3.7.1 线性方程组解的判定_第1页
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文档简介

第3章

矩

阵主要内容矩阵的概念矩阵的运算逆矩阵分块矩阵矩阵的初等变换与初等矩阵矩阵的秩线性方程组的解§3.7线性方程组的解本节主要内容方程组的同解变换与增广矩阵的关系线性方程组的解的判定线性方程组的解法一、方程组的同解变换与增广矩阵的关系

在解线性方程组的过程中

我们可以把一个方程变为另一个同解的方程

这种变换过程称为同解变换

同解变换有

交换两个方程的位置

把某个方程乘以一个非零数

某个方程的非零倍加到另一个方程上

引例系数矩阵增广矩阵

①

②①

②显然

交换B的第1行与第2行即得B1

增广矩阵的比较

例如

③

2③

2显然

把B的第3行乘以(1/2)即得B2

例如增广矩阵的比较

①

2②①

2②显然

把B的第2行乘以(

2)加到第1行即得B3

例如增广矩阵的比较

线性方程组与其增广矩阵相互对应

对方程组的变换完全可以转换为对方程组的增广矩阵的变换

方程组的同解变换与增广矩阵的关系

因此消元法解线性方程组时可以直接将其增广矩阵化为行最简形，然后再还原成同解方程组求解

线性方程组的表达形式1.一般形式2.向量方程的形式定义：线性方程组如果有解，就称它是相容的；如果无解，就称它是不相容的．二、线性方程组的解的判定设有n

个未知数m

个方程的线性方程组

m、n

不一定相等！问题1：方程组是否有解？问题2：若方程组有解，则解是否唯一？二、线性方程组的解的判定问题3：若方程组有解且不唯一，则如何掌握解的全体？问题4：系数矩阵和增广矩阵的秩与解有什么样的关系？定理1n

元非齐次线性方程组Ax=b无解R(A)<R(A,b)；有唯一解

R(A)=R(A,b)=n；有无限多解

R(A)=R(A,b)<n．分析：只需证明条件的充分性，即R(A)<R(A,b)无解；R(A)=R(A,b)=n唯一解；R(A)=R(A,b)<n无限多解．那么无解R(A)<R(A,b)；唯一解R(A)=R(A,b)=n

；无限多解R(A)=R(A,b)<n．证明：设

R(A)=r，为叙述方便，不妨设B=(A,b)的行最简形矩阵为第一步：欲证R(A)<R(A,b)无解．若R(A)<R(A,b)，即R(A,b)=R(A)＋1，则dr+1=1．于是第r+1行对应矛盾方程0=1，故原线性方程组无解．R(A)

≤

R(A,b)

≤

R(A)＋1前r

列后n-r

列前n

列前r

列第二步：欲证R(A)=R(A,b)=n唯一解．若R(A)=R(A,b)=n，故原线性方程组有唯一解．后n-r

列则dr+1=0且r=n，对应的线性方程组为

从而bij

都不出现.第三步：欲证R(A)=R(A,b)<n无限多解．若R(A)=R(A,b)<n，对应的线性方程组为前r

列

则dr+1=0.后n-r

列

即r<n，令xr+1,…,xn

为自由变量,则再令xr+1=c1,xr+2=c2,…,xn=cn-r

，则线性方程组的通解定理3n

元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是R(A)<n．定理2线性方程组Ax=b

有解的充分必要条件是

R(A

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