五年级几何直线型面积二教师版

SSSSSS·SS·

S SOS②AO:OC=S1+

:S4+ _1_①S:S=a2:b2 S2_OS②S1:S3:S:S=a2:b2:ab:ab

【例1（小学奥林匹克）ABCD45平方米，高6BC长10米，三角形AED的面积是5平方米。求阴影部分的面积。 【分析 根据梯形的面积公式，AD=45·2‚6-10=5（米。根据梯形蝴蝶定理SAEDSBEC=1:4S阴影5·420（平方米（BC【分析 ⑴根据蝴蝶定理，SBGC·1=2·3，那么SBGC=6AGGC(12:36=1:3 形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？6767 【分析 根据蝴蝶定理，SAOB:SBOC=SAOD:SDOC=6:7，所以最大的一个三角形为S

=(52-13)·6+

【例4S22S34【分析 设S为a2份，S为b2份，根据梯形蝴蝶定理，S=4=b2，所以b=2；又因为S=2=a·b a1；那么Sa2=1，Sa·b2SSSSS12429 (2006年南京智力数学冬令营)如下图，梯形ABCD的AB∥CD，对角线AC，BD交于O，已知AOB与BOC的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积 SSa2ab2535，可得ab57，再根据梯形蝴蝶定理，SSa2:b252:722549，所以S49(平方厘米)．那么梯形 【例6】如图，梯形ABCD的上底AD长为3厘米，下底BC长为9厘米。三角形AOB的面积为12平方厘米，则梯形ABCD是 B【分析 根据梯形蝴蝶定理， : :

: =1:3:3:9，所以 =12 = 梯形 1+3+3+ 梯形ABCD的对角线AC与BD交于点O，已知梯形上底为2，且三角形ABO的面积等于三角形BOC面积的2，求三角形AOD与三角形BOC的面积之比．3 根据梯形蝴蝶定理，SAOB:

abb223ab23 再根据梯形蝴蝶定理， : =a2:b2=22:32=4 【例8（2007年“数学解题能力展示”读者评选高年级组初赛）ABCD被CE、DF四块，已知其中3块的面积分别为258平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为 【分析】连结DE、CF。在梯形EFCD中，根据梯形蝴蝶定理，可知EF2:DC228，所以 EF:DC=1:2。S: =1·2:22=1:2，所以 1方厘米，SFOC=SEOD=4（平方厘米。三角形ADE和三角形DCE的高相等，底不同，所以 : =AE:DC=1:(4+8)=1:12，那么FB:AB= :1=5:12 1 --

=5·

5·125（平方厘米

=S

+S

459（平方厘米【例9（2009年第十四届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛（B卷ABCD中，ABCDACBD相交于点OAB6CD4ABCD的面积为5，求三角形OBC的面积。 【分析 根据梯形蝴蝶定理 : : : =42:4·6:4·6:62=4: 的面积为5 4+6+6+

=1.2【例10】（第七届中环杯五年级复赛）如图，梯形ABCD的面积是225平方厘米，下底20厘米，高15厘米。那么，三角形AOD的面积是（ 【分析 由梯形的面积公式可得上底长为225·2‚15-20=10（厘米），由梯形的蝴蝶定理可得：S

:S

:

:S

=1:2:2:4，所以三角形AOD的面积是225 1+2+2+

50（厘米【例11】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点三角形ABF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是 【分析 连结DE。BE:AD=1:2，根据梯形蝴蝶定理所以SBFE:SAFB:SEFD:SAFD=1:2:2:4，所

=1+2·1=1.5，

=S

=1.5·2+3=（平方厘米【例12】（2008年第六届“走进美妙的数学花园”中国青年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛四年级决赛正方形ABCD的边长为6，E是BC的中（如图四边形OECD的面积为 】 连结E，SO=SO=SE=2，即

=2

=2·1·3·6=6

=1·3·6=9

3

S四边形OECD69=15 连接EF，易知EF∥BD，则可以构造一个梯形，从而应用梯形蝴蝶定理快速求解．因为BE=2EC，DF=2FC，所以BD:EF=3:1．BDFE四部分面积比为1:339 1 =

-··= 3 =1 1+3+3+

+SBDG=2

1·1 3+ +【例14】（2008年第七届“小机灵杯”数学竞赛五年级决赛）如图，长方形ABCD中，AD=8厘米，AB=5厘米，对角线AC和BD交于O，四边形OEFG的面积是4平方厘米，则阴影部分面积 D 【分析】设DDEO的面积为xSDFG4x，在梯形ADFB中根据蝴蝶定理，SABGSDFG4x因为

