粒子运动速度上限vm的新推导

粒子运动速度上限vm的新推导

根据洛伦兹速度变换公式，速度是所有粒子（物体）运动速度的上限。因此，在传统的理论观点中，运动速度的上限是由于风速不变原则的结果。虽然也有文献指出,可以通过引入运动速度具有上限的假设来替代光速不变原理,但实际上还是隐含着另一个附加假设,即必须假定存在着以速度上限值运动的粒子,由此可以无需引进光速不变原理而推导出相对论运动学的洛伦兹变换公式。可以说传统相对论需要建立在某种以速度上限值运动的特殊物质(例如光)的特性基础之上。与此不同,本文将论证对于具有静止参考系特性的粒子,以绝对时间和绝对空间为基础的伽利略变换是唯一允许粒子运动速度为任意大的线性时空变换,因而对于任何非伽利略型的线性时空变换,无需知道其具体变换公式,也无需引进任何假设,就可推知粒子的运动速度都应具有上限。虽然粒子的运动速度原则上可无限趋近其上限值,但是若不另附加假设,在理论上并不能推断必然存在着以速度上限值运动的粒子,因而仅在运动学范围内还是无法完全确定非伽利略型时空变换的具体变换公式。相对论质速关系是相对论动力学的一个基本关系式,并由此可导出相对论质能关系。对于相对论质速关系的推导,各种文献中基本上都是建立在洛伦兹变换公式的基础之上。在所有这些质速关系的推导中,由于都要用到洛伦兹变换关系,从而导致似乎相对论动力学的质速关系必须要在相对论运动学的洛伦兹变换公式基础上才能得到。传统相对论运动学的理论基础是光速不变原理,由此可导出相对论运动学的核心公式——洛伦兹变换关系;而相对论动力学的理论基础是相对性原理,相对论质速关系和质能关系则是相对论动力学的核心公式。本文对于非伽利略型时空变换,在充分论证粒子运动速度具有上限的基础上,通过引进速度上限mv,针对静质量不为零(0m≠0)的粒子,给出一种无需利用光速不变假设和具体的时空变换关系,而完全在动力学范围内得到相对论质速关系和质能关系的新推导,并由此进一步确定了相应非伽利略型时空变换的广义洛伦兹变换公式。质速关系和质能关系以及广义洛伦兹变换的新形式已不再直接与光速相关,而是由更一般的速度上限mv替代了光速c。对于经典伽利略变换则可作为广义洛伦兹变换在mv→∞时的一种极限特例,而速度上限mv的具体取值则可由实验测量来确定。因而本文给出了一种无需引进静质量为零的粒子,也无需引进光速不变假设,相比于传统相对论更具普遍性的相对论理论新推导。1s系中粒子速度vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv设惯性系S′相对于惯性系S沿X方向运动,相对运动速度为V,任一时空点P在S′系中的时空坐标为(x′,y′,z′,t′),在S系中的时空坐标为(x,y,z,t)见图1。依据S′系与S系的变换对称性,时空的变换关系应为线性变换:若做空间反演,则坐标和速度都应变号,由式(2)可得由此可得关系而S系相对于S′系的运动速度为-V,则式(2)的逆变换关系应为对于惯性系之间无相对运动,即V=0的平凡特例,有x′=x,t′=t,则可得条件:由式(2)和(4),可得到·即有由式(6)可知和两者并不独立,只要能够确定其一,就可确定时空变换关系。对式(2)微分可得由式(7)可求得一般的速度变换关系为由于在式(8)中的或还是未知待定量,因而速度变换关系还并未完全确定。考虑一粒子在某S系中沿X方向运动,其速度为v=(v,0,0),设S′系相对于S系沿X方向以V>0运动,并设S′系相对于S系沿X方向以-V运动(也即S系相对于S′系以V>0运动),见图2。由于S′系相对于S系的运动与S系相对于S′系的运动相同,由式(3)和(8)可得粒子在各惯性系沿X方向的运动速度(略去速度下标x)具有如下变换关系:以下仅讨论具有静止参考系特性的粒子。