直线、平面垂直的判定及其性质

直线、平面垂直的

判定及其性质23主要内容232平面与平面垂直的判定233直线与平面垂直的性质231直线与平面垂直的判定234平面与平面垂直的性质直线与平面垂直的

判定231直线和平面的位置关系复习1a

a

Aa

直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行线面垂直大桥的桥柱与水面的位置关系思考2：旗杆与地面中的直线的位置关系如何？思考1：旗杆与地面的位置关系思考3：将一本书打开直立在桌面上，观察书脊（想象成一条直线）与桌面的位置关系呈什么状态？此时书脊与每页书和桌面的交线的位置关系如何？AB思考4：一条直线与一平面垂直的特征是什么？特征：直线垂直于平面内的任意一条直线．BAC直线和平面垂直的定义如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们说直线l与平面互相垂直平面的垂线直线

l的垂面垂足平面内任意一条直线思考5：如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？αl探究：如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验：过ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC于桌面接触）．（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面垂直．思考6：有人说，折痕AD所在直线与桌面所在平面上的一条直线垂直，就可以判断AD垂直平面α，你同意他的说法吗？思考7：如图，由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系不变，AD⊥CD，AD⊥BD．由此你能得到什么结论？当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面α垂直．线面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．作用：证明直线与平面垂直．直线与平面垂直直线与直线垂直思想：la^练习：下列条件中可以证明的有例1如图，已知a//b,a⊥α，求证b⊥α∴a⊥m,a⊥n

证明：在平面α内作直线m，n，且m∩n=P∵a//b∴b⊥m,b⊥n

∴b⊥α例2已知：正方体中，AC是面对角线，BD'是与AC异面的体对角线求证：AC⊥BD'ABDCA′B′CD′′

中，PA⊥平面ABC，B⊥BC，PA=AB，D为PB的中点，求证：AD⊥PCPABCD探究：如图，直四棱柱ABCD-A'B'C'D中，底面四边形ABCD满足什么条件时，A'C⊥B'D'？答：底面四边形ABCD对角线相互垂直．是矩形,PA⊥平面AC,连PB,PC,PD,图中直角三角形的个数有个练习1如图,M是菱形ABCD在平面外一点,满足MA=MC，求证:AC⊥平面BDM4AVBCK练习3如图,在三棱锥V-ABC中,VA＝VC,AB＝BC,是AC的中点求证：AC⊥平面VB．⑴若E、F分别是AB、BC的中点，试判断EF与平面VB的位置关系．AVBCEFK变式：⑵在⑴的条件下，有人说“VB⊥AC，VB⊥EF，所以VB⊥平面ABC”，对吗？直线与平面垂直的判定定理可简述为“线线垂直，则线面垂直”小结通过直线间的垂直，推证直线与平面垂直，即将直线与平面的垂直关系（空间问题）转化为直线与直线的垂直关系（平面问题）思想方法直线与平面所成的角概念1：当直线与平面相交时，它们可能垂直，也可能不垂直，如果一条直线和一个平面相交但不垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足αlP斜线斜足概念2：过斜线上斜足外一点向平面引垂线，在平面α内的射影有几条？αlPAB思考1：过一点作一个平面的斜线有几条？过一点作一个平面的垂线有几条？思考2:两条平行直线、相交直线、异面直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形？斜线PA与平面所成的角为PAB平面的斜线αPlA斜足A斜线PA在平面内的射影垂足BB平面的垂线思考3：前面讨论了直线与平面垂直的问题，那么直线与平面不垂直时又是如何来度量的呢？概念3：线面角1斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的射影所成的角2平面的垂线与平面所成的角为直角3一条直线与平面平行或在平面内，则这条直线与平面所成的角为00角线面角的取值范围是1中（1）求直线A1B和平面ABCD所成的角；（2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角D1ABA1CB1C1DO例2如图，AB为平面的一条斜线，B为斜足，AO⊥平面，垂足为O，直线BC在平面内，已知∠ABC=60°，OBC=45°，求斜线AB和平面α所成的角ABCOαD小结1直线与平面的位置关系可以用直线与平面所成的角来度量线面垂直和线面平行是特殊情况2斜线与平面所成的角是该斜线与平面内任意直线所成角中最小的角3求一斜线与平面所成的角的关键是找出该斜线在平面内的射影补充材料：三垂线定理及逆定理aAPoα回顾：什么叫平面的斜线、垂线、射影？

