《结构力学》教案 第九章 矩阵位移法

PAGE第九章矩阵位移法（4学时）主要内容9-1概述9-2单元刚度矩阵——局部坐标系9-3单元刚度矩阵——整体坐标系9-4用先处理法建立结构刚度矩阵9-5等效结点荷载知识点9-1概述矩阵位移法的理论基础、数学形式；矩阵位移法与传统位移法的比较：单元分析、整体分析。9-2单元刚度矩阵-局部坐标系一般单元、单元刚度方程、单元刚度矩阵的性质、特殊单元。9-3单元刚度矩阵-整体坐标系单元坐标转换矩阵；整体坐标系的单元刚度矩阵：元素kij的物理意义、对称性、奇异性。9-4用先处理法建立结构刚度矩阵先处理法的概念与特点、结点位移分量的统一编码、单元单位向量、刚架的整体刚度矩阵、铰结点的处理、忽略轴向变形时刚架整体分析、桁架整体分析。9-5等效结点荷载结点荷载与非结点荷载；单元集成法求等效结点荷载。重点难点9-2单元刚度矩阵-局部坐标系重点：一般单元的单元刚度矩阵。难点：单元刚度矩阵的性质。9-3单元刚度矩阵-整体坐标系重点：整体坐标系的单元刚度矩阵的计算。难点：整体坐标系的单元刚度矩阵与局部坐标系的单元刚度矩阵的异同。9-4用先处理法建立结构刚度矩阵重点：不同情况下整体刚度矩阵的计算。难点：单元定位向量的确定、特殊情况的处理。9-5等效结点荷载重点：单元集成法求整体等效结点荷载的步骤。难点：等效结点荷载的概念。第九章矩阵位移法PAGEPAGE59.1概述知识点：矩阵位移法的理论基础、数学形式；矩阵位移法与传统位移法的比较：单元分析、整体分析。知识点：矩阵位移法的理论基础、数学形式理论基础：传统的结构力学数学形式：矩阵计算手段：电子计算机知识点：矩阵位移法与传统位移法的比较（1）位移法的基本思路：从化整为零到集零为整，见图9.1。分析未知位移→将结构离散化，分析每个杆件的杆端力→建立平衡方程，求解结点位移→回代杆端力表达式，求杆端力，绘内力图。图9.1（2）传统解法与矩阵位移法的比较理论同源，作法有别。前者以手算为主，后者以电算为主。手算怕繁，电算怕乱。化整为零——单元分析单元刚度矩阵单元刚度方程集零为整——整体分析形成整体刚度矩阵总体刚度方程9.2单元刚度矩阵-局部坐标系知识点一般单元、单元刚度方程、单元刚度矩阵的性质、特殊单元。重点难点重点：一般单元的单元刚度矩阵。难点：单元刚度矩阵的性质。知识点：一般单元（1）杆端内力与位移关系回顾（轴向）；；（弯曲）（2）公式推导（图9.2）图9.2杆件性质：长度l，截面面积A，截面惯性矩I，弹性模量E；杆端位移u、v、θ。（9.1）（9.2）列成矩阵形式：（9.3）即：（9.4）局部坐标系下单元刚度矩阵：（9.5）知识点：单元刚度矩阵的性质（1）单元刚度系数的意义一般地，第j个杆端位移分量取单位值1，其它杆端位移为0时所引起的第i个杆端力分量的值。例：的物理意义：当第3个杆端位移分量时引起的第5个杆端力分量。11（2）对称性（反力互等定理）（3）奇异性（，不存在逆矩阵）根据式可由杆端位移求解杆端力，且是唯一解。但由杆端力求杆端位移，可能无解，如有解也是非唯一解。说明：已知6个杆端力分量，若无法保证力状态的合法性——可能造成无解；若无法确定杆的支承条件——可能造成非唯一解。知识点：特殊单元（1）简支梁简支梁单元见图9.3。图9.3说明：（a）梁单元通常忽略轴向变形；（b）图10-3中；相应的力分量也应该为零；（c）依据刚度矩阵的物理意义，可以由一般单元的刚度矩阵生成梁单元矩阵。