空间几何中的向量方法

77空间几何中的向量方法-2-知识梳理考点自诊1直线的方向向量与平面的法向量1直线l上的非零向量e以及与的非零向量叫做直线l的方向向量

2如果表示非零向量n的有向线段所在直线平面α,那么称向量n垂直于平面α,记作此时把叫做平面α的法向量

e共线垂直于n⊥α向量n-3-知识梳理考点自诊2线面关系的判定设直线l1的方向向量为e1=a1,b1,c1,直线l2的方向向量为e2=a2,b2,c2,平面α的法向量为n1=1,y1,1,平面β的法向量为n2=2,y2,21若l1∥l2,则e1∥e2⇔⇔2若l1⊥l2,则e1⊥e2⇔⇔3若l1∥α,则e1⊥n1⇔e1·n1=0⇔

4若l1⊥α,则e1∥n1⇔e1=n1⇔

5若α∥β,则n1∥n2⇔n1=n2⇔

6若α⊥β,则n1⊥n2⇔n1·n2=0⇔

e2=λe1a2=λa1,b2=λb1,c2=λc1e1·e2=0a1a2b1b2c1c2=0a11b1y1c11=0a1=1,b1=y1,c1=11=2,y1=y2,1=212y1y212=0-4-知识梳理考点自诊3利用空间向量求空间角1两条异面直线所成的角①范围:两条异面直线所成的角θ的取值范围是

②向量求法:设异面直线a,b的方向向量为a,b,直线a与b的夹角为θ,a与b的夹角为φ,则有cosθ=

2直线与平面所成的角①范围:直线与平面所成的角θ的取值范围是

②向量求法:设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为u,直线l与平面α所成的角为θ,a与u的夹角为φ,则有sinθ=或cosθ=sinφ

|cosφ||cosφ|-5-知识梳理考点自诊3二面角①范围:二面角的取值范围是

②向量求法:若AB,CD分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量的夹角如图①设n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则图②中向量n1与n2的夹角的补角的大小就是二面角的平面角的大小;而图③中向量n1与n2的夹角的大小就是二面角的平面角的大小

-6-知识梳理考点自诊4利用空间向量求距离1点到平面的距离如图所示,已知AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的法向量,则B到平面α的距离为2线面距、面面距均可转化为点面距进行求解-7-知识梳理考点自诊-8-知识梳理考点自诊1判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”1直线的方向向量是唯一确定的2平面的单位法向量是唯一确定的3若两条直线的方向向量不平行,则这两条直线不平行4若空间向量a垂直于平面α,则a所在直线与平面α垂直5两条直线的方向向量的夹角就是这两条直线所成的角6已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量,若cos<m,n>=,则直线l与平面α所成的角为120°7已知两平面的法向量分别为m=0,1,0,n=0,1,1,则两平面所成的二面角的大小为45°××√√×××-9-知识梳理考点自诊2如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是A斜交 B平行C垂直 内B-10-知识梳理考点自诊-11-知识梳理考点自诊1中,AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为C-12-知识梳理考点自诊42019安徽合肥模拟在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=3,点M是BC的中点,点D,则PQ长度的最小值为C-13-知识梳理考点自诊-14-知识梳理考点自诊52019福建漳州二模,8如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB和A1D1的中点分别为E,F,则直线EF与平面AA1D1D所成角的正弦值为C-15-知识梳理考点自诊-16-考点1考点2考点3利用空间向量证明平行、垂直例1如图,在四棱锥在,∥平面PAD;2平面PAB⊥平面PAD-17-考点1考点2考点3证明:以点C为坐标原点,分别以CB,CD,CP所在的直线为轴、y轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系C-y∵PC⊥平面ABCD,∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角∴∠PBC=30°-18-考点1考点2考点3-19-考点1考点2考点3-20-考点1考点2考点3思考用向量方法证明平行和垂直有哪些基本方法解题心得1用向量证明平行的方法1线线平行:证明两直线的方向向量共线2线面平行:①证明直线的方向向量与平面的某一法向量垂直;②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行3面面平行:①证明两平面的法向量为共线向量;②转化为线面平行、线线平行问题2用向量证明垂直的方法1线线垂直:证明两直线的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零2线面垂直:证明直线的方向向量与平面的法向量共线3面面垂直:证明两个平面的法向量垂直-21-考点1考点2考点3对点训练1如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C和侧面AA1-B1B都是正方形且互相垂直,M为AA1的中点,N为BC1的中点求证:1MN∥平面A1B1C1;2平面MBC1⊥平面BB1C1C-22-考点1考点2考点3证明:由题意知AA1,AB,AC两两垂直,以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系不妨设正方形AA1C1C的边长为2,则A0,0,0,A12,0,0,B0,2,0,B12,2,0,C0,0,2,C12,0,2,M1,0,0,N1,1,11因为几何体是直三棱柱,所以侧棱AA1⊥底面A1B1C1-23-考点1考点2考点32设平面MBC1与平面BB1C1C的法向量分别为n1=1,y1,1,n2=2,y2,2令1=2,则平面MBC1的一个法向量为n1=2,1,-1同理可得平面BB1C1C的一个法向量为n2=0,1,1因为n1·n2=2×01×1-1×1=0,所以n1⊥n2,所以平面MBC1⊥平面BB1C1C-24-考点1考点2考点3利用空间向量求空间角多考向考向1求异面直线所成的角例22019河北衡水中学四调,14已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为