设在S系中粒子的速度沿X轴方向为v=(v,0,0),对于任意v≠0,总存在粒子静止参考系S′,则在相应参考系变换V下粒子将变为静止v′=f(v,V)=0,即有上式中排除了是由于利用了条件:以上一般性地证明了对于具有静止参考系特性的粒子,其速度变换关系v′=f(v,V)必须是关于v的单调递增函数。这一结论也符合如下的物理直觉:对于两个坐标轴正方向一致的惯性系S和S′,随着S系中粒子速度v的增加,必然导致S′系中粒子速度v′=f(v,V)的变大。由式(9)有v′=f(v,V),v=f(v′,V)。由于f(v,V)是关于v的单调递增函数,如果v≤v′,则f(v,V)≤f(v′,V),即v′≤v;反之如果v≥v′,则f(v,V)≥f(v′,V),即v′≥v。因而不等式v′≤v≤v′或v′≥v≥v′两者必居其一成立,这是任何速度变换关系(包括伽利略变换和洛伦兹变换)都必须满足的普遍结论。以下将分伽利略变换和非伽利略型变换两种情况,分别讨论相应时空变换的特性。1)α(V)=0(或。对于的情况,由式(6)可得。考虑到条件γ(V→0)=1,则可得即若有或则必为代表绝对时空观的伽利略变换:2)α(V)≠0(或。若不考虑V=0,即惯性系之间无相对运动的平凡特例,则对于α(V)≠0的非伽利略型变换,由式(6)可得[γ(V)]2≠1,即有γ(V)≠1。由此可进一步推导出任何具有静止参考系特性的粒子其运动速度都将是有限的。下面用反证法来加以论证,假设有某个粒子的运动速度是没有上限的,即总存在某种技术方法可以使得该粒子在某S系中的运动速度变成任意大v→∞。设S′系相对于S系以V>0运动,并另设S′系相对于S系以-V运动,见图2。由于α(V)≠0,则在S′系和S′系中粒子运动都为有限速度:由此可推得但这无论与或都将发生矛盾。因而反证成功,即假设v→∞不成立。以上的讨论充分论证了对于具有静止参考系特性的粒子,绝对时空观的伽利略变换是唯一允许粒子运动速度为无限大的时空变换关系,而对于或的非伽利略型变换,粒子的运动速度都将是有限的,因而总存在着速度上限vmax对任何粒子的运动速度都有。由于上限是可以放大的,即vmax还具有不确定性。但对于任一确定的粒子,总存在一个最小的运动速度上限mv使得粒子的运动速度即mv是该粒子原则上能够无限趋近的运动速度上限。值得强调指出的是,以上的讨论还只能论证粒子运动速度可以无限趋近于其上限值v=v→vm,并不能从理论上推断该粒子运动速度可以达到其上限值vm,因而不能简单地通过在速度变换公式中令v=vm来确定未知的γ(V),即对于γ(V)≠1的情况,仅在运动学范围内还无法完全确定和推导出非伽利略型的时空变换公式。2不受外力的粒子本节将限于讨论静质量不为零的粒子的运动因而粒子具有静止参考系的特性,并限于非伽利略型时空变换的情况。设一粒子的静质量为当粒子速度为v时,其动量为而当粒子静止(v=0时。另在空间反演(r→-r)或时间反演(t→-t)下,有而p→-p。依据量纲分析,粒子动量可写为其中无量纲待定函数g(v)满足g(-v)=g(v),且g(v)应为在空间转动下保持不变的标量。由第1节的讨论,对于非伽利略型变换,粒子的运动速度都有上限,从而可引入最小速度上限使得粒子速度因而有由此粒子的相对论动量可一⎛v2⎞般性定义为为了书写简便以及与经典牛顿力学的动量定义形式上保持一致,引入记号:通常将0m称为粒子的静质量,m称为粒子的动质量称为质速关系,则粒子动量可写为p=mv。当时,有因而有条件g(0)=1。另一方面,当时,有说明在低速极限下,上述相对论动量合理地回到了经典牛顿力学的动量定义。