即去掉位移分量为零的相应行和列。00000000即：单元刚度方程：（1）单元刚度矩阵：（2）（2）悬臂梁等建立图9.4的单元刚度矩阵：（固定端位移为零；自由端有转角和竖向位移)图9.4 图a： 图b：（3）桁架仅有轴向位移PAGEPAGE309.3单元刚度矩阵-整体坐标系知识点单元坐标转换矩阵；整体坐标系的单元刚度矩阵：元素kij的物理意义、对称性、奇异性。重点难点重点：整体坐标系的单元刚度矩阵的计算。难点：整体坐标系的单元刚度矩阵与局部坐标系的单元刚度矩阵的异同。知识点：单元坐标转换矩阵（1）问题的提出单元刚度矩阵——单根杆；多根根组成的复杂结构呢？（图9.5）图9.5（a）从数学的角度理解：整体坐标系（xy）与局部坐标系（）的区别；（b）力分量应向整体坐标系转换，图f给出了两种坐标系下力分量之间的数学关系：（2）公式推导矩阵形式：（1）同理：（2）其中：为单位坐标转换矩阵。（3）［T］的特性正交矩阵：其逆矩阵等于转置矩阵，即。α＝0时，（单位矩阵）。知识点：整体坐标系的单元刚度矩阵（1）整体坐标系中的单元刚度矩阵两种坐标系中单元刚度矩阵的转换关系为：单元刚度矩阵的性质：同局部坐标系下。实例：例1：求图9.6a刚架各单元在整体坐标系中的单元刚度矩阵。杆长l=5m,截面b×h=0.5m×1m，A=0.5m2，I=1/24m4，E=3×104MPa图9.6a图9.6b解：（1）建立整体坐标系、杆单元编号、建立单元局部坐标系，图9.6b（2）局部坐标系下单元刚度矩阵（3）坐标转换矩阵（1）单元1：α＝0，（2）单元2：α＝90；

9.4用先处理法建立结构刚度矩阵知识点先处理法的概念与特点结点位移分量的统一编码单元单位向量刚架的整体刚度矩阵铰结点的处理忽略轴向变形时刚架整体分析桁架整体分析。重点难点重点：不同情况下整体刚度矩阵的计算。难点：单元定位向量的确定、特殊情况的处理。知识点：先处理法的概念与特点在计算形成结构总刚度矩阵之前，即单元分析中（写出单元刚度矩阵）时，就考虑结构的位移约束条件。由于各单元受到的位移约束不同，单元刚度矩阵阶数各不相同。由单元刚度矩阵形成的总刚度矩阵即为结构刚度矩阵。与后处理法的区别：结点位移向量仅需列入独立的未知结点位移。单刚不同：在完整的单元刚度矩阵中划去零杆端位移对应的行和列，即可得到考虑位移约束后的单元刚度矩阵。知识点：结点位移分量的统一编码位移编码原则：（1）结点按从上往下，从左往右；（2）结点的位移分量按先水平位移、后竖向位移、再转角位移的顺序编码。图9.7a若考虑支座约束条件对位移的影响，其结点位移编码见图9.7b，位移分量为零的，编码为零（这种方法叫先处理法）。A结点的三个位移分量均为零，故编码（000）；B结点位移编码（123），编码1、2、3分别代表B结点的水平位移、竖向位移和转角位移；C结点位移编码（004）；C结点的水平位移、竖向位移为零，有转角位移。结构有4个未知位移分量，结构整体刚度矩阵的阶数为4阶。图9.7a图9.7b知识点：单元定位向量整体坐标系下单元刚度矩阵中元素的物理意义是指单元杆端发生单位位移时产生的单元杆端力。那整体坐标系下单元杆端位移如何对应结构的位移编码呢？图9.8a是结构的位移编码，如1，2等，称为总码；图9.8b是整体坐标系下单元结点位移的编码，如（1），（2）等，称为局部码（单元分析是不考虑约束条件的）。