校本课程一《平面向量的数量积及应用》25张

平面向量的数量积及应用知识梳理1向量的夹角：（1）对于非零向量a，b，过点O作 ＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角.（2）非零向量a与b的夹角的取值范围是（3）设非零向量a与b的夹角为θ，若θ＝90°，则a⊥b；若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向2数量积的概念：（1）数量积定义：设非零向量a与b的夹角为θ，则a·b=|a||b|cosθ（2）向量的投影：把|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影，|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影（3）数量积的几何意义：数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影的乘积，或等于b的模与a在b方向上的投影的乘积3数量积的运算律：对于向量a，b和实数λ，有（1）交换律：a·b＝b·a；（2）分配律：a＋b·c＝a·c＋b·c；组卷网（3）数乘结合律：λa·b＝λa·b＝ a·λb）；（4）自乘律：a2＝|a|24数量积的坐标运算：设向量a＝1，y1，b＝2，y2，则 a·b＝12＋y1y2拓展延伸的夹角为θ，则当0°≤θ＜90°时，a·b＞0；当90°＜θ≤180°时，a·b＜0；当θ＝90°时，a·b＝02.由数量积可得如下一些结论:（1）a⊥ba·b＝0（a≠0，b≠0）；（2）夹角公式：；（3）投影公式：；（4）|a·b|≤|a||b|；（5）a＋b2＝a2＋2a·b＋b2， a＋ba－b＝a2－b23数量积不满足结合律，即 a·b·c≠a·b·c的夹角为钝角，则a·b＜0，反之不成立考点分析考点1求向量的数量积例1(07·重庆卷)如图，在四边形ABCD中，AB＋BD＋DC＝4，AB·BD＋BD·DC＝4，AB⊥BD，BD⊥DC，求的值.ABCD

例2设向量c＝λa－4b(λ∈R)，已知|a|＝，|b|＝2，a⊥c，

b·c＝－4，求a·b的值.

例3已知向量a＝(x，x－4)，b＝当x∈[－4，2]时，求a·b的最大值.【解题要点】选择运算形式几何、字符、坐标→选择数量积的算法定义法，坐标法，方程法考点2求向量的模例4已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求|a＋b|和|3a－4b|例5已知向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，a－b⊥c，a⊥b，|a|＝1，求|b|和|c|例6已知向量a＝(cosθ，sinθ)，b＝(－sinθ，cosθ)，若求|a＋b|.【解题要点】选择运算形式→在字符运算中利用自乘律求模→在几何运算中利用线段长度求模→在坐标运算中利用距离公式求模考点3向量的夹角问题例7已知向量a＝1，2，b＝－2，n若a与b的夹角为45°，c与b同向，且c－a⊥a，求n的值及向量c的坐标例8（1）若|a|＝1，|b|＝2，a＋b⊥a则向量a与b的夹角为（2）已知两单位向量a与b的夹角为120°，设c＝2a－b，d＝3b－a，则向量c与d的夹角的余弦值为例9已知|a|＝2，|b|＝1，向量a与b的夹角为60°，若向量2ta＋7b与a＋tb的夹角为钝角，求实数t的取值范围

例10已知两定点M(－1，0)，N(1，0)动点P使得，，成等差数列，求向量与的夹角θ的取值范围.【解题要点】选择运算形式→利用数量积除模积求夹角→利用函数或不等式思想求变量范围考点一：计算夹角的大小思考1：如图，在等腰△ABC中，D、E分别是两条腰AB、AC的中点，若CD⊥BE，你认为∠A的大小是否为定值？ABCDE思考2：设向量a，b，可以利用哪个向量原理求∠A的大小？ABCDEab思考3：以a，b为基底，向量，如何表示？ABCDEab思考4：将CD⊥BE转化为向量运算可得什么结论？

a·b=（a2＋b2）思考5：因为△ABC是等腰三角形，则|a|=|b|，结合上述结论:a·b=(a2＋b2

),cosA等于多少？ABCDEab考点二向量方法在物理中的应用例2一个物体受到同一平面内三个力F1、F2、F3的作用，沿北偏东45°方向移动了8m，已知|F1|＝2N，方向为北偏东30°，|F2|＝4N，方向为东偏北30°,|F3|＝6N，方向为西偏北60°，求这三个力的合力所做的功F1F2F3东北S考点三。向量位置关系的分析与转化例3已知e为单位向量，a≠e，若对任意实数t都有|a－te|≥|a－e|成立，求证：e⊥a－e

例4设△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，试推断是否存在实数m，使对任意△ABC都有 成立？若存在，求m的值；若不存在，说明理由.【解题要点】将位置关系与向量运算相互转化→注意数形结合→运用方程思想考点5向量与三角函数的综合应用

例13已知向量a＝，常数，求的最小值.b＝，，λ为非零例14已知向量a＝cosα，sinα，b＝cosβ，sinβ，其中0＜α＜β＜π，若对任意非零实数，有|a＋b|＝|a－b|成立，求β－α的值

例15已知△ABC的面积为3，且 ，设∠BAC＝θ，向量a＝，b＝，若a·b＝3，求θ的值.【解题要点】字符运算与坐标运算相结合→将向量语言转化为三角关系→运用三角知识解决相关问题考点6向量方法在几何中的应用

例16在等腰△ABC中，D、E分别是两条腰AB、AC的中点，若CD⊥BE，求cosA的值.ABCDE探究（三）：计算夹角的大小思考1：如图，在等腰△ABC中，D、E分别是两条腰AB、AC的中点，若CD⊥BE，你认为∠A的大小是否为定值？ABCDE思考2：设向量a，b，可以利用哪个向量原理求∠A的大小？ABCDEab思考3：以a，b为基底，向量，如何表示？ABCDEab思考4：将CD⊥BE转化为向量运算可得什么结论？

a·b=（a2＋b2）思考5：因为△ABC是等腰三角形，则|a|=|b|，结合上述结论:a·b=(a2＋b2

),cosA等于多少？ABCDEab例17如图，点D是△ABC中AC边上一点，且AD＝2DC，∠ACB＝45°，∠ADB＝60°，点O是△BCD的外心，证明直线AB是圆O的切线ABCDO

例18如图，过y轴正半轴上一点P作直线l，交抛物线x2＝4y于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点，过点A作x轴的平行线，交直线BQ于点E，求证：

.ABPQxyOE【解题要点】几何问题向量化→求解向量问题→回归到几何问题考点7向量方法在物理中的应用

例19一物体受到两个向前的力F1、F2的作用，已知水平方向的拉力|F1|＝20N，斜向上的拉力|F2|＝