在相对论力学中,有了上述动量定义p=mv后,粒子所受外力F可定义为而粒子相对论能量ε的定义为由此可得,对于一个不受外力作用的孤立系统,其系统的总动量和总能量都为常量,将分别守恒。对于粒子的相对论能量ε可做类似的量纲分析和空间旋转对称性的讨论,由于ε为在空间转动下保持不变的标量,则同样可一般性写为其中为另一无量纲待定函数。⎛v2⎞引入相对于S系沿X方向以速度V运动的S′系,见图3。因为由此可得另一方面在S′系中,对于碰撞前静质量为0m粒子的能量为对于碰撞后静质量为M0粒子的能量为依据S′系中的能量守恒定律,可得由式(22)和(23)可得其中由于V和u为独立参量,因而和都可以独立地变化。由式(24)可知,在S′系中,粒子能量和动质量之比应为与粒子运动速度无关的常量。另一方面依据相对性原理,所有惯性系在物理上都是等价的,因而必然要求能量和质量之比也应为与参考系选取无关的常量,否则实验中就可依据不同惯性系中能量和质量之比的差别来区分不同的惯性系,从而违反相对性原理。依据以上讨论,一般可设粒子能量和质量之比为其中A为与粒子运动速度无关的无量纲待定常数,即粒子能量应正比于动质量,这样才能保证能量守恒或质量守恒在任何惯性系中都满足相对性原理。于是粒子能量和静能可以分别写为由式(17)和(18),可得由此可得微分方程需要强调的是,式(30)要求vm是通过外力F持续做功粒子可无限趋近的速度上限,这样就可消除由速度上限的放大带来的不确定性,但这并不意味粒子运动速度必须达到其上限值mv,即积分上限可以是开区间v∈[0,vm)。值得指出的是,正是由于积分上限的开区间或闭区间并不影响积分值,使得在相对论动力学中速度上限mv的进入实际上并不一定需要通过引进以速度上限值运动的粒子。由此可得∞则有从而可确定A=1,则最后可得质速关系为由式(27)可得质能关系为以上依据相对性原理及相对论力学的基本定义p=mv,dp=Fdt,dε=F·dr和相应的动量守恒、能量守恒定律,无需用到具体的时空变换公式而推导出了相对论质速关系和相对论质能关系。值得说明的是,微分方程式(29)还存在另一个不同的解,由于另一解只涉及无静止参考系的粒子,将在另文中予以讨论。3速度上限vm的推导对于第2节讨论的完全非弹性碰撞过程,进一步利用已确定的质速关系和质能关系,代入式(20和(22)以及利用速度关系式(25),可得联立方程组即有由此可解得式(35)显然满足关系式以及条件式(5)γ(V=0)=1,α(V=0)=0。另一方面由条件式(12):可知惯1V2性系之间的相对运动速度必须小于速度上限V<vm。设有粒子m01≠0,运动速度上限为vm1,另有粒子m02≠0,运动速度上限为vm2。若两粒子之间的相对运动速度为V,由于粒子运动速度原则上可无限趋近其上限,因而两粒子若互以对方为参考系则原则上可有v1=|v1|=V→vm1,v2=v2=V→vm2。另一方面V作为惯性系之间的相对运动速度,则有由此可推知即运动速度上限应是对所有粒子适用的普适常量。由以上确定的和代入式(2)和(8),可得相对论时空变换和速度变换关系分别为可将式(36)称为广义洛伦兹变换,其中以普适的运动速度上限mv取代了洛伦兹变换中的光速c。若记通过进一步计算可得显然无论是或是导致粒子速度都有。另外对于依据式(37)最终也有。这就直接验证了速度上限vm在惯性系的广义洛伦兹变换下是不变的。在我们新推导的相对论公式中,若取vm=c,则光速不变就将成为相对论的一个推论,而广义洛伦兹变换就回到了通常的洛伦兹变换。以上通过讨论的非伽利略型变换情况,推导求得1。而对于伽利略变换则要求γ(V)=1,显然若在取速度上限mv→∞的极限情况下,广义洛伦兹变换就回到经典伽利略变换。