七年级数学上册专题12 一元一次方程的实际应用(人教版)(原卷版)

/专题12一元一次方程实际应用【思维导图】一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．备注：（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．◎考点题型1配套问题例．（2022·四川广元·七年级期末）有一所寄宿制学校，开学安排宿舍时，如果每间宿舍安排住4人，就会空出5间宿舍；如果每间宿舍安排住3人，就有100人没床位，那么在学校住宿的学生有多少人？设在学校住宿的学生有x人，根据题意可列方程为（

）A． B． C． D．变式1．（2022·福建三明·模拟预测）用200张彩纸制作圆柱，每张彩纸可制作圆柱侧面20个或底面60个，一个圆柱侧面与两个底面组成一个圆柱．为使制作的圆柱侧面和底面正好配套，设把x张彩纸制作圆柱侧面，则方程可列为（

）A． B．C． D．变式2．（2022·辽宁阜新·七年级期末）某服装厂要生产同一种型号的服装，已知3m长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套．(1)列一元一次方程解决问题：现库内存有布料200m，应如何分配布料做上衣和做裤子才能恰好配套？可以生产多少套衣服？(2)如果恰好有这种布料327m，最多可以生产多少套衣服？本着不浪费的原则，如果有剩余，余料可以做几件上衣或裤子？变式3．（2021·山东烟台·期末）列方程解应用题某啤酒公司的啤酒车间先将散装啤酒灌装成瓶装啤酒，再将瓶装啤酒装箱出车间．该车间有灌装、装箱生产线共21条，每条灌装生产线每小时装350瓶，每条装箱生产线每小时装450瓶．某日，生产前车间内已有未装箱的瓶装啤酒5200瓶，8:00开始，车间内的生产线全部投入生产．(1)若当日到10:00时，该车间内未装箱的瓶装啤酒达到5500瓶.设灌装生产线有x条，当日到10:00时，灌装生产线共装多少瓶啤酒（用含x的代数式表示）？该车间内灌装生产线有多少条？(2)若该日车间工作8小时，灌装生产线设计多少条时？该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装箱？◎考点题型2工程问题如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：（1）总工作量=工作效率×工作时间；（2）总工作量=各单位工作量之和．例．（2022·山东济宁·七年级期末）一项工程由甲工程队单独完成需要12天，由乙工程队单独完成需要16天．甲工程队单独施工5天后，为加快工程进度，又抽调乙工程队加入该工程施工，问还需多少天可以完成该工程？如果设还需x天可以完成该工程，则可列方程为（

）A． B． C． D．变式1．（2022·福建三明·七年级期末）某车间原计划用15小时生产一批零件，实际每小时多生产了10件，用了13小时不但完成了任务，而且还多生产了80件，设原计划每小时生产个零件，那么下列方程正确的是（

）A． B．C． D．变式2．（2022·河南三门峡·七年级期末）整理一批快递，如果由一个人单独做要用20小时，现先安排一部分人用1小时整理，随后又增加4人和他们一起做了2小时，恰好完成整理工作，假设每个人的工作效率相同，那么应先安排多少人整理这批快递？变式3．（2023·江苏·七年级专题练习）在防疫政策的指导下，疫情得到了全面控制某医疗器械厂计划在规定时间内完成一批防护服的生产任务，如果每天生产防护服300套，那么就比原计划生产任务少生产100套；如果每天生产350套，那么可提前一天完成任务，并且还超过原计划生产任务50套，求这批防护服原计划生产任务是多少？◎考点题型3销售盈亏问题（1）(2)标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)(3)实际售价＝标价×打折率(4)利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．例．（2022·河北保定·七年级期末）一件上衣标价为225元，若以标价的八折（即标价的80%）出售，仍可获利20%，则该件上衣的进价为（

）元．A．140 B．150 C．160 D．180变式1．（2022·广东·汕头市金平区金园实验中学七年级期末）某商店以120元一件购进一批上衣，提价25%后出售，以8折售出，则在这次买卖中每件上衣（