其对应关系见表9-1。图9.8a图9.8b单元定位向量是指单元对应的结点位移总码组成的向量。单元两种编码的对应关系即由单元定位向量来表示。单元①和②的定位向量在表9-1中给出。表9-1局部码与总码的对应关系单元局部码→总码单元定位向量单元局部码→总码单元定位向量①（1）→1（2）→2（3）→4（4）→0（5）→0（6）→4②（1）→1（2）→2（3）→3（4）→0（5）→0（6）→0知识点：刚架的整体刚度矩阵在整体坐标系下的单元刚度矩阵中的元素按局部码排列。在结构整体刚度矩阵中的元素按总码排列。单元刚度矩阵通过单元单位向量得出单元贡献矩阵，其作法见表9-2。这种做法称为单元集成法，即将单元刚度矩阵中的元素按照单元定位向量在整体刚度矩阵中定位，得到单元贡献矩阵，再将各单元贡献矩阵中的元素累加，最终得到结构整体刚度矩阵。表9-2单元刚度矩阵单元贡献矩阵做法换码元素的原行码i原列码j换成新行码λi新列码λji→λij→λj定位在i行j列的元素改在λi行λj列keij→Keλiλj以下以例1为例形成结构整体刚度矩阵。单元①：单元定位向量：单元贡献矩阵：单元②：单元定位向量：单元贡献矩阵：将单元①、②的单元贡献矩阵累加，得结构整体刚度矩阵：知识点：铰结点的处理图9.9，结点A是铰结点。根据铰结点的特点：结点不能产生相当移动，但可产生相对转动。其考虑轴向变形的整体位移编码见图9.9，图中A结点有两个独立的转角位移，编不同的位移码。图9.9结构的整体刚度矩阵为7阶。定位向量：知识点：忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析工程中，刚架结构的轴向变形对结构影响一般很小，可以忽略不计。矩阵位移法在求解忽略轴向变形的刚架时，采用先考虑轴向变形的一般单元来进行单元分析；再通过“结点位移编码”来实现忽略轴向变形。图9.9a为考虑轴向变形的位移编码；图9.9b为忽略轴向变形的位移编码。图9.9b，横梁忽略轴向变形。那么，它们的位移相同，则编码相同，其他编码按顺序改变。图9.9a图9.9b单元定位向量：图9.9a图9.9b知识点：桁架整体分析桁架结构的特点：（1）结点都是铰结点，无转角位移；（2）杆件的变形只有轴向变形；（3）荷载作用在结点上，为结点荷载。以图9-10a为例介绍矩阵位移法计算桁架的全过程。图9-10a图9-10b图9-10c解：（1）建立坐标系建立局部坐标系（在单元上表示）与整体坐标系见图9.9b。（2）单元分析单元编码见图9.9b。图中的单元可用一般单元（图9.9c）表示。桁架单元只有轴向力，图中4个杆端位移分量对应的杆端力只能是沿杆轴方向。1）根据局部坐标系单元刚度矩阵的性质可知：，若只考虑轴向位移：2)坐标转换矩阵坐标转换矩阵比刚架少转角位移对应的杆端力，则：（1）结点位移编码见图9.9b。2）形成单元单位向量

