第二章第十节函数模型及其应用

第二章函数、导数及其应用第十节函数模型及其应用抓基础明考向提能力教你一招我来演练

考

什

么1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征．2.能利用给定的函数模型解决简单的实际问题.

怎

么

考1.现实生活中的生产经营、环境保护、工程建设等热点问

题中的增长、减少问题，一次函数、二次函数、指数函

数、对数函数模型等问题是重点，也是难点，主要考查

建模能力及分析问题和解决问题的能力；2.题型方面选择题、填空题及解答题都有所体现，但以解

答题为主.1．三种增长型函数模型的图象与性质

函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性增长速度相对平稳图象的变化随x增大逐渐表现为与

平行随x增大逐渐表现为与

平行随n值变化而不同增函数增函数增函数越来越快越来越慢y轴轴2．三种增长型函数之间增长速度的比较1指数函数y＝aa>1与幂函数y＝nn>0在区间0，＋∞，无论n比a大多少，尽管在的一定范围内a会小于n，但由于a的增长n的增长，因而总存在一个0，当>0时有快于a>n2对数函数y＝logaa>1与幂函数y＝nn>0对数函数y＝logaa>1的增长速度，不论a与n值的大小如何总会y＝n的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数0，使>0时有由12可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在0，＋∞上，总会存在一个0，使>0时有

慢于a>n>logaloga<n1．教材习题改编f＝2，g＝2，h＝log2，当∈4，＋∞时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是 A．f>g>h B．g>f>hC．g>h>f D．f>h>g答案：B2．一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度hcm与燃烧时间th的函数关系用图象表示为图中的 答案：B解析：由题意h＝20－5t,0≤t≤3．某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，按九折出售，每件还获利A．25元 B．205元C．15元 D．125元答案：D解析：九折出售时价格为100×1＋25%×90%＝1125元，此时每件还获利1125－100＝125元．答案：y＝a1＋r，∈N*4．教材习题改编某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是，本利和本金加利息为y元，则本利和y随存期变化的函数关系式是________．5．有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形如图所示，则围成的矩形最大面积为______________．围墙厚度不计答案：2500m21．解函数应用题的步骤1审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质；2建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；3解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；4还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．2．解函数应用题常见的错误1不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面；2在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件．——————课堂突破保分题，分分必保！1．2012·嘉兴月考为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月30天的通话时间分与通话费y元的关系如图所示．则通话费y1，y2与通话时间之间的函数关系式分别为________，________2．2012·抚州质检一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为40cm与60cm，现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角．问怎样剪，才能使剩下的残料最少？

1在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升自变量的系数大于0或直线下降自变量的系数小于0，构建一次函数模型，利用一次函数的图象与单调性求解．2有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等．构建二次函数模型，利用二次函数图象与单调性解决．3在解决二次函数的应用问题时，一定要注意定义域．2012·日照模拟据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度vm/h与时间th的函数图象如图所示，过线段OC上一点Tt,0作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为th内沙尘暴所经过的路程sm．1当t＝4时，求s的值；2将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；3若N城位于M地正南方向，且距M地650m，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．3．2011·惠州二模2011年8月世界大学生运动会在深圳举行，某特许专营店销售运动会纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向运动会管理处交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为元．1写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y元与每枚纪念章的销售价格的函数关系式并写出这个函数的定义域；2当每枚纪念章销售价格为多少元时，该特许专营店一年内利润y元最大，并求出这个最大值．1分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．2构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重不漏1求每年砍伐面积的百分比；2到今年为止，该森林已砍伐了多少年？3今后最多还能砍伐多少年？—————课堂突破保分题，分分必保！4．2012·湖州联考某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y微克与时间t小时之间近似满足如图所示的曲线．1写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y＝ft；2据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于025微克时，治疗有效．求服药一次后治疗有效的时间是多长？1．指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示；2．应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型将有关已知数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．3．y＝a1＋n通常利用指数运算与对数函数的性质求解．答题模板函数应用问题的答题流程12分2012·天津质检在扶贫活动中，为了尽快脱贫无债务致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以58万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费不计息．在甲提供的资料中有：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q百件与销售价格P元的关系如图所示；③每月需各种开支2000元．1当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；2企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？2设可在n年内脱贫，依题意有12n×450－50000－58000≥0，解得n≥20即最早可望在20年后脱贫．12分解函数应用题的一般程序是：