椭圆的简单几何性质省赛一等奖

222椭圆的简单几何性质（一）一、复习回顾1、椭圆的定义、焦点、焦距；2、椭圆的标准方程；3、a、b、c的关系及其几何意义；4、待定系数法求椭圆的标准方程；通常分三步：（1）确定焦点的位置；（2）设出椭圆的标准方程；（3）求a、b的值，写出椭圆的标准方程下面，我们通过椭圆的标准方程来研究椭圆的性质：二、学习新课我们知道，解析几何研究的主要问题是：（1）根据已知条件，求曲线的方程；（2）通过曲线的方程，研究曲线的性质横坐标的范围：纵坐标的范围：-aa-byb1、范围得：即同理可得：由标准方程即F2F1OB2B1A1A2xy观察图形，你能看出它的范围吗？结论：椭圆位于直线=±a和y=±b所围成的矩形框内F2F1Oy椭圆关于y轴对称2、对称性在曲线方程里，如果以-y代y方程不变，那么曲线关于轴对称；动画演示在曲线方程里，如果同时以-代，以-y代y方程不变，那么曲线关于原点对称；在曲线方程里，如果以-代方程不变，那么曲线关于y轴对称；这说明当点P,y在椭圆上时，它关于y轴的对称点P′-,y也在椭圆上结论：坐标轴是椭圆的对称轴，坐标原点是椭圆的对称中心，也叫椭圆的中心。返回跳过OB2B1A1A2y可得=a从而：A1-a,0,A2a,0同理：B10,-b,B20,b线段分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长度分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长3、顶点在中令y=0，椭圆与对称轴的交点2c叫焦距，c叫半焦距4、离心率yo如何刻画椭圆的扁平程度？动画演示概念：椭圆焦距与长轴长之比定义式：范围：考察椭圆形状与e的关系：1、当e接近1时；2、当e接近0时；特别地，当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆。方程是什么呢？思考：教材P46探究方程图形范围对称性顶点离心率xA2B2F2yOA1B1F1yOA1B1xA2B2F1F2两种标准方程的椭圆性质的比较关于轴、y轴、原点对称A1-a,0,A2a,0B10,-b,B20,bA10,-a,A20,aB1-b,0,B2b,0例1、求椭圆16225y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并画出它的图形解：把方程化为标准方程:所以:a=5,b=4c=顶点坐标为-5,0，5,0，0,4，0,-4所以，长轴长2a=10,短轴长2b=8；离心率为06；XYO焦点坐标为-3,0,3,0例2、求符合下列条件的椭圆的标准方程:1经过点-3,0、0,-2;（1）解：易知a=3，b=2又因为长轴在轴上,所以椭圆的标准方程为2长轴的长等于20,离心率等于062长轴的长等于20,离心率等于062由已知,2a=20,e=06或因为椭圆的焦点可能在轴上,也可能在y轴上,所以所求椭圆的标准方程为∴a=10,c=6∴b=8练习1、求适合下列条件的椭圆的标准方程经过点P2,0Q1,1;2与椭圆429y2=36有相同的焦距,且离心率为08或标准方程图象范围

|x|≤a,

|y|≤

b|x|≤b,

|y|≤

a对称性关于两轴及原点对称关于两轴即原点对称顶点(±a,0),(0,±b)(±b,0),(0,±a)两轴长

长轴2a，短轴2b

长轴2a,短轴2b焦点焦距2c2c离心率e=c/a,0<e<1

e=c/a,0<e<1F1-c,0,F2c,0F10,-c,F20,c小结xA2B2F2yOA1B1F1yOA1B1xA2B2F1F2三、小结作业本节重点：1、范围；2、对称性；3、顶点、长半轴长、短半轴长、半焦距；4、离心率；5、已知两点求椭圆的标准方程；作业：P493、4、5B组3222椭圆的简单几何性质（二）标准方程图象范围

|x|≤a,

|y|≤

b|x|≤b,

|y|≤

a对称性关于两轴及原点对称关于两轴即原点对称顶点(±a,0),(0,±b)(±b,0),(0,±a)两轴长

长轴2a，短轴2b

长轴2a,短轴2b焦点焦距2c2c离心率e=c/a,0<e<1

e=c/a,0<e<1F1-c,0,F2c,0F10,-c,F20,c小结xA2B2F2yOA1B1F1yOA1B1xA2B2F1F2例1、如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分。过对称轴的截口ABC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上，由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2。已知ACF1F2，|F1A|=，|F1F2|=,求截口ABC所在椭圆的方程。OxyACF1F2BOxyACF1F2解：如图建立直角坐标系，设所求椭圆方程为在Rt△AF1F2中，由椭圆的定义知，AB所以所求的椭圆方程为oxyl思考：直线与椭圆会相交吗？为什么？m思考：如何求直线与椭圆的最小距离呢？oxy问题：最大的距离呢？mln两个启示：①如何判断直线与椭圆的位置关系；②求直线与椭圆的距离的最值例3、已知椭圆42y2=1及直线y=m，（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；（2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程弦长公式：设直线y=m与椭圆相交于点A1,y1，B2,y2，则思考：椭圆上到焦点的距离最大和最小的点在什么地方？2、椭圆到中心的距离最大和最小的点呢？oxyF1F21、如果将椭圆看作地球的轨道，F1看作太阳，那么A、B分别为近日点、远日点