近世代数课件(全)-2-5变换群

近世代数第二章群论§5变换群

9/28/2023近世代数第二章群论§5变换群8/3/2023研究一种代数体系就是要解决这种代数体系的下面三个问题：存在问题；数量问题以及结构问题。关于数量问题，指的是彼此不同构的代数体系的数量，因为同构的代数体系抽象地看可以认为是相同的代数体系。本讲的凯莱定理将告诉我们，如果将所有变换群都研究清楚了，也就等于把所有群都研究清楚了，无论是否如此简单，但至少从理论上知道凯莱定理的重要性。

9/28/2023研究一种代数体系就是要解决这种代数体系本讲的凯莱定理将告诉我一、集合的变换和变换乘法

1变换：设是一个非空集合，若是就称是的一个变换.到上的映射2变换集合：由的全体变换做成的集合，由的全体一一变换做成.记为的集合记为

9/28/2023一、集合的变换和变换乘法1变换：设是一个非空集合，若是4变换乘法是的代数运算，也是的代数运算.5恒等变换：，

3变换乘法：，规定，称为的乘法.

9/28/20234变换乘法是的代数运算，也是的代数运算.5恒等变换：二、变换群的概念例1设．的全部变换如下问：（1）关于变换乘法是否做成群？关于变换乘法是否做成群？（2）

9/28/2023二、变换群的概念例1设．的全部变换如下问：（1）关于变换解：（1）非空、代数运算、结合律都满足，事实上，就没有逆元.因为如果有逆元.那么必有且.但是而导致矛盾，故没有逆元.不能成为群.有单位元.那么“逆元”问题能解决吗？因此

9/28/2023解：（1）非空、代数运算、结合律都满足，事实上，就没有逆元.（2）非空、代数运算、结合律都满足，，的逆元是的逆元是自身.因此例2设，并取定，则易知是的一个非一一变换，，从而关于变换乘法做成群.有单位元成为群..

9/28/2023（2）非空、代数运算、结合律都满足，，的逆元是的逆元是自身.定义1设的若干一一变换关于变换的乘法做成的一个一一变换群；的若干非一一变换关于变换的乘法做的一个非一一变换群.是一个非空集合，则的若干变换关于变换的乘法做成的群，的一个变换群；由称为由的群，称为由成的群，称为

9/28/2023定义1设的若干一一变换关于变换的乘法做成的一个一一变换群；的定理1设为非空集合，构成的一个变换群.关于变换的乘法证明：乘法封闭性、结合律都满足，单位元为恒等变换，每个一一映射都有个与之对应的互逆的一一映射.

9/28/2023定理1设为非空集合，构成的一个变换群.关于变换的乘法证明：乘定义2称集合上的一一变换群为上的对称群；时，其上的对称群用表示，称为n

次对称群.当显然：（1）上任何一一变换群都是上的对称群的一个子群，即上的对称群的最大的一一变换群；是（2）n次对称群是一个阶为的有限群.

9/28/2023定义2称集合上的一一变换群为上的对称群；时，其上的对称群用表定理2设是非空集合的一个变换群.则证：必要性显然；下证充分性：设有的单射变换，于是，由是单射变换，，因此是的恒等变换；，若，则，所以是单射变换；，所以是满射变换.是的一个一一变换群中含有的单（满）射变换.，因为是群，故有单位元得

9/28/2023定理2设是非空集合的一个变换群.则证：必要性显然；下证充分性推论1：是非空集合的一个变换群，则或者是一一变换群（单位元是恒等变换），，则不能成为群.或者是非一一变换群，即任何一个变换群都不可能既含有一一变换又含有非一一变换.注意：如果

9/28/2023推论1：是非空集合的一个变换群，则或者是一一变换群（单位元是例例3.令，，则做成的一个，规定，则做成的一个上的对称群.非一一变换群.例4.令一一变换群，但不是（单位元）（单位元）

9/28/2023例例3.令，，则做成的一个，规定，则做成的一个上的对称群.定理3(凯莱定理)任何群都能同一个一一变换群同构.证：设是任意一个群,，规定的一个变换,易知是一个一个一一变换.令，则，，，所以是同构映射.所以.

9/28/2023定理3(凯莱定理)任何群都能同一个一一变换群同构.证：设推论2任何n阶有限群