a平面的斜线αPlA斜足A斜线PA在平面内的射影垂足BB平面的垂线性质定理判定定理性质定理线面垂直①线线垂直②线面垂直③线线垂直PO平面PAO∪a⊥PO③三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。PA⊥αaα∪①PA⊥aAO⊥a②a⊥平面PAOPaAoα1、三垂线定理描述的是PO斜线、AO射影、a直线之间的垂直关系。2、a与PO可以相交，也可以异面。3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。对三垂线定理的说明：三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。PaAoαPA⊥αaα∪①PA⊥aPO⊥a②a⊥平面PAOAO平面PAO∪a⊥AO③PCBA是平面ABC外一点，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，求证：PC⊥BC证明：∵P是平面ABC外一点PA⊥平面ABC∴PC是平面ABC的斜线∴AC是PC在平面ABC上的射影∵BC平面ABC且AC⊥BC∴由三垂线定理得PC⊥BC例2如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD又DD1⊥平面ABCD∴BD是斜线D1B在平面ABCD上的射影∵AC在平面AC内，∴BD1⊥ACA1D1C1B1ADCB而AB1，AC相交于点A且都在平面AB1C内∴BD1⊥平面AB1C证明：连结BD，请同学思考：如何证明D1B⊥AB1连结A1BAH为PA在平面ABC内的射影∴BC⊥AH在Rt△PBC中，PE=------=----在Rt△APE中，AE=PA2+PE2=9+---=----4×642+6212131441322922913、PB、PC两两互相垂直，且PA=3，PB=4，PC=6，求点P到平面ABC的距离。APCBEH解:作PH⊥平面ABC，连AH交BC于E，连PE∵PA、PB、PC两两垂直∴PA⊥平面PBC∴PA⊥BC三垂线（逆）定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影（斜线）垂直，那么它也和这条斜线（斜线的射影）垂直。小结平面与平面垂直的判定（1）232水平面拦洪坝赤道平面卫星轨道平面概念直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分都叫做射线平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部分叫半平面半平面半平面射线射线从一点出发的两条射线，构成平面角记作AOBABO同样,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面

m记为：二面角-m-二面角的图示二面角的记号（1）以直线为棱，以为半平面的二面角记为：（2）以直线AB为棱，以为半平面的二面角记为：AB思考14两个相交平面有几个二面角？如何用平面角来表示二面角的大小？探究lαβOABlαβOAB二面角-l-二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角平面角∠AOB即为二面角α-AB-β的二面角的平面角的作法：1定义法：根据定义作出来2作垂面：作与棱垂直的平面与两半平面的交线得到3应用三垂线定理：应用三垂线定理或其逆定理作出来oABoAoABB思考15如图，过二面角α-l-β一个面内一点A，作另一个面的垂线，垂足为B，过点B作棱的垂线，垂足为O，连结AO，则∠AOB是二面角的平面角吗？为什么？ABOlαβ注意：二面角的平面角必须满足：（1）角的顶点在棱上（2）角的两边分别在两个面内（3）角的边都要垂直于二面角的棱二面角的取值范围0度角180度角lαβ00~1800例6在正方体中，找出二面角C1-AB-C的平面角，并指出大小端点B1C1D1A1ABCDMN例7在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B1-AC-B的正切值AA1BCDB1C1D1O例8如图所示，河堤斜面与水平面所成二面角为300，堤面上有一条直道CD，它与堤角的水平线AB的夹角为450，沿这条直道从堤脚C向上行走10m到达E处，此时人升高了多少m？ABCDEOF平面与平面垂直的判定（2）思考:空间两条直线垂直是怎样定义的？直线与平面垂直是怎样定义的？思考:什么叫直二面角？如果两个相交平面所成的四个二面角中，有一个是直二面角，那么其他三个二面角的大小如何？如果两个相交平面所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直什么叫两个平面的垂直呢？αβ记为思考:根据定义判断两个平面是否垂直需要解决什么问题？思考:如图，∠AOB为直二面角α-l-β的平面角，那么直线AO与平面α的位置关系如何？αβABOl思考：在二面角α-l-β中，直线m在平面β内，如果m⊥α，那么二面角α-l-β是直二面角吗？αβmla平面与平面垂直的判定定理αβaA文字语言：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．你能写出符号语言吗？例9如图，⊙O在平面α内，AB是⊙O的直径，PA⊥α，C为圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBCPABCO证明:请问哪些平面互相垂直的,为什么探究：ABCD例12如图，已知于点A，于点B，求证：ABCαβla线面垂直的性质平面与平面垂直的性质234复习αβlαβlγ两个平面相互垂直三个平面两两垂直两个平面垂直的判定定理：αβl如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．1黑板所在平面与地面所在平面垂直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？若存在，怎样画线？αβ思考？2如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直，其交线为AD，直线A1A，D1D都在平面A1ADD1内，且都与交线AD垂直，这两条直线与平面ABCD垂直吗？AA1BCDB1C1D13.设，,垂足为B，那么直线AB与平面

的位置关系如何？为什么？αβABDCE思考？两个平面垂直的性质性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直αβaAl若α⊥β，过平面α内一点A作平面β的垂线a，那么垂线a与平面具有什么样的位置关系BαβA思考？B’反证法证明点B在两个平面的交线上注意：过一点只能作一条直线垂直于已知平面结论BαβA如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面内一点且垂直于另一个平面的直线，必在这个平面内αβAba解：设l在α内作直线b⊥l先独立思考，可以和同桌互换意见，规范语言，写出证明过程。初步应用练习：1、下列命题中错误的是（）A如果平面⊥平面,那么平面内一定存在直线平行于平面

B如果平面⊥平面,那么平面内所有直线都垂直于平面

C如果平面不垂直于平面，则平面内一定不存在直线垂直于平面

D如果平面、都垂直于平面M，且与交于直线a，则