第04讲解三角形（原卷版）

第04讲解三角形1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2．三角形常用面积公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)．(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．3．常用推论sinA=sin(B+C)cosA=cos(B+C)tanA=tan(B+C)sinB=sin(A+C)cosB=cos(A+C)tanB=tan(A+C)sinC=sin(A+B)cosC=cos(A+B)tanC=tan(A+B)一．利用正弦、余弦定理解三角形例1．（1）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A=45°，a=6，b=3，则B的大小为（

）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°（2）如图，中，角的平分线交边于点，，，，则（

）A． B． C． D．（3）在中，,BC=1,AC=5，则AB=（）A． B． C． D．（4）（多选）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，，且，则（）A． B． C． D．【复习指导】：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；（4）代数变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到.（5）如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=_____________.（6）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．【复习指导】：(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．二．正弦定理、余弦定理的应用命题点1判断三角形的形状例2．（1）在中，角A、B、C所对的对边分别为a、b、c，若，则的形状为（

）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．无法确定【复习指导】：判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.利用正弦定理判断三角形形状的方法如下：(1)化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有：①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(R为△ABC外接圆的半径)；②eq\f(a,b)＝eq\f(sinA,sinB)，eq\f(a,c)＝eq\f(sinA,sinC)，eq\f(b,c)＝eq\f(sinB,sinC)；(2)化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有：①sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)(R为△ABC外接圆的半径)；②eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,b)，eq\f(sinA,sinC)＝eq\f(a,c)，eq\f(sinB,sinC)＝eq\f(b,c).(3)如果所知条件方便求角，只需判断最大的角是钝角，直角，锐角；(4)如果方便求边，假设最大边为c，可用a2＋b2－c2来判断cosC的正负.而判断边或角是否相等则一目了然，不需多说.（2）已知的三个内角所对应的边分别为，且满足，且，且的形状是（

）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．顶角为的等腰三角形 D．顶角为的等腰三角形（3）在中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量，，共线，则形状为（

）A．等边三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形（4）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则为（

）A．钝角三角形 B．正三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形（5）在中，若，则这个三角形是（

）A．底角不等于的等腰三角形 B．锐角不等于的直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形（6）设的三个内角满足，又，则这个三角形的形状是（

）A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰直角三角形 D．钝角三角形【复习指导】：(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系．②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．(2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2.②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2.③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2.④若sin2A＝sin2B，则A＝B或A＋B＝eq\f(π,2).命题点2判断三角形解的个数例3．（1）在中，角所对的边分别为，下列条件使得无法唯一确定的是（

）A． B．C． D．【复习指导】：已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数(1)正弦定理法：已知△ABC的两边a，b和角A，求B.根据正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，可得sinB＝eq\f(bsinA,a).若sinB>1，三角形无解；若sinB＝1，三角形有且只有一解；若0<sinB<1，B有两解，再根据a，b的大小关系确定A，B的大小关系(利用大边对大角)，从而确定B的两个解的取舍.(2)余弦定理法：已知△ABC的两边a，b和角A，求c.利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，整理得c2－2bccosA－a2＋b2＝0.适合问题的上述一元二次方程的解c便为此三角形的解.(3)公式法当已知△ABC的两边a，b和角A时，通过前面的分析可总结三角形解的个数的判断公式如下表：A<90°A≥90°a≥ba<ba>ba≤ba>bsinAa＝bsinAa<bsinA一解二解一解无解一解无解（2）在中，角、、所对的边分别为、、，那么下列给出的各组条件能确定三角形有两解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，（3）在中，角所对的边分别为，若，，，则此三角形解的情况为（

）A．无解 B．有两解 C．有一解 D．有无数解（4）在下列关于的四个条件中选择一个，能够使角被唯一确定的是（

）①②；③；④.A．①② B．②③ C．②④ D．②③④（5）已知中，，，若有两解，则边长的取值范围是（

）A． B． C． D．命题点3三角形面积的计算例4．（1）中，内角所对的边分别为.若则的面积为（

）A． B． C． D．（2）椭圆的左右焦点为､，为椭圆上的一点，，则△的面积为（

）A．1 B． C． D．2（3）△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________．（4）已知中角、、所对的边分别为、、，，，，则______．（5）已知外接圆的半径为，且，若的面积为，则的值为________．【复习指导】：三角形面积计算问题要适当选用公式，可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化．命题点4求三角形中的边长或周长的最值或范围例5．（1）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．=1\*GB3①求B；=2\*GB3②若的面积等于，求的周长的最小值．（2）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．=1\*GB3①求角B的大小；=2\*GB3②若，求周长的取值范闱．【复习指导】：=1\*GB2⑴高考中考查求解三角形的范围问题时：方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.方法二：采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.方法三：巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.=2\*GB2⑵解三角形范围问题要注意以下内容：=1\*GB3①运用三角形内角和定理：A+B+C=，大边对大角．=2\*GB3②已知条件中的范围限制要留意，如：已知△ABC为锐角三角形，则要求三个角均为锐角之外，还要求A+B＞，解题时要尽量把范围缩到最小限度．=3\*GB3③涉及求范围的问题，一定要搞清已知量的范围，利用已知的范围进行求解．已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．（3）在中，的对边分别为，且满足.=1\*GB3①求；=2\*GB3②若，求的取值范围.命题点5求三角形面积的最值或范围例6．（1）在锐角中，分别为角的对边，已知，则的面积S的取值范围是（