）A．赚了5元 B．赚了13元 C．赔了9元 D．不赔不赚变式2．（2022·河南驻马店·七年级期末）某超市用4900元购进甲、乙两种商品，且购买乙种商品的数量比甲种商品数量的2倍还多10件．甲、乙两种商品的进价和标价如表：甲乙进价（元/件）3422标价（元/件）5035(1)该超市购进甲、乙两种商品各多少件？(2)若甲商品打9折销售，乙商品打8折销售，这批商品全部售完可获利多少元？变式3．（2022·广东·汕头市金平区金园实验中学七年级期末）某市两超市在元旦节期间分别推出如下促销方式：甲超市：全场均按八八折优惠；乙超市：购物不超过200元，不给于优惠；超过了200元而不超过500元一律打九折；超过500元时，其中的500元打九折，超过500元的部分打八折；已知两家超市相同商品的标价都一样．(1)当一次性购物总额是400元时，甲、乙两家超市实付款分别是多少？(2)某顾客在乙超市购物实际付款482元，试问该顾客的选择划算吗？试说明理由．◎考点题型4比赛积分问题例．（2022·陕西咸阳·七年级期末）某校举办班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．如果七年级（1）班在8场比赛中共得13分，设获胜的场数是x场，则可列方程为（

）A． B．C． D．变式1．（2021·河南安阳·七年级开学考试）在一次数学抢答竞赛中，共有20道题，规定每答对一道得10分、答错一道扣5分，奋斗组最后得分是155分．那么，奋斗组共答错了（

）道题A．3 B．6 C．9 D．17变式2．（2022·新疆克拉玛依·七年级期末）利用二元一次方程组解应用题：为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校高度重视学生的体育锻炼，并不定期举行体育比赛．已知在一次足球比赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在已赛的11场比赛中保持连续不败，共得25分，求该队获胜的场数．变式3．（2022·浙江绍兴·八年级期末）为增强同学们垃圾分类意识，某学校举行了垃圾分类知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．(1)若某参赛同学只有1道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？(2)若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“垃圾分类小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“垃圾分类小达人”？◎考点题型5方案选择问题选择设计方案的一般步骤：（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论．例．（2021·江苏苏州·七年级期末）商店将标价为6元的笔记本，采用如下方式进行促销；若购买不超过3本，则按原价付款；若一次性购买3本以上，则超过的部分打七折．小明有54元钱，他购买笔记本的数量是（）A．11本 B．最少11本 C．最多11本 D．最多12本变式1．（2022·云南文山·七年级期末）某班参加“3.12”植树活动，若每人植棵树，则余棵树；若每人植棵树，则差棵树，求该班有多少名学生？若设该班有名学生，则可列方程是（

）A． B．C． D．变式2．（2022·山东潍坊·八年级期末）某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话：(1)结合两人的对话内容，求小明原计划购买文具袋多少个？(2)学校决定，再次购买钢笔和签字笔共60支作为补充奖品，两次购买奖品总支出不超过500元．其中钢笔标价每支10元，签字笔标价每支6元，经过沟通，这次老板给予8折优惠，那么小明最多可购买钢笔多少支？变式3．（2022·湖北孝感·七年级期末）一种商品按销售量分三部分制定销售单价，如下表：销售量单价不超过100件的部分3元/件超过100件不超过200件的部分2.5元/件超过200件的部分2元/件如购买120件这种商品，则需100×3＋（120－100）×2.5＝350（元）(1)求购买100件、200件和260件这种商品，分别需要多少元？(2)某人购买这种商品花了400元，求他购买了这种商品多少件？(3)若某人花了n（n＞0）元，恰好购买了件这种商品，求n的值．◎考点题型6数字问题已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．例．（2022·四川眉山·七年级期末）如图，三阶幻方中每行、每列及每条对角线上的各数和都相等，则t的值为（