（平方厘米）

10 ，所ODC4·S矩形ABCD4·8·5SABGSDEC4x+10x=14（平方厘米

【例15】如图，ABCD和CGEFAG和CFH，已知CH等于CF的三分之一，三角形CHG的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF的面积。 A 【分析】三角形CHG的面积等于6平方厘米，且CH等于CF的三分之一，则 CH·3CH=6，解2CH2厘米，所以CF2·36HF4ACFGACGF中，根据蝴SAHFSCHG6FH·AD26，可解得AD3厘米。大正方形边长是6厘米，小正方形边长是3厘米，所以五边形ABGEFSS梯形ABCFSFCGE(36)·326·649.5（平方厘米【例16】（甘肃冬令营）如下图所示，在DABC中，已知M，N分别在边AC，BC上，BM与AN相交于O，若DAOM，DABO和DOBN的面积分别是3，2，1，则DMNC的面积是 【分析 设DMNC的面积为x。在四边形ABNM中，根据蝴蝶定理可求得SMON=1·3‚2=1.5BN=SABN=SMBN，所 =1+1.5，解得x=22.5 【例17】（第三届香港保良局小学数学世界邀请赛）在图中，三个小三角形的面积分别为5、8和10。试问四边形ADOE的面积X是多少？ 【分析 连结DE，在四边形DBCE中，根据蝴蝶定理：SDOB·SEOC=SDOE·SBOC，所 5·8‚104BDSBDESBDC即545+10X22 S X- X+【例18（第六届全澳校际小学数学比赛）图中梯形的面积是60平方厘米，下底比上底长五分之二。求 【分析 上底：下底=1:1+2=5:7，所以 : : : =52:5·7:5·7:72，所 5

·60125 245125120=10（平方厘米 F【分析

14·(10-7)=6 12·(10-7)=3所以 =6+3=9BCD2 CDE2 BCEDSEMDSEMCSBMDSBMC2:2·42·44=1:224

=3·1+

=6·2+

S

4-13【例20】如下图所示，已知正方形ABCD的边长为10厘米，EC=2·BE，那么，图中阴影部分的面积 【分析 连结DE。在梯形ABED中，BE:AD=1:3，根据梯形蝴蝶定理 : : : =1:3:3:9，所以 =3·10·10‚2=12.5（平方厘米 3+【例21】如图，在一个边长为6的正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原正方形的边平行， 因此空白处的总面积为6·1.52·42·222，阴影部分的面积为6·622=14．626=13面积之比为12:1·31·332=1:3:3:9，所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的

部分的面积占该梯形面积的

，所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的

分的面积为7·(6222=14【例22（2007年“数学解题能力展示”读者评选高年级组初赛）ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为258平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为 【分析】连结DE、CF。在梯形EFCD中，根据梯形蝴蝶定理，可知EF2:DC228，所以 EF:DC=1:2。S: =1·2:22=1:2，所以 = 1方厘米，SFOC=SEOD=4（平方厘米。三角形ADE和三角形DCE的高相等，底不同，所以 : =AE:DC=1:(4+8)=1:12，那么FB:AB= :1=5:12 1 --

=5·

=S

+S

【例23ABCD是平行四边形，面积为72EFABBC的三等分点。则图 B 【分析 连结EC。在梯形AECD中，根据梯形11定理 =12:1·3=1:3，而

AED=·

1+方厘米

=1+

·129（平方厘米连结AF，同理可以得到 ， =3·12=9（平方厘米 1+SDGHSADCSAGDSDHC72299=18（平方厘米S7233-1848（平方厘米角形BDG的面积． 【分析 设BD与CE的交点为O，连接BE、DF。由蝴蝶定理可知EO:OC=SBED:SBCD，而

=14

=12

:S

3CE中点，所以EF12

，故EOEF23，FOEO=12S

:S

FOEO=1:2

=12

=8ABCD=

=12

=116

1·10·106.25（平方厘米】如图所示，边长为 【分析】利用梯形蝴蝶定理，设SAMGxSBCG4xSBGASCGM2xS(1-1·0.52)9·413【例26】图中ABCDADE的面积是1.8ABF的面积是9BCF的面积27。那么阴影部分的面积是多少？CSABFSCBFabbab927=132 :

