向量在立体几何中的应用同步练习 高二数学北师大版（2019）选择性必修第一册

3.4向量在立体几何中的应用【夯实基础】

知识点1直线的方向向量与平面的法向量

1.若，分别为直线，的方向向量，则与的位置关系是()A. B.C.，相交不垂直 D.不能确定2.空间直角坐标系中，平面与分别以与为其法向量，若，则直线l的一个方向向量为___________.知识点2用向量方法讨论立体几何中的位置关系

3.平面的法向量，平面的法向量.若，则的值是()A.2 B.-2 C. D.不存在4.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在的平面互相垂直，，，点M在EF上，且平面BDE，则点M的坐标为()A. B. C. D.5.已知，，.若，平面ABC，则__________.知识点3用向量方法研究立体几何中的度量关系

6.在直三棱柱中，，，，M是的中点，以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，若，则异面直线CM与所成角的余弦值为()A. B. C. D.7.如图，四棱锥的底面ABCD是菱形，，，平面ABCD，且，E是PA的中点，则PC到平面BED的距离为()A. B. C. D.8.如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱上的点，平面PAC，则二面角的大小为_________，平面PAC与平面ABC所成角的大小为__________.【提升能力】

9.已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为()A.10 B.3 C. D.10.如图，在直四棱柱中，，，，E，F分别是侧棱，上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为，则线段BE的长的最大值为()A. B. C. D.11.（多选）如图，菱形ABCD的边长为2，，E为边AB的中点，将沿DE折起，使A到，且，平面与平面的交线为l，则下列结论中正确的是()A.平面平面B.C.BC与平面所成角的余弦值为D.二面角的余弦值为12.（多选）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为CD，的中点，则下列结论正确的是()A.点F到点E的距离为 B.点F到直线的距离为C.点F到平面的距离为 D.平面到平面的距离为13.如图，正三棱柱的底面边长为2，与平面所成角的大小为，则线段在平面内的射影长为__________.14.如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，且平面，，点F为PC的中点，则二面角的正切值为__________.【综合素养】15.若点M在平面外，过点M作平面的垂线，则称垂足N为点M在平面内的正投影，记为.如图，在棱长为1的正方体中，记平面为，平面ABCD为，点P是棱上一动点（与C，不重合），，.则下列三个结论：①线段的取值范围是；②存在点P，使得平面；③存在点P，使得.其中正确结论的序号是__________.16.如图1，在平面图形ABCDE中，，，，，沿BD将折起，使点C到F的位置，且，，如图2.(1)求证：平面平面AEG.(2)线段FG上是否存在点M，使得平面MAB与平面AEG所成角的余弦值为?若存在，求出GM的长；若不存在，请说明理由.

答案以及解析1.答案：A解析：，.2.答案：(答案不唯一)解析：方法一：设直线l的一个方向向量为，则所以令，则，，此时.(答案不唯一)方法二：由可设直线l的一个方向向量为，又，所以，即，所以直线l的一个方向向量为.(答案不唯一)3.答案：C解析：由，可知，即，解得.故选C.4.答案：A解析：设点M的坐标为.由题意可知，，，，所以，，.因为平面BDE，所以，，即，，所以解得所以点M的坐标为.故选A.5.答案：解析：由，得，由解得，，所以.6.答案：A解析：设，则，，，所以，，.因为，所以，解得，所以，，，所以，所以异面直线CM与所成角的余弦值为.7.答案：A解析：取CD的中点F，连接AF，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，.设平面BED的一个法向量为，则令，得，，且，平面，到平面BED的距离就是点P到平面BED的距离.，点P到平面BED的距离，到平面BED的距离为.8.答案：；解析：连接BD，交AC点于点O，连接SO.由题意得平面ABCD.以O为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系.设底面正方形的边长为a，则，，，，.显然平面ACB的一个法向量为.因为平面PAC，所以平面PAC的一个法向量为.，所以，设二面角的平面角为，则观察图形知为钝角，所以，故所求二面角的大小为.平面PAC与平面ABC所成角的范围为，所以平面PAC与平面ABC所成角的大小为.9.答案：D解析：由，得点P到平面的距离.10.答案：B解析：依题意，，，两两互相垂直，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设，(，，且m，n不同时为0)，则，，，所以，.设平面AEF的一个法向量为，则即令，则，显然为平面ABC的一个法向量.因为平面AEF与平面ABC所成角的大小为，所以，得，所以，所以当时，m取得最大值，为.11.答案：ABD解析：对于A，在菱形ABCD中，连接，，是正三角形，E为边AB的中点，.又，，，，平面，又，平面，平面，平面平面，故A正确.对于B，，平面，平面，平面与平面的交线为l，平面，，故B正确.对于C，，，平面，，以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，平面，是平面的一个法向量，设BC与平面所成角为，则，，故C错误.对于D，平面，是平面的一个法向量，，，设平面的一个法向量为，则取，得，，由图形可知二面角为锐角，其余弦值为，故D正确.12.答案：ABC解析：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，，.设平面的一个法向量为，则取，得.点F到点E的距离为，故A正确；点F到直线的距离为，故B正确；点F到平面的距离为，故C正确；由正方体的性质可知平面平面，所以平面到平面的距离即点F到平面的距离，为，故D错误.13.答案：3解析：设的中点为，连接，，显然平面，所以为线段在平面内的射影，为与平面所成的角，所以，所以在中，.14.答案：解析：如图所示，设AC与BD交于点O，连接OF.以O为原点，，，的方向分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.设，则，所以，，，，所以，，.显然为平面BDF的一个法向量.设平面BCF的一个法向量为，则令，可得，所以，，所以，故二面角的正切值为.15.答案：①②解析：如图，取的中点为，连接，过点P作交于E，再过点E作交CD于.在正方体中，平面，平面，，又，，平面，.同理可证平面，平面，，.以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，.，，，，，，故①正确.平面，平面的一个法向量为，又，令，解得，存在点P，使得平面，故②正确.令，整理得，该方程无解，不存在点P，使得，故③错误.16.答案：(1)证明见解析(2)线段FG上存在点M，使得平面MAB与平面AEG所成角的余弦值为，且解析：(1)因为，所以，又，所以.因为，，所以四边形ABDE为等腰梯形，又，所以，所以，所以，即，因为，，平面AEG，所以平面AEG，又平面GEBF，所以平面平面AEG.(2)由(1)知EA，EB，EG两两互相垂直.以E为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立