）A． B． C． D．（2）若在中，，则面积S的取值范围是___________．（3）记的面积为S，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知①求角C.②求面积的最大值.（4）已知分别为三个内角的对边，且.①求B；②若为锐角三角形，且，求的面积S的取值范围.【复习指导】：解与三角形中边角有关的量的取值范围时，主要有两大方法：=1\*GB3①利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形中边角的取值范围、函数值域求法求解范围即可。=2\*GB3②利用余弦定理公式进行合理变形，巧妙结合基本不等式求最值，特别提醒不要忽略三角形三边的关系，即两边之和大于第三边。三．解三角形应用举例命题点1测量距离问题例7．（1）如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．akmB．akmC．akmD．2akm（2）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西匀速行驶，在公路北侧远处一座高900米的山顶D的测得点A的在东偏南方向上过一分钟后测得点B处在山顶地的东偏南方向上，俯角为，则该车的行驶速度为（

）A．15米/秒B．15米/秒C．20米/秒D．20米/秒（3）为了测量河对岸两点C，D间的距离，现在沿岸相距的两点A，B处分别测得，，则间的距离为________.命题点2测量高度问题例8．（1）东寺塔与西寺塔为“昆明八景”之一，两塔一西一东，遥遥相对，已有1100多年历史．东寺塔基座为正方形，塔身有13级，塔顶四角立有四只铜皮做成的鸟，俗称金鸡，所以也有“金鸡塔”之称．如图，在A点测得：塔在北偏东30°的点处，塔顶的仰角为30°，且点在北偏东60°．相距80（单位：），在点测得塔在北偏西60°，则塔的高度约为（

）A．69 B．40 C．35 D．23（2），如图，测得，，米，则岳阳楼的高度约为(，)（

）A．米 B．米 C．米 D．米（3）如图，在离地面高400的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知，求山的高度__________..【复习指导】：测量高度此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题.命题点3测量角度问题例9．（1）一艘船航行到点处时，测得灯塔与其相距30海里，如图所示.随后该船以20海里/小时的速度，沿直线向东南方向航行1小时后到达点，测得灯塔在其北偏东方向，则（

）A． B． C． D．（2）如图，某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为30°，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B处，此时测得俯角为45°.已知此山的高，小车的速度是，则（

）A． B． C． D．（3）如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cosθ等于（）A． B． C．－1 D．－1【复习指导】：解一个三角形需要已知三个几何元素（边和角），且至少有一个为边长，对于未知的几何元素，放到其它三角形中求解.1．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=（）A． B． C． D．2．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的值是（

）A．6 B．8 C．4 D．23．在中，已知，，，则（

）A．1 B． C． D．34．在中，，则三角形的形状为（

）A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．正三角形 D．等腰三角形5．在中，若，则的形状为（

）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形6．的内角的对边分别为，则下列说法不正确的是（

）A．若，则B．若，则有两解C．若为钝角三角形，则D．若三角形为斜三角形，则7．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论错误的是（

）A．若，则B．若为锐角三角形，则C．若，则一定为直角三角形D．若，则可以是钝角三角形8．在中，若，则是（

）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形9．已知△ABC满足，则△ABC的形状为（

）A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形10．在中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，则下列结论正确的为（

）A．不可能构成一个三角形的三边长B．可以构成一个直角三角形的三边长C．可以构成一个锐角三角形的三边长D．可以构成一个钝角三角形的三边长11．在中，内角所对的边分别为，则下列条件能确定三角形有两解的是（

）A．B．C．D．12．在中，角的对边分别为，当的外接圆半径时，面积的最大值为（

）A． B． C． D．13．在中，角的对边分别为，若，，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．14．如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距500km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从A点起飞以后，就沿与原来的飞行方向AB成角的方向飞行，飞行到中途C点，再沿与原来的飞行方向AB成角的方向继续飞行到终点B点.这样飞机的飞行路程比原来的路程500km大约多飞了（）（，）A．10kmB．20kmC．30kmD．40km15．如图，一座垂直建于地面的信号发射塔的高度为，地面上一人在A点观察该信号塔顶部，仰角为，沿直线步行后在B点观察塔顶，仰角为，若，此人的身高忽略不计，则他的步行速度为（

）A． B． C． D．16．已知在中，，且，则该的形状为（

）[附：]A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形17．在中，若，，则C的取值范围是（

）．A．B．C．D．18．已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，则的面积（

）．A． B． C． D．19．在中，若，则的面积是（

）A．1 B． C． D．20．在中，角所对的边分别为，若，则角的取值范围是（

）A． B． C． D．21．（多选）在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（

）A．若，则 B．若，则为等腰直角三角形C． D．若，则为钝角三角形22．（多选）对于，角的对边分别为，有如下判断，其中正确的判断是（

）A．若，则B．若，则C．若，则符合条件的有两个D．若，则是钝角三角形23．（多选）在中各角所对得边分别为a，b，c，下列结论正确的有（

）A．则为等边三角形；B．已知，则；C．已知，，，则最小内角的度数为；D．在，，，解三角形有两解．24．（多选）已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，，若满足条件的三角形有两个，则x的值可能为（

）A．1 D．225．（多选）在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（

）A．b＝7，c＝3，C＝30° B．b＝5，c＝4，B＝45°C．a＝6，b＝3，B＝60° D．a＝20，b＝30，A＝30°26．（多选）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，则下列结论正确的是（

）A．若a=4，b=6，A=30°，则三角形有一解 B．a＝bcosC+ccosBC．若sin2A＝sin2B，则△ABC一定为等腰三角形 D．若A＝60°，a＝5，则△ABC面积的最大值为27．（多选）在中，角,,所对的边分别为,,，下列四个命题中，正确的命题为（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则这个三角形有两解28．已知内角，，所对的边分别为，，，若，，，则面积为___________.29．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是________．①若A＝30°，b＝5，a＝2，则有2解

②若，则③若，则为锐角三角形

④若，则为等腰三角形或直角三角形30．如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高__________．31．如图，隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边先选取相距km的C，D两点，同时，测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（A，B，C，D在同一平面内），则AB=______