=a2:b2=1:9， =27·1=3，

3-1.81.2

以S阴影3.6+1.24.8【例27】如图所示，长方形ABCD2EC2DECG2BG。阴影部分的面积是 E 【分析】连结GE，因为EC= ，CG=2BG，所以GE//BD，GE:BD=2:3。所

:S

:S

466: S梯形BGEDS

-

=2‚-··=2‚

2= 8 4，所以S= 12=8

·

+··4+6+6+

BD交于OAO=1ABDBCD的面积等于35。求OCBC【分析 根据蝴蝶定理，AO:OC=

D:S

35，所以OC=1·53 3C【分析 根据蝴蝶定理：AO:OC=SABD:SBCD=1:3，所以CO=3·AO=6，CO‚DO=6‚3=2 如右图，长方形ABCD中，EF=16，FG=9，求AG的长 【分析 在梯形ABED中由蝴蝶定理知SADG=SEDG=DG=AG同理：DG=FG所以AG=FG AG2GEFG25·9225=152AG15 如图，在平行四边形ABCD中，AB=16，AD=10，BE=4，那么FC的长度是多少C DB、CEBECDSBEF:SEFC:SBFD:

=42:16·4:16·4:162=1:4:4FCBFSDCESBED(1644+1)4FC=10·5

8【练习1ABCDSAOB2SAOD3SDOC6平方厘米，求BCO的面积是多少？DA 【分析 根据蝴蝶定理，SBOC=2·6‚3=4（平方厘米【练习2ABCDSABDSBCD25AO7厘米，求CODA【分析 根据蝴蝶定理，

:S

==AO:CO=2:5，所以 57=17.5（厘米=2 D (【分析 根据梯形蝴蝶定理，a:b=1:1.5=2:3， : =a2:b2=22:32=D (D

=12·4=16cm2 【练习4】如下图平行四边形被分成4块，其中两块面积为7和4，那么阴影部分面积 O74 O74 【分析 连结AE。 : =a2:ab=a:b=4:7，所

:

，所以

=·4=12.25， =7。所以 =4+7=11 SABESABCSAEC(12.257)(74)8.25S阴影8.257=15.251平方厘米，那么正方形ABCD面积 D 连结DE。根据梯形蝴蝶定理：SBEF:SDFE:SAFB:SDFA=1:2:2:4，所以SABE=3SBEF=，1平方厘米，那么正方形ABCD面积 【分析 连结DE。BE:AD=1:2，根据梯形蝴蝶定理所以SBFE:SAFB:SEFD:SAFD=1:2:2:4，所

=1+2·1=1.5，

=S

=1.5·2+3=（平方厘米【练习7ABCDBC2CEDFFC ACADBC2CESCFESDFESAFCSAFD=1:224DF:FCSAEDSAEC(422+1)2:1，所以DFFC【练习8ABCDSAOB2SAOD3SDOC6平方厘米，求BCO的面积是多少？DA 【分析 根据蝴蝶定理，SBOC=2·6‚3=4（平方厘米【练习9】如图，在长方形ABCD中，DABG的面积为16平方厘米，DCDH的面积为6平方厘米，则阴 连结EF。根据梯形蝴蝶定理，SEHF=SCDH=6（平方厘米），SEGF=SABG=16（平方厘米以阴影部分的面积是16+6=22（平方厘米。PQ PQ

【分析 连结CF。已知CF=2AB，根据梯形蝴蝶定理，SAPB:SBPC:SAPF:SCPF=1:2:2:4，所以角形CPF的面积为3 =4，阴影部分的面积是4·2=8=221+2+2+ 1平方厘米，那么正方形ABCD面积 【分析 连结DE。BE:AD=1:2，根据梯形蝴蝶定理所以SBFE:SAFB:SEFD:SAFD=1:2:2:4，所

=1+2·1=1.5，

=S

=1.5·2+3=（平方厘米C 【分析 根据梯形蝴蝶定理， : =a2:b2=4:9，所以a:b=2 : =ab:

=b:a=3:2，SAOD=SCOB=1.2323

S梯形ABCD=1.2+1.8+1.82.77.5 D (【分析 根据梯形蝴蝶定理，a:b=1:1.5=2:3， : =a2:b2=22:32=D (D

=12·4=16cm2 O74O74 O74O74 【分析 连结AE。 : =a2:ab=a:b=4:7，所

:

，所以

=·4=12.25， =4+7=11， : =(7-4):4=3:4，所 3

8.25S8.257=15.25【练习15ABCD72EFABBC的中点，则图中阴影部D 【分析 连接AF,CE.在梯形AECD中， : : =1:2:4,又因为 =1 1