思考如何利用向量法求异面直线所成的角-25-考点1考点2考点3解析:以垂直于BC的方向为轴,BC为y轴,BB1为轴建立空间直角坐标系-26-考点1考点2考点3考向2求直线与平面所成的角例3如图,四棱锥为线段AD上一点,AM=2MD,所成角的正弦值为

思考如何利用向量法求直线与平面所成的角-27-考点1考点2考点3-28-考点1考点2考点3-29-考点1考点2考点3考向3求二面角的大小例42019四川成都二模,18如图①,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分别为AB,CD的中点,CD=2AB=2EF=4,折起,使平面BEFC⊥平面AEFD,得到如图②所示的多面体1略;2求二面角M-AB-D的余弦值思考如何利用向量法求二面角-30-考点1考点2考点3解:2∵平面BEFC⊥平面AEFD,平面BEFC∩平面AEFD=EF,且EF⊥DF,∴DF⊥平面BEFC,∴DF⊥CF,∴DF,CF,EF两两垂直,以F为坐标原点,分别以FD,FC,FE所在直线为,y,轴,建立空间直角坐标系,-31-考点1考点2考点3-32-考点1考点2考点3解题心得1利用向量法求异面直线所成的角时,是通过两条直线的方向向量的夹角来求解,而两异面直线所成角θ的范围是两向量的夹角α的范围是,所以要注意二者的区别与联系,应有cosθ=|cosα|2利用向量法求线面角的方法①分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角或其补角;②通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角,取其余角就是斜线和平面所成的角-33-考点1考点2考点33利用空间向量求二面角的方法①分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且从垂足出发的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小;②通过平面的法向量来求,即设二面角的两个半平面的法向量分别为n1和n2,则二面角的大小等于<n1,n2>或π-<n1,n2>应注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角-34-考点1考点2考点3对点训练212019陕西宝鸡中学模拟,10已知正三棱柱ABC-A1B1C1,AB=AA1=2,则异面直线AB1与CA1所成角的余弦值为C-35-考点1考点2考点322019黑龙江哈尔滨三中一模,19如图所示,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥底面ABCD,四边形ABCD为菱形,∠BAD=120°,AB=AA1=2A1B1=2①略;②求直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值-36-考点1考点2考点3解:②∵四边形ABCD为菱形,∠BAD=120°,AB=AA1=2A1B1=2,得DM=1,AM=,∴∠AMD=∠BAM=90°又∵AA1⊥底面ABCD,分别以AB,AM,AA1为轴、y轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系A-y,-37-考点1考点2考点332019四川广安诊断一,19如图,在棱长为2的正方体ACBD-A1C1B1D1中,M是线段AB上的动点①略;②若点M是AB中点,求二面角M-A1B1-C的余弦值;③略-38-考点1考点2考点33解:②∵在正方体ACBD-A1C1B1D1中,CB,CA,CC1两两互相垂直,则建立空间直角坐标系C-y,如图所示,则M1,1,0,A10,2,2,B12,0,2,C0,0,0,-39-考点1考点2考点3求空间距离例5已知三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PA=1,PB=2,PC=3,则点P到平面ABC的距离为

-40-考点1考点2考点3解析:如图所示,∵三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,∴以P为原点,PA为轴,PB为y轴,PC为轴,建立空间直角坐标系,∵PA=1,PB=2,PC=3,∴P0,0,0,A1,0,0,B0,2,0,C0,0,3,-41-考点1考点2考点3解题心得利用空间向量求距离的基本方法:1两点间的距离2点到平面的距离如图所示,已知AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的法向量,则B到平面α的距离为-42-考点1考点2考点3对点训练3在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中点,则点A1到平面MBD的距离是A-43-考点1考点2考点3-44-考点1考点2考点31用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路:一种是用向量表示几何量,利用向量的运算进行判断另一种是用向量的坐标表示几何量,共分三步:1建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量或坐标