7.5 线性变换的矩阵

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第7章

线性空间与线性变换主要内容：线性空间的定义与性质线性空间的基、维数、过渡矩阵、坐标变换公式子空间的定义、判定，子空间的运算线性变换的定义及运算线性变换的矩阵线性变换的特征值与特征向量§7.5线性变换的矩阵

本节主要内容：一、线性变换在基下的矩阵的定义、求法二、线性变换在不同基下矩阵的关系定义1设是数域上的线性空间的一组有序基,是上的线性变换,则基中的向量在下的像可由基唯一表示：所以其中称为，，在基下的矩阵.例1在中取定一组基为是上逆时针旋转角的旋转变换,求在基下的矩阵.解

因为

则有因此在基下的矩阵为，，，，，.其中定理1在数域上的线性空间中取定一组基,定义到的一个映射是在基下的矩阵.,则映射是双射.

定理2设是维线性空间的线性变换,是的一组基,在这组基下的矩阵分别是则在这组基下（1）的矩阵是；（2）的矩阵是；（3）的矩阵是；（4）是可逆线性变换的充分必要条件是为可逆矩阵．§7.5线性变换的矩阵

本节主要内容：一、线性变换在基下的矩阵的定义、求法二、线性变换在不同基下矩阵的关系定理3设是线性空间的一组基,的线性变换在基下的矩阵为向量，在基下的坐标为，向量在基下的坐标为，则.

定理4设维线性空间中两组基为及，基到基的过渡矩阵为，中的线性变换在这两组基下的矩阵分别为，则.例2

在3维线性空间中,设线性变换在基下的矩阵为，求在基下的矩阵，，.解

设

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