）A．18 B．16 C．12 D．10变式1．（2022·浙江湖州·七年级期末）数学魔术：魔术师请观众心想一个数，然后将这个数按以下步骤操作：魔术师能立刻说出观众想的那个数．小玲告诉魔术师的数是2，那么她心里想的数是（

）A．0 B． C． D．变式2．（2022·河北·石家庄市第二十八中学二模）数轴上有不同两点、，点A表示的数是：2+3．

点B表示的数是：3-2．(1)若点表示的数是-1，求点表示的数；(2)若点在点的左侧，求的取值范围．变式3．（2022·江苏·七年级专题练习）已知一列数2，0，﹣1．﹣．(1)求最大的数和最小的数的差；(2)若再添上一个有理数m，使得五个有理数的和为0，求m的值．◎考点题型7几何问题例．（2022·河南许昌·七年级期末）在如图所示的数轴上，，A、B两点对应的实数分别是和-1，则点C所对应的实数是（

）A． B． C． D．变式1．（2022·辽宁大连·七年级期末）一个长方形的周长为28cm，若把它的长减少1cm，宽增加3cm，就变成一个正方形，则这个长方形的面积是（

）A．48 B．45 C．40 D．33变式2．（2022·河南平顶山·七年级期末）如图所示，有甲、乙两个容器，甲容器盛满水，乙容器里没有水，现将甲容器中的水全部倒入乙容器，问：水会不会溢出？如果不会溢出，请你求出倒入水后乙容器中的水深；如果水会溢出，请你说明理由．（容器壁厚度忽略不计，图中数据的单位：cm）变式3．（2023·江苏·七年级专题练习）用一根长为10米的铁丝围成一个长方形，若该长方形的长比宽多2米，长方形的长、宽各为多少？◎考点题型8和差倍分问题（1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量．（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．例．（2022·黑龙江黑河·七年级期末）逊克县中小学校的第二课堂活动开展的有声有色．某校合唱团30人，舞蹈队20人要共同外出表演，现根据演出需要，从舞蹈队中抽调了部分同学参加合唱团，使合唱团的人数恰好是舞蹈队人数的4倍．设从舞蹈队中抽调了x人参加合唱团，可列方程为（

）．A．4（30﹣x）＝20＋x B．30＋x＝4（20﹣x）C．30﹣4x＝20＋x D．30﹣x＝4（20﹣x）变式1．（2022·重庆市第七中学校七年级期中）学校在举办“读书月”的活动中，将一些图书分给了七年级一班的学生阅读，如果每人分2本，则剩余15本；如果每人分3本，则还缺20本．若设该校七年级一班有学生人，则下列方程正确的是（

）A． B．C． D．变式2．（2022·河南郑州·七年级期末）某校组织七年级（）班学生分成甲、乙两队参加社会劳动实践，其中甲队人数是乙队人数的倍，后因劳动需要，从甲队抽调人支援乙队，这时甲队人数是乙队人数的一半，则甲、乙两队原来各有多少人？变式3．（2022·吉林·东北师大附中七年级期中）请根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)分别求每个水瓶和每个水杯的钱数．(2)王老师购买了6个水瓶和20个水杯，商家打八折，求王老师花的钱数．◎考点题型9电费水费问题例．（2022·云南文山·七年级期末）为鼓励居民节约用水，某市对居民用水实行“阶梯收费”，规定每户每月用水量不超过10吨，水价为每吨2元；超过10吨的部分每吨3.5元．已知小莉家某月交水费34元，则小莉家该月用水多少吨？若设小莉家该月用水x吨，则可列方程为（

）A． B．C． D．变式1．（2022·山东·潍坊市寒亭区教学研究室二模）潍坊出租车采用阶梯式的计价收费办法如下表：行驶里程计费方法不超过3公里起步价8元超过3公里且不超过7公里的部分每公里按标准租费收费超过7公里且不超过25公里的部分每公里再加收标准租费的50%超过25公里且不超过100公里的部分每公里再加收标准租费的75%超过100公里的部分每公里再加收标准租费的100%说明：行驶里程不足1公里，按1公里计算；行驶里程超过3公里时的标准租费为1.8元/公里．若某人一次乘车费用为26元，那么行驶里程为（