因此在广义洛伦兹变换中可以通过将速度上限的概念加以推广,从而可将γ(V)=1的伽利略变换合并到γ(V)≠1的广义洛伦兹变换公式中,即经典伽利略变换可作为速度上限时的极限特例而包含在广义洛伦兹变换中。4光催化系统的运动学与相对论力学本文依据相对性原理和静质量不为零粒子的相对论动力学,给出了一种无需引进静质量为零的粒子,因而也无需用到光速不变假设的狭义相对论的新推导。首先证明了对于γ(V)≠1的非伽利略型变换,任何具有静止参考系特性的粒子其运动速度都具有上限,进而依据相对性原理和相对论力学中动量、能量的基本定义p=mv,dp=Fdt,dε=F·dr以及相应的动量守恒定律和能量守恒定律,通过一个完全非弹性碰撞过程的讨论,论证了0m≠0粒子的相对论能量ε(v2)与相对论质量m(v2)之比应为与粒子运动速度无关的常量,在此基础上,给出了一种通过建立和求解微分方程来确定相对论质速关系m=-1和质能关系的新推导,进而确定了相应的广义洛伦兹变换1。相对论质速关系和质能关系是相对论动力学的核心公式,在传统相对论中质速关系的推导通常需要建立在相对论运动学的洛伦兹速度变换的基础上,质能关系则是建立在质速关系的基础上。而本文则完全在相对论动力学范围内同时推导出了质速关系和质能关系,因而质量与能量的地位将更加平等。与传统相对论中质速关系和质能关系的推导相比,本文在推导过程中并没有引进任何额外的假设(采用了与传统相对论力学同样的动量、能量基本定义以及相应的动量守恒、能量守恒定律),但不同之处是利用了粒子运动速度存在上限的特性,从而无需再用到具体的时空变换和速度变换公式。这说明相对论质速关系和质能关系完全是由相对性原理和相对论动力学本身所确定,其推导并不依赖于具体的时空变换关系,相反由相对论质速关系和质能关系则可以进一步确定时空的广义洛伦兹变换公式。由于本文的推导过程只与0m≠0的粒子有关与光子无关,因而在质速关系和质能关系中将不再直接与光速相关,而是由更一般的与所有粒子相关的运动速度上限mv替代了光速c。传统相对论通过引入光速不变原理在运动学范围就可以推导出洛伦兹变换公式,即由光速不变假设就可以确定1进而在洛伦兹变换的基础上,依据爱因斯坦相对性原理及动量守恒、能量守恒定律建立起相对论力学。本文揭示了实际上无需事先确定具体的时空变换关系,仅由相对性原理及动量守恒、能量守恒定律就可建立起相对论动力学,进而可由相对论动力学确定时空的广义洛伦兹变换1。即传统相对论是在相对论运动学基础上建立起了相对论动力学,而本文则是在相对论动力学基础上来确定相对论运动学。对于相对论运动学的广义洛伦兹变换,显然在取极限mv→∞下就回到了经典伽利略变换:x′=x-vt,t′=t。但对于相对论动力学,取极限mv→∞将意味着静能ε0=m0vm2→∞,能量ε=mvm2→ε0→∞,这显然在物理上是不合理的,也是违反能量守恒定律的。因而mv→∞只能适用于经典牛顿力学:动量动能而与相对论力学是不相容的。这也从动力学的角度说明了粒子运动速度必须有上限,否则就会与爱因斯坦相对性原理和能量守恒定律相矛盾。在相对论力学中,由于要求满足爱因斯坦相对性原理和能量守恒定律,因而vm必须为有限;而在经典牛顿力学范围内,涉及的只是机械能守恒定律,如在第2节讨论的完全非弹性碰撞过程中,由于有非保守力做功,因而机械能并不守恒。对于mv为有限的情况,若惯性系之间的相对运动速度满足即有极限则γ(V)→1,相对论运动学的广义洛伦兹变换就回到经典伽利略变换;而若粒子的运动速度满足即有极限则动量动能相对论力学就回到了经典牛顿力学。因而在vm为有限的前提下,伽利略变换可看做是广义洛伦兹变换的低速极限近似,而经典牛顿力学也可看做相对论力学的低速极限近似。因而vm为有限时,无论是运动学还是动力学,经典牛顿力学都可作为相对论力学的低速极限近似。