遍性的考虑得出电磁系统作用量的形式，然后，通过变分得出电磁场所遵从的基本规律。6电场和磁场相互激发麦克斯韦方程组是电磁场的运动方程，它反映了在一般情况下电荷电流激发电