）A．13公里 B．12公里 C．11公里 D．10公里变式2．（2022·江苏·七年级专题练习）某市收取水费按以下规定：若每月每户不超过20立方米，则每立方米水价按1.2元收费；若超过20立方米，则超过部分按每立方米2元收费，那么(1)如果某户居民在某月用水x立方米，且x≤20，则所交水费为；(2)如果某户居民在某月用水x立方米，且x＞20，则所交水费为元；(3)如果某户居民在某月所交水费的平均水价为每立方米1.5元，设这户居民这个月共用了x立方米的水，请写出x的范围，并列出方程．计费方法A计费方法B每月基本服务费（元/月）58元88元每月免费通话时间（分）150分350分超出后每分钟收费（元/分）0.25元0.20元(1)若月通话时间是3小时，则使用计费方法A的用户话费为_______元，使用计费方法B的用户话费为_______元；(2)若月通话时间是x分钟（x>350），则按A、B两种计费方法的用户话费分别是多少？（用含x的代数式表示）(3)当通话时间为多长时，按A、B两种计费方法所需的用户话费相等？◎考点题型10行程问题（1）三个基本量间的关系：路程=速度×时间（2）基本类型有：①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间Ⅱ．寻找相等关系：同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度，顺水速度－逆水速度＝2×水速；Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．例．（2021·湖北黄石·七年级期末）汽车以72千米/时的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷，驾驶员按一下喇叭，4秒后听到回响，这时汽车离山谷多远？已知空气中声音的转播速度约为340米/秒．设按喇叭时，汽车离山谷x米，根据题意，可列出方程为（）A．2x+4×72＝4×340 B．2x﹣4×72＝4×340C．2x+4×20＝4×340 D．2x﹣4×20＝4×340变式1．（2022·河北邢台·七年级期末）某学校七年级进行一次徒步活动，带队教师和学生们以4km/h的速度从学校出发，20min后，小王骑自行车前去追赶．如果小王以12km/h的速度行驶，那么小王要用多少小时才能追上队伍？设小王要用xh才能追上队伍，那么可列出的方程是（

）A．12x＝4（x+20） B．12x＝4（+x）C．12x＝4×+x D．4x＝12（x）变式2．（2022·山东潍坊·七年级期末）甲车和乙车分别从A，B两地同时出发相向而行，分别去往B地和A地，两车匀速行驶2小时相遇，相遇时甲车比乙车少走了20千米．相遇后，乙车按原速继续行驶1.8小时到达A地．(1)乙车的行驶速度是多少千米/时？(2)相遇后，甲车先以100千米/时的速度行驶了一段路程后，又以120千米/时的速度继续行驶，刚好能和乙车同时到达目的地，试求相遇后，甲车以100千米/时的速度行驶的路程和以120千米/时的速度行驶的路程各是多少千米？变式3．（2022·陕西咸阳·七年级期末）已知甲、乙两地相距80千米，小明从甲地出发，开车去乙地．小军从乙地出发，开车去甲地．若小明与小军同时出发，且小明的平均车速是每小时45千米，小军的平均车速是每小时55千米，问经过多少小时两人相遇？（请列方程并求解）◎考点题型11比例分配问题寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．例．（2023·福建·泉州五中三模）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤.”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤（注：明代时1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语）．设总共有x个人，根据题意所列方程正确的是（

）A．7x-4=9x+8 B．7x+4=9x-8C． D．变式1．（2021·江苏·七年级专题练习）“和尚分馒头”问题是我国古代的数学名题之一，它出自明代数学家程大位写的《算法统宗》．书中的题目是这样的：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？设有小和尚人，根据题意