但是在vm→∞的情况下,虽然运动学的时空变换化为了伽利略变换,但动力学则不能再看做是相对论力学的低速极限。这说明了mv→∞是违反爱因斯坦相对性原理和能量守恒定律的,此时经典牛顿力学与相对论力学将不再相容。另一方面,众所周知,电动力学的麦克斯韦方程组在mv→∞的伽利略变换下将不再满足相对性原理,因而依据爱因斯坦相对性原理必然要求mv为有限,即粒子运动速度应有上限。因此在动力学范围,理论上可依据爱因斯坦相对性原理和能量守恒定律来排除伽利略变换。本文的讨论表明,速度上限vm可以决定时空的特性,若速度上限为无穷大(等价于粒子运动速度可任意大)vm→∞,则为绝对时空的伽利略变换;若速度上限为光速,mv=c,则回到传统相对论的洛伦兹变换;而更一般的速度上限mv,则对应了更具普遍性的广义洛伦兹变换。目前的实验结果已表明粒子运动速度都具有上限,即依据实验事实已排除了伽利略变换,当然速度上限mv的具体取值可依据实验测量值来确定。m0≠0),消去m后可以得到能量-动量之间的关系式ε2=p2vm2+m02vm4,严格来说此能量-动量关系式同样应只对静质量不为零的粒子成立。因而对于静质量为零的粒子的特性需要另外加以讨论,如果可以将上述能量-动量关系式推广到适用于静质量为零的粒子(这实际上是一个外加的理论假定),由于m0=0的粒子其静能为零,由能量-动量关系式可知即有因而vm就应是静质量为零粒子的运动速度。这样在实验中既可以通过直接测量粒子的运动速度来确定vm,也可以通过对任何静质量不为零粒子的不断加速过程(维持一定外力持续对粒子做功加速使其加速度越来越趋于零),从而可在一定精度内趋近于vm。依据目前的实验测量结果,可以取运动速度上限与目前所测得的光速值相等,mv=c。但值得指出的是,由于实验中并不存在光子的静止参考系来直接测量光子的静质量,因而光子静质量为零本质上还只是理论中的假定。本文要强调的是,即使今后实验上若发现光子的静质量不为零(类似于目前的中微子研究),或如果实验确认存在超光速现象,则仅需将速度上限mv的取值依据新的实验结果做相应调整,而相对论将仍然成立。传统相对论引入光速不变假设的主要作用在于:1)引入了运动速度上限,因为任何粒子的运动速度都无法超过光速;2)排除了伽利略变换,因为在伽利略变换下不存在不变的速度;3)理论上确定了光速即为速度上限,因为引入了以速度上限值运动的粒子——光子。本文的讨论则表明,对于1),由于本文证明了对于具有静止参考系特性的粒子,伽利略变换是唯一允许粒子运动速度任意大的线性时空变换,因而无需引入任何假设就可确定对于非伽利略型时空变换必然存在运动速度上限mv。对于2),在运动学范围无需引入光速不变假设来排除伽利略变换,因为伽利略变换可以作为广义洛伦兹变换在速度上限的特例而在运动学范围予以保留;而在动力学上,则可以由爱因斯坦相对性原理及动量守恒、能量守恒定律来排除伽利略变换;另外当然也可以由mv的有限实验测量值来排除伽利略变换。对于3),由于本文的讨论表明无需要求存在以速度上限值运动的粒子,而仅由粒子即可推导出相对论理论,说明引入以速度上限值运动的粒子虽然也可以与相对论理论相容,但并不是建立相对论理论必不可少的。以上通过对光速不变假设所起作用的分析讨论,表明引入光速不变假设对于建立相对论理论并不是必需的,引入光速不变假设的唯一作用是从理论上限定了速度上限即为光速,但这同时也给相对论理论带来了限制,容易导致以超光速的讨论来怀疑相对论。速度上限应是与所有粒子的特性相关的,其值可由实验测量来确定。依据目前的实验测量结果,可以取则光速不变就成为相对论的一个推论;而今后实验中若确认存在超光速现象,则只需修正速度上限的取值后,超光速