9.5等效结点荷载知识点结点荷载与非结点荷载；单元集成法求等效结点荷载。重点难点重点：单元集成法求整体等效结点荷载的步骤。难点：等效结点荷载的概念。知识点：结点荷载（1）连续梁，图9.11图9.11结构的整体刚度方程：（2）刚架，图9.12图9.12结构的整体刚度方程：知识点：非结点荷载非结点荷载作用情况下：图9.13刚架图9.13三个荷载向量：局部坐标系下单元等效结点荷载向量：，查课本上的表格，方向由整体坐标系的方向确定正负。常见荷载下的固端约束力向量：图9.14（图9.14a）（图9.14b）整体坐标系下单元等效结点荷载向量：整体坐标系下等效结点荷载向量：按单元定位向量定位再叠加，方法同整体坐标系下刚度矩阵的求解。结论：对于非结点荷载的情况，先将其转换为等效结点力。等效结点力就是在强行锁定结点状态下的结点约束力的相反值。实例：例：求图9.15结构的等效结点荷载向量。图9.15分析：（单元定位向量集成）←（通过转换矩阵）←←（常见荷载下的固端约束力向量）。解：见下表。单元[T]定位向量贡献矩阵①[I]②

小结矩阵位移法来源于位移法，其核心是求解结构刚度方程。1.结构整体刚度矩阵（1）单元分析1）局部坐标系下单元刚度矩阵的建立过程。一般单元——特殊单元（梁、桁架）2）坐标转换矩阵一般单元——特殊单元（桁架）3）整体坐标系下单元刚度矩阵（2）整体分析1）位移编码：注意特殊刚架结构结点位移编码的方法。2）单元单位向量3）单元贡献矩阵4）整体刚度矩阵2.结构结点荷载向量1）非结点荷载产生的单元固端力向量：2）局部坐标系单元等效结点荷载：3）整体坐标系单元等效结点荷载：4）依次将各单元的等效结点荷载{P}中元素按单元定位向量在结构的等效结点荷载{P}中进行定位，得到单元贡献等效荷载向量，再累加，最后得到{P}。5）若结构还有结点荷载，将结构等效结点荷载与结点荷载相累加，即得结构结点荷载向量。

练习一、单项选择题1.图1结构，用矩阵位移法计算时（考虑轴向变形），整体刚度矩阵的阶数是（）图1A.5B.6C.9D.102.图2结构，用矩阵位移法计算时，结点2的综合结点荷载是（）图2A.B.C.D.3.坐标矩阵是（）A.对称矩阵B.正交矩阵C.对角矩阵D.反对称矩阵4.已知某单元的杆端位移向量为，则单元类型为（）A.梁单元B.桁架单元C.一般单元D.其他单元5.图3整体坐标系中，单元的坐标转换矩阵中的角度是（）图3A.-450B.450C.1350D.2250二、计算题1.用矩阵位移法计算图4刚架结构（考虑轴向变形）。横梁AC横截面b×h=200mm×500mm；柱AD、BE横截面b×h=400mm×400mm；E=3.0×104N/mm2。要求：（1）图中建立坐标系：局部坐标系和整体坐标系。（2）图中标出单元编码、结点位移编码，整体刚度矩阵的阶数（3）写出局部坐标系下单元刚度矩阵、单元固端力向量、单元等效结点荷载向量；（4）写出单元坐标转换矩阵（5）计算整体坐标系下单元刚度矩阵、单元等效结点荷载向量（6）写出单元定位向量（7）计算整体刚度矩阵和结构等效结点荷载向量。图42.用矩阵位移法计算图5连续梁，EI=4。要求：（1）图中标出单元方向、单元编码、结点位移编码，整体刚度矩阵的阶数（2）写出单元刚度矩阵、单元等效结点荷载向量；（3）写出单元定位向量（4）写出整体刚度矩阵和结构等效结点荷载向量。图53.用矩阵位移法计算图6桁架，EA=60kN。要求：（1）图中建立坐标系：局部坐标系和整体坐标系。（2）图中标出单元编码、结点位移编码，整体刚度矩阵的阶数（3）写出局部坐标系下单元刚度矩阵；（4）写出单元坐标转换矩阵（5）计算整体坐标系下单元刚度矩阵；（6）写出单元定位向量（7）计算整体刚度矩阵、写出结构结点荷载向量。图6

练习答案一、单项选择题题号1234